1、第九章平面解析几何第5课时直线与圆的位置关系考情分析考点新知掌握直线与圆、圆与圆的位置关系的几何图形及其判断方法 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定的两个圆的方程，判断两圆的位置关系. 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.1. 已知圆O：x2y24，则过点P(2，4)与圆O相切的切线方程为_答案：3x4y100或x2解析： 点P(2，4)不在圆O上， 切线PT的直线方程可设为yk(x2)4.根据dr， 2，解得k，所以y(x2)4，即3x4y100.因为过圆外一点作圆的切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在易求另一条切线为x2.2. (必修2P115练习1改编)
2、已知圆(x1)2(y2)26与直线2xy50的位置关系是_答案：相交解析：由题意知圆心(1，2)到直线2xy50的距离d，0d，故该直线与圆相交但不过圆心3. (必修2P115练习4改编)若圆x2y21与直线ykx2没有公共点，则实数k的取值范围是_答案：(，)解析：由题意知1，解得k.4. 过直线xy20上点P作圆x2y21的两条切线，若两条切线的夹角是60，则点P的坐标是_答案：(，)解析：本题主要考查数形结合的思想，设P(x，y)，则由已知可得PO(O为原点)与切线的夹角为30，则|PO|2，由可得5. (必修2P107习题4改编)以点(2，2)为圆心并且与圆x2y22x4y10相外切的
3、圆的方程是_答案：(x2)2(y2)29解析：设所求圆的方程为(x2)2(y2)2r2(r0)，此圆与圆x2y22x4y10，即(x1)2(y2)24相外切，所以2r，解得r3.所以所求圆的方程为(x2)2(y2)29.1. 直线与圆的位置关系(1) 直线与圆相交，有两个公共点；(2) 直线与圆相切，只有一个公共点；(3) 直线与圆相离，无公共点2. 直线与圆的位置关系的判断方法直线l：AxByC0(A，B不全为0)与圆(xa)2(yb)2r2(r0)的位置关系的判断方法：(1)几何方法：圆心(a，b)到直线AxByC0的距离为d，dr直线与圆相离(2) 代数方法：由AxByC0，(xa)2(
4、yb)2r2，消元，得到的一元二次方程的判别式为，则0直线与圆相交；0直线与圆相切；0)与(xa2)2(yb2)2r(r20)的圆心距为d，则dr1r2两圆外离；dr1r2两圆外切；|r1r2|dr1r2两圆相交；d|r1r2|(r1r2) 两圆内切；0d|r1r2|(r1r2) 两圆内含(d0时为同心圆).题型1直线与圆的位置关系例1已知圆C：(x1)2(y2)225，直线l：(2m1)x(m1)y7m40(mR)(1) 求证：不论m取什么实数，直线l与圆C恒交于两点；(2) 求直线被圆C截得的弦长最小时直线l的方程(1) 证明：直线l的方程整理得(xy4)m(2xy7)0， mR， 也就是
5、直线l恒过定点A(3，1)由于|AC|5(半径)， 点A(3，1)在圆C内，故直线l与圆C恒交于两点(2) 解：弦长最小时，直线lAC，而kAC，故此时直线l的方程为2xy50.已知圆x2y26mx2(m1)y10m22m240(mR)(1) 求证：不论m取什么值，圆心在同一直线l上；(2) 与l平行的直线中，哪些与圆相交，相切，相离(1) 证明：配方得(x3m)2y(m1)225.设圆心为(x，y)，则消去m，得x3y30.故不论m取什么值，圆心在同一直线l：x3y30上(2) 解：设与l平行的直线为n：x3yb0，则圆心到直线l的距离d，由于圆的半径r5， 当dr，即53br，即b53时，
6、直线与圆相离题型2直线与圆相交的弦的问题例2已知圆C：x2(y3)24，一动直线l过A(1，0)与圆C相交于P、Q两点，M是PQ中点，l与直线m：x3y60相交于N.(1) 求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；(2) 当PQ2时，求直线l的方程；(3) 探索是否与直线l的倾斜角有关？若无关，请求出其值；若有关，请说明理由(1) 证明： l与m垂直，且km， kl3.又kAC3，所以当l与m垂直时，l的方程为y3(x1)，l必过圆心C.(2) 解：当直线l与x轴垂直时， 易知x1符合题意当直线l与x轴不垂直时， 设直线l的方程为yk(x1)，即kxyk0.因为PQ2 ，所以CM1，则由CM1，得
7、k， 直线l：4x3y40. 从而所求的直线l的方程为x1或4x3y40.(3) 解： CMMN， () .当l与x轴垂直时，易得N，则.又(1，3)， 5；当l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)，则由得N，则. 5.综上，与直线l的斜率无关，且5.另解：连结CA并延长交m于点B，连结CM，CN，由题意知ACm，又CMl， 四点M、C、N、B都在以CN为直径的圆上，由相交弦定理，得|AM|AN|AC|AB|5. 已知圆C：(x3)2(y4)24，直线l1过定点A(1，0)(1) 若l1与圆相切，求l1的方程；(2) 若l1与圆相交于P、Q两点，线段PQ的中点为M，又l1与l2：x2y2
