1、江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高二数学下学期3月线上考试试题（含解析）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.若集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】化简集合，按交集定义即可求解.【详解】，.故选:D.【点睛】本题考查交集的运算，以及不等式的解法，属于基础题.2.已知复数满足，则的共轭复数是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算法则和共轭复数的定义直接求解即可.【详解】由，得，所以故选：B【点睛】本题考查了复数的除法的运算法则，考查了复数的共轭复数的定义，
2、属于基础题.3.命题“”的否定是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：特称命题的否定是全称命题，存在改为任意，并将结论加以否定，因此命题“”的否定是考点：全称命题与特称命题4.已知抛物线C：（p0）的焦点为F，对称轴与准线的交点为T，P为C上任意一点，若，则PTF（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】过点做抛物线准线的垂线，垂直为，根据抛物线的定义，结合条件，可求出，而=，即可求解.【详解】过点做抛物线准线垂线，垂足为，在中，.故选:A. 【点睛】本题考查抛物线定义的应用，正确理解抛物线的点到准线和到焦点的距离相等，是解题的关键，属于基础题.5.已知，则（
3、 ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由辅助角公式将所求的角化为与已知同角，再利用同角间的三角函数关系，即可求解.【详解】，.故选:C.【点睛】本题考查三角恒等变换、同角间的三角函数关系求值，应用平方关系要注意角的范围判断，属于中档题.6.某设备使用年限x（年）与所支出的维修费用y（万元）的统计数据分别为，由最小二乘法得到回归直线方程为，若计划维修费用超过15万元将该设备报废，则该设备的使用年限为（ ）A. 8年B. 9年C. 10年D. 11年【答案】D【解析】【分析】根据样本中心点在回归直线上，求出，求解，即可求出答案.【详解】依题意在回归直线上，由，估计第年维修费用超过1
4、5万元.故选:D.【点睛】本题考查回归直线过样本中心点、以及回归方程的应用，属于基础题.7.公比为2的等比数列中存在两项，满足，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据已知条件和等比数列的通项公式，求出关系，即可求解.【详解】，当时，当时，当时，当时，当时，当时，最小值为.故选:D.【点睛】本题考查等比数列通项公式，注意为正整数，如用基本不等式要注意能否取到等号，属于基础题.8.函数在内有且只有一个零点，则a的值为（ ）A. 3B. 3C. 2D. 2【答案】A【解析】【分析】求出，对分类讨论，求出单调区间和极值点，结合三次函数的图像特征，即可求解.【详解】，若
5、，在单调递增，且，在不存在零点；若，在内有且只有一个零点，.故选:A.【点睛】本题考查函数的零点、导数的应用，考查分类讨论思想，熟练掌握函数图像和性质是解题的关键，属于中档题.9.设，分别为双曲线（a0，b0）的左、右焦点，过点作圆 的切线与双曲线的左支交于点P，若，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设过点作圆 的切线的切点为，根据切线的性质可得，且，再由和双曲线的定义可得，得出为中点，则有，得到，即可求解.【详解】设过点作圆 的切线的切点为，所以是中点，.故选:C.【点睛】本题考查双曲线的性质、双曲线定义、圆的切线性质，意在考查直观想象、逻辑推理和数学
6、计算能力，属于中档题.10.已知正三棱锥的侧棱长为，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】作出图形，在正三棱锥中，求得，进而得到三棱锥的高，再在直角三角形中，利用勾股定理列出方程，求得球的半径，最后利用球的表面积公式，即可求解.【详解】如图所示，因为正三棱锥的侧棱长为，底面边长为6，则，所以三棱锥的高,又由球心到四个顶点的距离相等，在直角三角形中，又由，即，解得，所以球表面积为，故选D.【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积的计算，以及组合体的性质的应用，其中在直角三角形中，利用勾股定理列出方程求得球的半径是解答的关键，着重考查
