1、全书综合测评(满分:150分;时间:120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.直线x-3y-3=0的倾斜角为()A.6B.3C.23D.562.函数f(x)=1+1x的图象在点12, f12处的切线的斜率为()A.2B.-2C.4D.-43.已知F1,F2为定点,F1F2=4,在同一平面内的动点M满足MF1+MF2=t(t为常数),且t4,则动点M的轨迹是()A.椭圆B.线段C.圆D.线段或椭圆4.在等比数列an中,a2+a3=1,a4+a5=2,则 a6+a7=()A.2B.22C.4D.425.已知两圆的方程分
2、别是C1:(x-3)2+(y+2)2=1,C2:(x-7)2+(y-1)2=36,则这两圆的位置关系是()A.内含B.内切C.相交D.外切6.我国古代数学名著增删算法统宗中有如下问题:“一个公公有九个儿,若问生年总不知,知长排来争三岁,其年二百七岁期,借问长儿多少岁,各儿岁数要详推.”其大致意思是:一个公公有九个儿子,若问他们的生年是不知道的,但从老大的生年开始排列,后面每个儿子都比前面一个儿子小3岁,九个儿子共207岁,则老大的岁数是 ()A.38B.35C.32D.297.已知在平面直角坐标系xOy中,双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左焦点为F,点M,N在双曲线C上,若四边
3、形OFMN为菱形,则双曲线C的离心率为()A.3-1B.5-1C.3+1D.5+18.已知函数f(x)=ln x+ax2+(2+a)x(a0时,方程表示椭圆B.当mn0,S170,d0C.S8与S9均为Sn的最大值D.a90)的焦点F到其准线的距离为2,过点F的直线与抛物线交于P,Q两点,M为线段PQ的中点,O为坐标原点,则()A.抛物线C的准线方程为y=-1B.线段PQ的长度的最小值为4C.SOPQ2D.OPOQ=-312.已知f(x)=exx3,则下列结论正确的是()A. f(x)在R上单调递增B. f(log52) f(e-12)b0)的短轴长为2,上顶点为A,左顶点为B,左、右焦点分别
4、是F1、F2,且F1AB的面积为2-32,则椭圆的标准方程为;若点P为椭圆上的任意一点,则1PF1+1PF2的取值范围是.(第一个空2分,第二个空3分)四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)在 S4-a3=a6;S3是a1与a9的等差中项;a1+a3+a5+a7+a9=5S3这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答.记Sn 为等差数列an的前n项和,已知a3=5,且.(1)求an的通项公式;(2)在(1)的条件下,记bn=1anan+1,求数列bn的前n项和Tn.注:选择多个条件分别解答时,按第一个解答计分.18.
5、(本小题满分12分)已知某曲线C:x2+y2+2x-4y+a=0.(1)若此曲线是圆,求a的取值范围,并求出其圆心和半径;(2)若a=1,且此曲线与直线l:x-y+1=0相交于M,N两点,求弦长MN.19.(本小题满分12分)设数列an的前n项和为Sn,已知S2=4,an+1=2Sn+1(nN*).数列bn是首项为a1,公差不为零的等差数列,且b1,b2,b7成等比数列.(1)求数列an和bn的通项公式;(2)若cn=bnan,数列cn的前n项和为Tn,且Tn0)的准线方程为y=-1,直线l过点P(0,-1),且与抛物线C交于A,B两点.点A关于y轴的对称点为A,连接AB.(1)求抛物线C的标
6、准方程;(2)问直线AB是否过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ex-1-x-ax2,g(x)=bx-bln x,其中e为自然对数的底数.(1)若当x0时,不等式f(x)0恒成立,求实数a的取值范围;(2)若x0,证明:(ex-1)ln(x+1)x2.答案全解全析一、单项选择题1.A直线x-3y-3=0可化为y=33x-3,斜率k=tan =33,又0,),=6.故选A.2.D因为f(x)=1+1x,所以f (x)=-1x2, 所以 f 12=-4.故选D.3.D当t=4时,点M的轨迹是线段F1F2;当t4时,点M的轨迹是椭圆.故选D.4
7、.C设等比数列an的公比为q,则a4+a5a2+a3=a2q2+a3q2a2+a3=q2=2,a6+a7=a4q2+a5q2=(a4+a5)q2=22=4.故选C.5.B根据两圆的方程得到两圆的圆心间的距离d=(7-3)2+(1+2)2=5,又圆C1的半径r1=1,圆C2的半径r2=6,且d,r1,r2满足r2-r1=d,所以两圆内切.6.B由题意可知,九个儿子的年龄可以看成以老大的年龄为首项,公差为-3的等差数列,记此等差数列为an,则9a1+982(-3)=207,解得a1=35,故选B.7.C由题意可知OF=c,由四边形OFMN为菱形,可得MN=OF=c,设点M在F的上方,可知M、N关于
