1、河北省保定容大中学2019-2020学年高二数学下学期4月月考试题（含解析）（考试时间：120分钟）一、选择题（每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1. 若，则的值为（ ）A. 60B. 70C. 120D. 140【答案】D【解析】【分析】先由可求出n，再代入式子即可求出.【详解】，解得或（舍去），.故选：D.【点睛】本题考查排列数和组合数的计算，属于基础题.2. 二次项展开式中常数项为（ ）A. 5B. 10C. 15D. 20【答案】D【解析】【分析】根据题意，可得二项展开式通项为，令，可得，然后代入通项公式，可得答案.【详解】利用二次项定理的通项公式，令，故选D.【点睛】本题
2、主要考查利用二项展开式的通项公式，解决二项展开式的特殊项问题，主要考查考生的计算求解能力.3. 某食堂一窗口供应2荤3素共5种菜，甲、乙两人每人在该窗口打2种菜，且每人至多打1种荤菜，则两人打菜方法的种数为（ ）A. 64B. 81C. 36D. 100【答案】B【解析】【分析】由题甲，乙均有两种情况，一荤一素和两素，再由分步原理可得种数【详解】甲有两种情况：一荤一素，种；两素，种.故甲共有种，同理乙也有9种，则两人打菜方法的种数为种.故选B.【点睛】本题考查分类加法和分步乘法计数原理，属于基础题4. 只用四个数字组成一个五位数，规定这四个数字必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数
3、有（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】以重复使用的数字为数字为例，采用插空法可确定符合题意的五位数的个数；重复使用每个数字的五位数个数一样多，通过倍数关系求得结果.【详解】当重复使用的数字为数字时，符合题意的五位数共有：个当重复使用的数字为时，与重复使用的数字为情况相同满足题意的五位数共有：个本题正确选项：【点睛】本题考查排列组合知识的综合应用，关键是能够明确不相邻的问题采用插空法的方式来进行求解；易错点是在插空时，忽略数字相同时无顺序问题，从而错误的选择排列来进行求解.5. 如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，
4、则不同的染色方法种数是()A. 420B. 210C. 70D. 35【答案】A【解析】【分析】将不同的染色方案分为：相同和不同两种情况，相加得到答案.【详解】按照的顺序：当相同时：染色方案为 当不同时：染色方案为 不同的染色方案为：种故答案为A【点睛】本题考查了加法原理和乘法原理，把染色方案分为相同和不同两种情况是解题的关键.6. 现有10名学生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相邻排在一起，则不同的排法共有（ ）A. 种B. 种C. 种D. 种【答案】D【解析】【分析】从4名男生中选择3名，进而将3个相邻的男生捆在一起是种; 6个女生随意排是种, 再插入2个男生是种可得.
5、【详解】采用捆绑法和插空法：从4名男生中选择3名，进而将3个相邻的男生捆在一起，看成1个男生，方法数是种，这样与第4个男生看成是2个男生；然后6个女生随意排的方法数是种；最后在6个女生形成的7个空隙中，插入2个男生，方法数是种，综上所述，不同的排法共有种，故选:D【点睛】本题考查了排列知识的应用.求解排列问题的六种主要方法:直接法:把符合条件的排列数直接列式计算;优先法:优先安排特殊元素或特殊位置;捆绑法:把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列;插空法:对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中;定序问题除法处理:对于定序问
6、题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列;间接法:正难则反、等价转化的方法.7. 某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2名，乙大学2名，丙大学1名，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有A. 36种B. 24种C. 22种D. 20种【答案】B【解析】第一类：男生分为，女生全排，男生全排得，第二类：男生分为，所以男生两堆全排后女生全排，不同的推荐方法共有 ，故选B.8. 2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜潮举行，长三角城市群包括，上海市以及江苏省浙江省安徽省三省部分城市，简称“
7、三省一市.现有名高三学生准备高考后到上海市江苏省浙江省安徽省四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游则恰有一个地方未被选中的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出4名同学去旅游的所有情况种数，再求出恰有一个地方未被选中的种数，由概率公式计算出概率【详解】4名同学去旅游的所有情况有：种恰有一个地方未被选中共有种情况；所以恰有一个地方未被选中的概率：；故选：B.【点睛】本题考查古典概型，解题关键是求出基本事件的个数，本题属于中档题9. 已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种
8、方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有（ ）种A. 19B. 7C. 26D. 12【答案】C【解析】【分析】由题意，根据甲丙丁的支付方式进行分类，根据分类计数原理即可求出【详解】顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，当甲丙丁顾客都不选微信时，则甲有2种选择，当甲选择现金时，其余2人种，当甲选择支付宝时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选支付宝或现金，故有，故有2+5=7种，当甲丙丁顾客都不选支付宝时，则甲有2种选择，当甲选择现金时，其余2人种，当甲选择微信时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一
9、人选择银联卡，另一人只能选微信或现金，故有，故有2+5=7种，当甲丙丁顾客都不选银联卡时，若有人使用现金，则,若没有人使用现金，则有种，故有6+6=12种，根据分步计数原理可得共有7+7+6+6=26种，故选C【点睛】本题考查了分步计数原理和分类计数原理，考查了转化思想，属于难题.10. 袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是（ ）A. 至少取到1个白球B. 取到白球的个数C. 至多取到1个白球D. 取到的球的个数【答案】B【解析】【分析】根据随机变量定义，即可求解.【详解】根据离散型随机变量的定义可得选项B是随机变量，其可以一一列出，其中随机变量X的取值0,1,2.故