7、了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.二、多项选择题：本题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，两个都选对但不全的得2分，有选错或只选一个或不选的不得分.11.已知均为实数，则下列命题正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若则D. 若则【答案】BC【解析】【分析】根据不等式的性质判断即可【详解】解：若，则，故A错；若，则，化简得，故B对；若，则，又，则，故C对；若，则，故D错；故选：BC【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，常结合特值法解题，属于基础题12.如图，在四边形ABCD中，ABCD，ABAD，AB=2AD=2
8、DC，E为BC边上一点，且，F为AE中点，则（ ）A. B. C D. 【答案】ABC【解析】【分析】利用向量加法的三角形法则、数乘运算及平面向量基本定理进行解题【详解】解： ABCD，ABAD，AB=2AD=2DC，由向量加法的三角形法则得，A对；，又F为AE的中点，B对；，C对；，D错；故选：ABC【点睛】本题主要考查向量加法的三角形法则、数乘运算，考查平面向量基本定理，属于基础题13.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，则下列命题正确的是（ ）A. 当时，B. 函数有3个零点C. 的解集为D. ，都有【答案】BCD【解析】【分析】设，则，则由题意得，根据奇函数即可求出解析式，即可判断A选
9、项，再根据解析式分类讨论即可判断B、C两个选项，对函数求导，得单调性，从而求出值域，进而判断D选项【详解】解：（1）当时，则由题意得， 函数是奇函数， ，且时，A错； ，（2）当时，由得，当时，由得， 函数有3个零点，B对；（3）当时，由得，当时，由得， 的解集为，C对；（4）当时，由得，由得，由得， 函数在上单调递减，在上单调递增，函数在上有最小值，且，又 当时，时，函数在上只有一个零点，当时，函数的值域为，由奇函数的图象关于原点对称得函数在的值域为， 对，都有，D对；故选：BCD【点睛】本题主要考查奇函数的性质，考查已知奇函数一区间上的解析式，求其对称区间上解析式的方法，考查函数零点的定义
10、及求法，以及根据导数符号判断函数单调性和求函数最值、求函数值域的方法，属于较难题三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡中的横线上.14.记为等比数列的前n项和，已知，则_.【答案】【解析】【分析】设等比数列的公比为，将已知条件等式转化为关系式，求解即可.【详解】设等比数列的公比为，.故答案:.【点睛】本题考查等比数列通项的基本量运算，属于基础题.15.在ABC中，若，则_.【答案】4【解析】【分析】利用正弦定理将化为角，得到关系，再由，求出，进而求出，即可求出结论.【详解】，由正弦定理得，.故答案为:4.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，考查同角间的三角函数关
11、系求值，属于中档题.16.已知抛物线的焦点为F(4，0)，过F作直线l交抛物线于M，N两点，则p=_，的最小值为_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用抛物线的定义可得，设直线的方程为，联立直线与抛物线方程消元，根据韦达定理和抛物线的的定义可得，代入到，再根据基本不等式求最值【详解】解： 抛物线的焦点为F(4，0)， ， 抛物线的方程为，设直线的方程为，设，由得，由抛物线的定义得，当且仅当即时，等号成立，故答案为：【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线定义的应用，属于中档题17.在ABC中，BAC，AD为BAC的角平分线，且，若AB2，则BC_.【答案】【解析】【分
12、析】由，求出长度关系，利用角平分线以及面积关系，求出边，再由余弦定理，即可求解.【详解】,，.故答案为:.【点睛】本题考查共线向量的应用、面积公式、余弦定理解三角形，考查计算求解能力，属于中档题.四、解答题：本题共6小题，共82分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18.在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，.（1）求cosC；（2）若b7，D是BC边上的点，且ACD的面积为，求sinADB.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据诱导公式和二倍角公式，将已知等式化为角关系式，求出，再由二倍角余弦公式，即可求解；（2）在中，根据面积公式求出长，根据余弦定理求出，由正弦