8、0的交点为N，判断AMAN是否为定值？若是，则求出定值；若不是，请说明理由解：(1) 若直线l1的斜率不存在，即直线是x1，符合题意若直线l1斜率存在，设直线l1为yk(x1)，即kxyk0.由题意知，圆心(3，4)到已知直线l1的距离等于半径2，即2，解得k.所求直线方程是x1或3x4y30.(2) (解法1)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kxyk0.由得N.又直线CM与l1垂直，由得M. AMAN 6为定值故AMAN是定值，且为6.(解法2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kxyk0.由得N.再由得(1k2)x2(2k28k6)xk28k210.x
9、1x2，得M.以下同解法1.(解法3)用几何法连结CA并延长交l2于点B，kAC2，kl2，CBl2.如图所示，AMCABN，则，可得AMANACAB26，是定值题型3圆的切线问题例3求半径为4，与圆x2y24x2y40相切，且和直线y0相切的圆的方程解：由题意，设所求圆的方程为圆C：(xa)2(yb)2r2.圆C与直线y0相切，且半径为4，则圆心C的坐标为C1(a，4)或C2(a，4)又已知圆x2y24x2y40的圆心A的坐标为(2，1)，半径为3.若两圆相切，则|CA|437或|CA|431. 当C1(a，4)时，有(a2)2(41)272或(a2)2(41)212(无解)，故可得a22.
10、 所求圆方程为(x22)2(y4)242或(x22)2(y4)242. 当C2(a，4)时，(a2)2(41)272或(a2)2(41)212(无解)，故a22. 所求圆的方程为(x22)2(y4)242或(x22)2(y4)242.自点A(3，3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，反射光线所在的直线与圆C：x2y24x4y70相切求：(1) 光线l和反射光线所在的直线方程；(2) 光线自A到切点所经过的路程解：根据对称关系，首先求出点A的对称点A的坐标为，其次设过A的圆C的切线方程为yk3.根据dr，即求出圆C的切线的斜率为k或k，进一步求出反射光线所在的直线的方程为4x3y30或3x4y
11、30.最后根据入射光与反射光关于x轴对称，求出入射光所在直线方程为4x3y30或3x4y30.光路的距离为，可由勾股定理求得7.【示例】(本题模拟高考评分标准，满分14分)直线l过点(4，0)且与圆(x1)2(y2)225交于A，B两点，如果AB8，求直线l的方程学生错解：解：设直线l的方程为yk(x4)，由被圆截得的弦长为8，可得圆心(1，2)到直线yk(x4)的距离为3，即3，解得k，此时直线方程为5x12y200.审题引导： (1) 如何设过定点的直线的方程？(2) 圆中弦长的问题，通常作怎样的辅助线构造直角三角形来解决？规范解答： 解：过点(4，0)的直线若垂直于x轴，经验证符合条件，
12、即方程为x40满足题意；(4分)若存在斜率，设其直线方程为yk(x4)，由被圆截得的弦长为8，可得圆心(1，2)到直线yk(x4)的距离为3，即3，解得k，(10分)此时直线方程为5x12y200，(12分)综上直线方程为5x12y200或x40.(14分)错因分析： 1. 解答本题易误认为斜率k一定存在从而漏解.2. 对于过定点的动直线设方程时，可结合题意或作出符合题意的图形分析斜率k是否存在，以避免漏解1. 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2y28x150，若直线ykx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是_答案：解析： 圆C的方程可化为(x
13、4)2y21， 圆C的圆心为(4，0)，半径为1.由题意知，直线ykx2上至少存在一点A(x0，kx02)，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点， 存在x0R，使得AC11成立，即ACmin2. ACmin即为点C到直线ykx2的距离， 2，解得0k. k的最大值是.2. 已知直线l过点(2，0)，当直线l与圆x2y22x有两个交点时，其斜率k的取值范围是_答案：解析：易知圆心坐标是(1，0)，圆的半径是1，直线l的方程是yk(x2)，即kxy2k0，根据点到直线的距离公式得1，即k2，解得k.3. 直线ykx3与圆(x2)2(y3)24相交于M，N两点，若MN2，则k的取值范围是_答案：
14、解析：设圆心C(2，3)到直线ykx3的距离为d，若MN2，则d2r2431，即1，解得k.4. 若圆O：x2y25与圆O1：(xm)2y220(mR)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是_答案：4解析：依题意得OO15，且OO1A是直角三角形，SOO1AOO1OAAO1，因此AB4.5. 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点O，右焦点为F.若C的右准线l的方程为x4，离心率e.(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 设点P为准线l上一动点，且在x轴上方圆M经过O、F、P三点，求当圆心M到x轴的距离最小时圆M的方程解：(1) 由题意，设椭圆C的标准方程
