1、高考资源网（） 您身边的高考专家第2课时直线与平面垂直学 习 任 务核 心 素 养1能正确判断直线与平面垂直的位置关系(重点)2了解点到平面的距离和直线与平面间的距离(难点)3理解直线与平面垂直的判定定理和性质定理(重点、难点)4了解直线与平面垂直的概念及直线与平面所成角的概念(重点)1借助直线与平面垂直、直线与平面所成的角以及点到平面的距离的定义，培养数学抽象素养2通过直线与平面垂直的判定定理和性质定理的应用，培养逻辑推理素养学校操场上的旗杆与地面是怎样的位置关系？教室的两墙面的交线与地面是怎样的位置关系？如何判断一条直线和一个平面垂直？如何刻画一条平面的斜线与平面所成的空间角？知识点1直线
2、与平面垂直的定义如果直线a与平面内的任意一条直线都垂直，那么称直线a与平面垂直，记作a直线a叫作平面的垂线，平面叫作直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足图形表示：1下列命题中，所有正确命题的序号是_若直线l与平面内的一条直线垂直，则l；若直线l不垂直于平面，则内没有与l垂直的直线；若直线l不垂直于平面，则内也可以有无数条直线与l垂直；过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条当l与内的一条直线垂直时，不能保证l与平面垂直，所以不正确；当l与不垂直时，l可能与内的无数条平行直线垂直，所以不正确，正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以正确知识点2直线与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号
3、语言如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直a2给出下列条件(其中l为直线，为平面)：l垂直于内的一五边形的两条边；l垂直于内三条不都平行的直线；l垂直于内无数条直线；l垂直于内正六边形的三条边其中能够推出l的所有条件的序号是_如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直都有可能垂直的是平行直线，不能推出l故选知识点3直线与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言垂直于同一个平面的两条直线平行ab3已知直线l平面，直线m，则()Alm BlmCl，m异面 Dl，m相交而不垂直A根据线面垂直的定义，无论l与m是异面，还是相交，都有lm，故选A知
4、识点4距离及直线与平面所成的角(1)距离点到平面的距离从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫作这个点到这个平面的距离直线和平面的距离一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这条直线和这个平面的距离(2)直线与平面所成的角一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫作这个平面的斜线，斜线与平面的交点叫作斜足，斜线上一点与斜足间的线段叫作这个点到平面的斜线段平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成的角特别地，如果一条直线垂直于平面，那么称它们所成的角是直角；如果一条直线与平面平行或在平面内，那么称它们所成的角是0角4在
5、正方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB1，则点C到平面B1BDD1的距离为_，AB到平面A1B1CD的距离为_连接AC，BD，则ACBD，又BB1AC，故AC平面B1BDD1，所以点C到平面B1BDD1的距离为AC，AB到平面A1B1CD距离等于A到该平面的距离，等于5如图所示，三棱锥PABC中，PA平面ABC，PAAB，则直线PB与平面ABC所成的角等于_45PA平面ABC，PBA即为直线PB与平面ABC所成的角，在RtPAB中，PAAB，PBA45 类型1线面垂直的定义及判定定理的应用【例1】(对接教材P174T9)如图所示，已知PA垂直于O所在的平面，AB是O的直径，C是O上任意一点
6、，过点A作AEPC于点E，求证：AE平面PBC证明PA平面ABC，PABC又AB是O的直径，BCAC而PAACA，BC平面PAC又AE平面PAC，BCAEPCAE，且PCBCC，AE平面PBC1用线面垂直的判定定理判断一条直线与此平面垂直时，需在平面内找两条相交直线，证明一条直线同时垂直于这两条相交直线，这是证明线面垂直的一个常用方法2线线垂直与线面垂直的转化关系跟进训练1如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF平面BB1O证明E，F分别是棱AB，BC的中点，EF是ABC的中位线，EFACABCD为正方形，ACBO，EFBO又
7、BB1平面ABCD，EF平面ABCD，EFBB1又BOBB1B，EF平面BB1O 类型2线面垂直性质定理的应用【例2】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且EFA1D，EFAC求证：EFBD1证明如图所示，连接AB1，B1C，BD，B1D1，DD1平面ABCD，AC平面ABCD，DD1AC又ACBD，BDDD1D，AC平面BDD1B1，又BD1平面BDD1B1，ACBD1同理可证BD1B1C，BD1平面AB1CEFAC，EFA1D，又A1DB1C，EFB1C又B1CACC，EF平面AB1C，EFBD1空间中证明两条直线平行的方法(1)利用线线平行定义证两线无