8、y轴对称,可设M-c2,3c2,代入双曲线方程可得-c22a2-3c22b2=1,结合a2+b2=c2,可得c4+4a4-8a2c2=0,两边同除以a4,可得e4+4-8e2=0,解得e2=4+23或e2=4-23,因为e1,所以e=4+23=(1+3)2=3+1,故选C.8.C由题意,g(x)=xex-2,x(0,2,g(x)=ex-xex(ex)2=1-xex,令g(x)=0,得x=1,当0x0;当1x2时,g(x)-2,设g(x)=xex-2,x(0,2的值域为A,则A=-2,1e-2.设f(x)=ln x+ax2+(2+a)x,x(0,e的值域为B,因为对任意的x0(0,2,关于x的方
9、程f(x)=g(x0)在(0,e上都有实数根,所以AB.因为当x0+, f(x)-,所以只需f(x)max1e-2.易得f(x)=1x+2ax+2+a=(2x+1)(ax+1)x,令f(x)=0,得x=-1a或x=-12(舍去),当-1ae,即-1ea0时, f(x)在(0,e上是增函数,则f(x)max=f(e)=1+ae2+2e+ae1e-2,解得a-2e+e-1e3+e2,-1ea0.当-1ae,即a-1e时, f(x)在0,-1a上单调递增,在-1a,e上单调递减,则f(x)max=f-1a=ln -1a+1a-2a-11e-2,即ln -1a-1a1e-1,令h(x)=ln x+x,
10、易知h(x)在(0,+)上单调递增,而h1e=1e-1, 于是-1a1e,解得-ea-1e.综上,实数a的取值范围为-ea0时,将原方程整理,得x21m+y21n=1,若m,n同负或1m=1n,则方程不表示椭圆,A错误;当mn0,a8+a9=a1+a160,B正确.又S17=17(a1+a17)2=17a90,a90,d=a9-a80,A、D正确.易知S8是Sn的最大值,S9不是Sn的最大值,C错误.故选ABD.11.BCD因为抛物线的焦点F到其准线的距离为2,所以p=2,所以抛物线C的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,故选项A错误;当直线PQ垂直于x轴时,线段PQ的长度最小,此时不妨设
11、P(1,2),Q(1,-2),所以PQmin=4,故选项B正确;设P(x1,y1),Q(x2,y2),直线PQ的方程为x=my+1,联立x=my+1,y2=2px,消去x,将p=2代入可得y2-4my-4=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4,SOPQ=12OF|y1-y2|=121(y1+y2)2-4y1y2=1216m2+162,当且仅当m=0时“=”成立,故选项C正确;x1x2=(my1+1)(my2+1)=m(y1+y2)+m2y1y2+1=1,y1y2=-4,所以OPOQ=x1x2+y1y2=-3,故选项D正确.故选BCD.12.BCDf(x)=exx3,f (x)=ex(x3+
12、3x2).令f (x)=0,得x=0或x=-3.当x-3时, f (x)-3时, f (x)0, f(x)单调递增,A错误.又0log5212e-121ln ,f(log52) f(e-12) f(ln ),B正确.f(0)=0, f(-3)=e-3(-3)3=-3e3-1,f(x)=-1有实数根,C正确.显然x=0是方程f(x)=kx的根,当x0时,k=f(x)x=exx2,设g(x)=exx2(x0),则g(x)=x(x+2)ex,令g(x)=0,得x=0或x=-2.当x发生变化时,g(x),g(x)的变化情况如下表:x(-,-2)-2(-2,0)0(0,+)g(x)+0-0+g(x)4e
13、20画出函数g(x)的大致图象,如图所示,当0k4e2时,g(x)=k有3个实数根,D正确.故选BCD.三、填空题13.答案2解析由于直线l1与l2平行,则2a=-(a-3)且0-4a,解得a=1,所以直线l1的方程为x+y=0,直线l2的方程为x+y-2=0,因此,直线l1与l2之间的距离为212+12=2.14.答案768解析由an+1=3Sn,得Sn+1-Sn=3Sn,即Sn+1=4Sn,又S1=a1=1,所以数列Sn是首项为1,公比为4的等比数列,所以Sn=4n-1,所以a6=S6-S5=45-44=344=768.15.答案2,+)解析f(x)=x3+ax2+x+1,f (x)=3x
14、2+2ax+1,函数f(x)在区间-23,-13内是减函数,f (x)0在区间-23,-13内恒成立,即a-3x2-12x在区间-23,-13内恒成立,令g(x)=-3x2-12x-23x-13,则g(x)=-32+12x2=-3x2+12x2,当x-23,-33时,g(x)0,g(x)单调递增,又g-23=74,g-13=2,g(x)0,b0,解得a=2,c=3,所以椭圆的标准方程为x24+y2=1.由题意可得2-3PF12+3,PF1+PF2=2a=4,所以1PF1+1PF2=PF1+PF2PF1PF2=4PF1(4-PF1),因为PF1(4-PF1)=-(PF1-2)2+41,4,所以1