15、为1(ab0)，则解得a2，c2.从而b2a2c24.所以所求椭圆C的标准方程为1.(2) (解法1)由(1)知F(2，0)由题意可设P(4，t)，t0.线段OF的垂直平分线方程为x1.因为线段FP的中点为，斜率为，所以FP的垂直平分线方程为y(x3)，即yx.联立，解得即圆心M.因为t0，所以22，当且仅当，即t2时，圆心M到x轴的距离最小，此时圆心为M(1，2)，半径为OM3.故所求圆M的方程为(x1)2(y2)29.(解法2)由(1)知F(2，0)由题意可设P(4，t)，t0.因为圆M过原点O，故可设圆M的方程为x2y2DxEy0.将点F、P的坐标代入得解得所以圆心M的坐标为，即(1，)
16、因为t0，所以22，当且仅当，即t2时，圆心M到x轴的距离最小，此时E4.故所求圆M的方程为x2y22x4y0.6. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成，两相接点M、N均在直线x5上圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为r113；圆弧C2过点A(29，0)(1) 求圆弧C2所在圆的方程；(2) 曲线C上是否存在点P，满足PAPO？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；(3) 已知直线l：xmy140与曲线C交于E、F两点，当EF33时，求坐标原点O到直线l的距离解：(1) 由题意得，圆弧C1所在圆的方程为x2y2169.令x5，解得M(5，12)，N
17、(5，12)，又C2过点A(29，0)，设圆弧C2所在圆方程为x2y2DxEyF0，则解得所以圆弧C2所在圆的方程为x2y228x290.(2) 假设存在这样的点P(x，y)，则由PAPO，得(x29)2y230(x2y2)，即x2y22x290.由解得x70(舍去)；由解得x0(舍去)所以这样的点P不存在(3) 因为圆弧C1、C2所在圆的半径分别为r113，r215，因为EF2r1，EF2r2，所以E、F两点分别在两个圆弧上设点O到直线l的距离为d，因为直线l恒过圆弧C2所在圆的圆心(14，0)，所以EF15，即18，解得d2，所以点O到直线l的距离为.1. 已知圆O的半径为1，PA、PB为
18、该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为_答案：32解析：设APB2，|x，则|cos2|2cos2(|21)(12sin2)(x21)x22132，当且仅当x2，即x时取等号2. 若直线yxb与曲线y3有公共点，则b的取值范围是_答案：12，3解析：y3变形为(x2)2(y3)24(0x4，1y3)，表示以(2，3)为圆心，2为半径的下半圆，如图所示若直线yxb与曲线y3有公共点，只需直线yxb在图中两直线之间(包括图中两条直线)，yxb与下半圆相切时，圆心到直线yxb的距离为2，即2，解得b12或b12(舍去)，b的取值范围为12b3.3. 已知圆C过点P(1，1)，且与圆M：(x2
19、)2(y2)2r2(r0)关于直线xy20对称(1) 求圆C的方程；(2) 过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A、B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由解：(1) 设圆心C(a，b)，则解得则圆C的方程为x2y2r2，将点P的坐标代入得r22，故圆C的方程为x2y22.(2) 由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设PA：y1k(x1)，PB：y1k(x1)，由得(1k2)x22k(1k)x(1k)220.因为点P的横坐标x1一定是该方程的解，故可得xA.同理可得xB，所以kAB1kOP，所以，直线AB和OP一定平行4
20、. 已知以点C(tR，t0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点(1) 求证：AOB的面积为定值；(2) 设直线2xy40与圆C交于点M、N，若|OM|ON|，求圆C的方程；(3) 在(2)的条件下，设P、Q分别是直线l：xy20和圆C的动点，求|PB|PQ|的最小值及此时点P的坐标解：(1) 由题设知，圆C的方程为(xt)2t2，化简得x22txy2y0，当y0时，x0或2t，则A(2t，0)；当x0时，y0或，则B， SAOB|OA|OB|2t|4为定值(2) |OM|ON|，则原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CHMN， C、H、O三点共线，则直线OC
21、的斜率k， t2或t2， 圆心C(2，1)或C(2，1) 圆C的方程为(x2)2(y1)25或(x2)2(y1)25，由于当圆方程为(x2)2(y1)25时，直线2xy40到圆心的距离dr，此时不满足直线与圆相交，故舍去. 圆C的方程为(x2)2(y1)25(3) 点B(0，2)关于直线xy20的对称点为B(4，2)，则|PB|PQ|PB|PQ|BQ|，又B到圆上点Q的最短距离为|BC|r32. 所以|PB|PQ|的最小值2，直线BC的方程为yx，则直线BC与直线xy20的交点P的坐标为.1. 两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到2. 圆的弦长的常用求法：(1) 几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则r2d2；(2) 代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：AB|x1x2|.请使用课时训练(B)第5课时(见活页)