8、公共点；(2)若ab，bc，则ac(基本事实4)；(3)利用线面平行的性质定理把证线线平行转化为证线面平行；(4)若a，b，则ab(线面垂直的性质定理)跟进训练2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中， M是AB上一点，N是A1C的中点，MN平面A1DC求证：MNAD1证明在正方体ABCDA1B1C1D1中，四边形ADD1A1为正方形，A1DAD1又CD平面ADD1A1，AD1平面ADD1A1，CDAD1A1DCDD，A1D平面A1DC，CD平面A1DC，AD1平面A1DC又MN平面A1DC，MNAD1 类型3距离问题及直线与平面所成角的求法【例3】如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，
9、ACBC，ACBCCC1，M，N分别是A1B，B1C1的中点(1)求证：MN平面A1BC；(2)求直线BC1与平面A1BC所成的角的大小(1)连接AB1，AC1，以三角形中位线为切入点，思考MN与AC1的关系，进而证明MN平面A1BC；(2)结合AC1与平面A1BC的关系，思考直线BC1与平面A1BC所成的角，并求解.解(1)证明：如图所示，由已知BCAC，BCCC1，ACCC1C，得BC平面ACC1A1连接AC1，则BCAC1由已知可知侧面ACC1A1是正方形，所以A1CAC1又BCA1CC，所以AC1平面A1BC因为侧面ABB1A1是矩形，M是A1B的中点，连接AB1，则点M是AB1的中点
10、又点N是B1C1的中点，则MN是AB1C1的中位线，所以MNAC1故MN平面A1BC(2)因为AC1平面A1BC，设AC1与A1C相交于点D，连接BD，则C1BD为直线BC1与平面A1BC所成的角设ACBCCC1a，则C1Da，BC1a在RtBDC1中，sinC1BD，所以C1BD30，故直线BC1与平面A1BC所成的角为30求直线与平面所成角的步骤(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；(3)把该角归结到某个三角形中，通过解三角形，求出该角跟进训练3如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为1，侧棱
11、长为2，E，F分别为CC1，DD1的中点(1)求证：A1F平面BEF；(2)求直线A1B与平面BEF所成角的正弦值解(1)证明：连接AFE，F分别为CC1，DD1的中点，EFAB且EFAB，四边形ABEF为平行四边形又在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB平面AA1D1D，A1F平面AA1D1D，ABA1F，EFA1F由已知，得AF，A1F，AA12，A1F2AF2AA，AFA1F又AFEFF，A1F平面ABEF，即A1F平面BEF(2)A1F平面BEFA1B在平面BEF上的射影为BF，A1BF为直线A1B与平面BEF所成的角由已知，得A1F，A1B，sinA1BF，即A1B与平面BEF所
12、成角的正弦值为1下列条件中，能判定直线l平面的是()Al与平面内的两条直线垂直Bl与平面内的无数条直线垂直Cl与平面内的某一条直线垂直Dl与平面内的任意一条直线垂直D由直线与平面垂直的定义及判定定理知D正确2已知a，b是平面内的两条直线，l是空间中的一条直线则“直线la且lb”是“l”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件B“l，a，b”“la，lb”；反之不一定成立，例如ab时，l不一定垂直平面所以“直线la且lb”是“l”的必要不充分条件故选B3(多选题)一正方体的平面展开图如图所示，在这个正方体中，有下列四个命题，其中正确的是()A AFGCB BD与GC
13、成异面直线且夹角为60CBDMND BG与平面ABCD所成的角为45AB将平面展开图还原成正方体(如图所示)对于A，由图形知AF与GC异面垂直，故A正确；对于B，BD与GC显然成异面直线如图，连接EB，ED，则BEGC，所以EBD即为异面直线BD与GC所成的角(或其补角)在等边BDE中，EBD60，所以异面直线BD与GC所成的角为60，故B正确；对于C，BD与MN为异面垂直，故C错误；对于D，由题意得，GD平面ABCD，所以GBD是BG与平面ABCD所成的角但在RtBDG中，GBD不等于45，故D错误综上可得AB正确4已知平面外两点A，B到平面的距离分别是2和4，则A，B的中点P到平面的距离是
14、_1或3A，B在同一侧时，P到的距离为3；A，B在异侧时，P到的距离为15如图所示，三棱锥PABC中，PA平面ABC，PAAB，则直线PB与平面ABC所成角的度数为_；点Q在PB的延长线上，则直线QB与平面ABC所成角的度数为_4545因为PA平面ABC，所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB，所以PBA即为直线PB与平面ABC所成的角在PAB中，BAP90，PAAB，所以PBA45，即直线PB与平面ABC所成的角等于45；直线QB与直线PB共线，所以直线QB与平面ABC所成的角等于45回顾本节知识，自我完成以下问题：1判定直线l与平面垂直的方式有哪些？提示若al，且a，则l；若l2求直线与平面所成角的步骤是什么？提示三步：“一作”“二证”“三求解”3如何求直线到平面的距离？提示若直线与平面平行，则可以转化为直线上任一点到平面的距离- 12 - 版权所有高考资源网