15、PF1+1PF2=4PF1(4-PF1)1,4.四、解答题17.解析(1)选择条件:设等差数列an的公差为d,则a1+2d=5,4a1+432d-a1-2d=a1+5d,(2分)解得a1=1,d=2,(4分)an=2n-1.(5分)选择条件:设等差数列an的公差为d,则a1+2d=5,23a1+322d=a1+a1+8d,(2分)解得a1=1,d=2,(4分)an=2n-1.(5分)选择条件:设等差数列an的公差为d,则a1+2d=5,5a5=5(a1+4d)=53a1+322d,(2分)解得a1=1,d=2,(4分)an=2n-1.(5分)(2)由(1)可得bn=1anan+1=1(2n-1
16、)(2n+1)=1212n-1-12n+1,(7分)Tn=b1+b2+bn=1211-13+13-15+12n-1-12n+1=121-12n+1=n2n+1.(10分)18.解析(1)方程x2+y2+2x-4y+a=0可化为(x+1)2+(y-2)2=5-a.(2分)若其曲线是圆,则5-a0,得a5.(4分)其圆心坐标为C(-1,2),半径r=5-a.(6分)(2)当a=1时,曲线的方程为(x+1)2+(y-2)2=4,(7分)它表示的是圆,圆心为C(-1,2),半径r=2.(8分)圆心到直线l的距离d=|-1-2+1|2=2.(10分)弦长MN=2r2-d2=24-2=22.(12分)19
17、.解析(1)an+1=2Sn+1(nN*),当n2时,an=2Sn-1+1,-,化简可得an+1=3an,(1分)即数列an是以3为公比的等比数列,(2分)又S2=4,a1+3a1=4,解得a1=1,即an=3n-1.(3分)设数列bn的公差为d(d0),b1=a1=1,b1,b2,b7成等比数列,1(1+6d)=(1+d)2,(4分)解得d=4或d=0(舍去),即bn=4n-3,数列an和bn的通项公式分别为an=3n-1,bn=4n-3.(6分)(2)由(1)得cn=bnan=4n-33n-1,(7分)Tn=130+5131+9132+(4n-3)13n-1,13Tn=131+5132+9
18、133+(4n-7)13n-1+(4n-3)13n,-,得23Tn=1+4131+4132+413n-1-(4n-3)13n=3-(4n+3)13n.(10分)Tn=92-3(4n+3)213n,即有Tn92恒成立,由Tn0,所以f(x)在区间4,8上为增函数,满足条件;(2分)又因为f(4)=742=124,所以当m=13时不满足条件.(3分)综上可得,当参数m=13时不满足条件.(5分)(2)由函数f(x)=x4-mx+4,可得f (x)=14+mx2=x2+4m4x2,x4,8,(6分)所以当m0时,f (x)0,满足条件;(8分)当m0时,令f (x)=0,可得x=2-m(负值舍去),
19、当x2-m,+)时, f (x)0,f(x)单调递增,所以此时若要满足条件,应有2-m4,解得-4m0)的准线方程为y=-1,所以p2=1,即p=2,(3分)所以抛物线C的标准方程为x2=4y.(4分)(2)由题意知直线l的斜率存在,故可设直线l的方程为y=kx-1,A(x1,y1),B(x2,y2),则A(-x1,y1),联立x2=4y,y=kx-1,得x2-4kx+4=0.则=16k2-160,x1x2=4,x1+x2=4k,(6分)所以kAB=y2-y1x2+x1=x224-x124x1+x2=x2-x14.(7分)于是直线AB的方程为y-x224=x2-x14(x-x2),所以y=x2
20、-x14x+x224-(x2-x1)x24,即y=x2-x14x+1,(10分)当x=0时,y=1.即直线AB过定点(0,1).(12分)22.解析(1)由已知得f (x)=ex-1-2ax,(1分)令h(x)=ex-1-2ax,则h(x)=ex-2a,当x0时,ex1.故当2a1时,h(x)=ex-2a0恒成立,h(x)在0,+)上单调递增,h(x)h(0)=0,即f (x)0,f(x)在0,+)上为增函数,f(x)f(0)=0恒成立,a12时满足条件.(3分)当2a1时,令h(x)=0,解得x=ln 2a,在0,ln 2a)上,h(x)0,h(x)在0,ln 2a)上单调递减,当x0,ln
21、 2a)时,有h(x)h(0)=0,即f (x)0,当且仅当x=0时,f (x)=0,故f(x)在0,ln 2a)上为减函数,f(x)0时,ex1+x+x22成立,即ex-1x+x22=x2+2x2成立,(7分)x0,ln(x+1)0,要证不等式(ex-1)ln(x+1)x2,只需证ex-1x2ln(x+1),(8分)只需证x2+2x2x2ln(x+1),只需证ln(x+1)2x2+x成立,(9分)设F(x)=ln(x+1)-2xx+2(x0),(10分)则F(x)=1x+1-4(x+2)2=x2(x+1)(x+2)2,当x0时,F(x)0恒成立,故F(x)在(0,+)上单调递增,又F(0)=0,F(x)0恒成立,原不等式成立.(12分)