13、定理求出，即可求出结论.【详解】（1），；（2）在中，由（1）得，由余弦定理得，在中，.【点睛】本题考查三角恒等变换求值、面积公式、余弦定理、正弦定理解三角形，考查计算求解能力，属于中档题.19.已知等差数列的前n项和为(1)求的通项公式；(2)数列满足为数列的前n项和，是否存在正整数m，使得?若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为d，由等差数列的通项公式与前项和公式得，解得，从而求出；（2）由（1）得，由，利用裂项相消法得，若，则，整理得，由得，从而可求出答案【详解】解：（1）设等差数列的公差为d，由得，解得，；（2），
14、 ，若，则，整理得，又，整理得，解得，又，存在满足题意【点睛】本题主要考查等差数列的性质与求和，考查裂项相消法求和，属于中档题20.已知（且m为常数）.（1）讨论函数的单调性；（2）若对任意的，都存在，使得（其中e为自然对数的底数），求实数k的取值范围.【答案】（1）当时，递增区间是，无递减区间，当时，递增区间是，递减区间是；（2）.【解析】【分析】（1）求出，对分类讨论，求出的解，就可得出结论；（2）设，所求的问题转化为，通过求导数法，求出取最大值时自变量与的关系，而对任意的都成立，将用表示，构造新函数，再求导求出新函数的最小值，即可求出结论.【详解】（1）的定义域为，当时，恒成立，当时，综
15、上，当时，递增区间是，无递减区间，当时，递增区间是，递减区间是；（2）设，依题意，令，恒成立，在是减函数，即在是减函数，存在唯一，使得，当，递增区间是，递减区间是，取得极大值，也是最大值为，对于对任意的恒成立，其中，即，对于对任意的恒成立，设，时，当，时，取得极小值，也是最小值，即.【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及到函数的单调性、极值最值、零点、存在成立、恒成立，解题的关键要不断构造函数，考查计算求解能力和逻辑推理能力，是一道难题.21.已知抛物线的准线过椭圆C：（ab0）的左焦点F，且点F到直线l：（c为椭圆焦距的一半）的距离为4.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点F做直线与椭圆C交于
16、A，B两点，P是AB的中点，线段AB的中垂线交直线l于点Q.若，求直线AB的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）由抛物线的准线方程求出的值，确定左焦点坐标，再由点F到直线l：的距离为4，求出即可；（2）设直线方程，与椭圆方程联立，运用根与系数关系和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方程.【详解】（1）抛物线的准线方程为，直线，点F到直线l的距离为，所以椭圆的标准方程为；（2）依题意斜率不为0，又过点，设方程为，联立，消去得，设，线段AB的中垂线交直线l于点Q，所以横坐标为3，平方整理得，解得或（舍去），所求的直线方程为或.【点睛】本题考查椭圆的方
17、程以及直线与椭圆的位置关系，要熟练应用根与系数关系、相交弦长公式，合理运用两点间的距离公式，考查计算求解能力，属于中档题.22.在以ABCDEF为顶点的五面体中，底面ABCD为菱形，ABC120，ABAEED2EF，EFAB，点G为CD中点，平面EAD平面ABCD.（1）证明：BDEG；（2）若三棱锥，求菱形ABCD的边长.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取中点，连，可得，结合平面EAD平面ABCD，可证平面ABCD，进而有，再由底面是菱形可得，可得，可证得平面，即可证明结论；（2）设底面边长为，由EFAB，AB2EF，求出体积，建立的方程，即可求出结论.【详解】（1）取
18、中点，连，底面ABCD为菱形，平面EAD平面ABCD，平面平面平面，平面平面，底面ABCD为菱形，为中点，平面，平面平面，；（2）设菱形ABCD的边长为，则，所以菱形ABCD的边长为.【点睛】本题考查线线垂直的证明和椎体的体积，注意空间中垂直关系之间的相互转化，体积问题要熟练应用等体积方法，属于中档题.23.设函数（）.（1）讨论函数的单调性；（2）若关于x的方程有唯一的实数解，求a的取值范围.【答案】（1）当时，递增区间时，无递减区间，当时，递增区间时，递减区间时；（2）或.【解析】【分析】（1）求出，对分类讨论，先考虑（或）恒成立的范围，并以此作为的分类标准，若不恒成立，求解，即可得出结论
19、；（2）有解，即，令，转化求函数只有一个实数解，根据（1）中的结论，即可求解.【详解】（1），当时，恒成立，当时，综上，当时，递增区间时，无递减区间，当时，递增区间时，递减区间时；（2），令，原方程只有一个解，只需只有一个解，即求只有一个零点时，的取值范围，由（1）得当时，在单调递增，且，函数只有一个零点，原方程只有一个解，当时，由（1）得在出取得极小值，也是最小值，当时，此时函数只有一个零点，原方程只有一个解，当且递增区间时，递减区间时；，当，有两个零点，即原方程有两个解，不合题意，所以的取值范围是或.【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及到单调性、零点、极值最值，考查分类讨论和等价转化思想，属于中档题.