10、选：B.【点睛】本题主要考查了随机变量的定义及其应用，准确理解随机变量的概念是解答的关键，属于基础题.11. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）A. 0.16B. 0.32C. 0.68D. 0.84【答案】A【解析】【分析】根据正态分布的对称性进行求解即可.【详解】由，因为正态分布的对称轴为：，所以.故选：A【点睛】本题考查了正态分布对称性的应用，考查了数学运算能力，属于基础题.12. 袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，有放回地依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量，则所有可能值的个数是（ ）A. 25B. 10C. 9D. 5【答案】C【解析】【分析】这
11、是有放回的抽样，将号码之和的可能情况列举出来即可得到答案.【详解】依据题意，分析可得，这是有放回的抽样，号码之和可能的情况有：2,3,4,5,6,7,8,9,10共9种情况故选C【点睛】本题主要考查了有放回的抽样，属于基础题.13. 某导弹发射的事故率为0.001，若发射10次，记出事故的次数为，则（ ）A. 0.0999B. 0.001C. 0.01D. 0.00999【答案】D【解析】【分析】根据题意服从二项分布，由公式可得求得【详解】由于每次发射导弹是相互独立的，且重复了10次，所以可以认为是10次独立重复试验，故服从二项分布，.故选D.【点睛】本题考查离散型随机变量的方差，由服从二项分
12、布的方差公式可直接求出14. 设，则的值分别为 （ ）A. 18，B. 36, C. 36，D. 18，【答案】A【解析】【分析】由B（n，p），E12，D4，知np12，np（1p）4，由此能求出n和p【详解】E12，D4，np12，np（1p）4，n18，p故选A【点睛】本题考查离散型随机变量的期望和方差，解题时要注意二项分布的性质和应用15. 已知某一随机变量的分布列如下表所示，若，则的值为（ ）790.10.4A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】A【解析】【分析】根据随机变量的分布列的性质，求得，再利用期望的计算公式，即可求解，得到答案.【详解】根据随机变量的分布列的性质，可知，所
13、以，又，所以，故选A.【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列的性质，以及数学期望的计算，其中解答中熟记分布列的性质和期望的计算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.16. 甲、乙二人进行围棋比赛，采取“三局两胜制”，已知甲每局取胜的概率为，则甲获胜的概率为 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先确定事件“甲获胜”包含“甲三局赢两局”和“前两局甲赢”，再利用独立重复试验的概率公式和概率加法公式可求出所求事件的概率【详解】事件“甲获胜”包含“甲三局赢两局”和“前两局甲赢”，若甲三局赢两局，则第三局必须是甲赢，前面两局甲赢一局，所求概率为，若前两
14、局都是甲赢，所求概率为，因此，甲获胜的概率为，故选C【点睛】本题考查独立重复事件的概率，考查概率的加法公式，解题时要弄清楚事件所包含的基本情况，考查分类讨论思想，考查计算能力，属于中等题17. 甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜2局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立记为比赛决出胜负时的总局数，则的数学期望是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】确定随机变量的所有可能取值，根据相互独立概率的乘法公式，求得相应的概率，得到随机变量的分布列，利用期望的计算公式，即可求解，得到答案.【详解】用
15、表示“第局甲获胜”，表示“第局乙获胜”，则，的所有可能取值为，且，故的分布列为2345.故选C.【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列及数学期望的求解，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可能取值，计算得出概率，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望，其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.二、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18. （）已知，求的值.（）若展开式前三项的二项式系数和等于，求的展开式中二项式系数最大的项的系数.【答案】（）（）1120【解析】【分析】（）中，分别令，然后相乘即可
16、得结果；（）由展开式前三项的二项式系数和等于，可得，解得，求出中间项即第五项的系数即可.【详解】（）令得令得（）由题意，即，解得或（舍） 所以的展开式中第五项的二项式系数最大，由展开式的通项公式知第五项为，故所求的系数为.【点睛】本题主要考查二项展开式的各项系数和、二项式系数与项的系数，属于中档题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.19. 5名男生3名女生参加升旗仪式：（1）站两横排，3
17、名女生站前排，5名男生站后排有多少种站法？（2）站两纵列，每列4人，每列都有女生且女生站在男生前面，有多少种排列方法？【答案】（1）； （2） 【解析】【分析】（1）分两步求解：先排3名女生，再排5名男生，根据分步乘法计数原理可得所求（2）先将女生分为两组，将1名女生排在其中一列的最前位置上，再在其后排上三名男生；然后将另外两名女生排在另一列的前两个位置上，并在其后排入两名男生即可【详解】（1）分两步求解：先排前排的3名女生，有种不同的方法；再排后排的5名男生，有种不同的方法由分步乘法计数原理可得共有种不同的站法（2）将3名女生分为两组，有种方法，然后选择其中的一列将1名女生排在最前的一个位置
18、上，有种方法，然后再从5名男生中选取3名排在该女生的后边，有种方法；然后再排另外一列，将剩余的2名女生排再该列的前边有种方法，再将剩余的2名男生排在这2名女生的后边，有种方法由分步乘法计数原理可得不同的排列方法有种【点睛】排列、组合问题由于其思想方法独特，计算量庞大，对结果的检验困难，所以在解决这类问题时就要遵循一定的解题原则，如特殊元素、位置优先原则、先取后排原则、先分组后分配原则、正难则反原则等，只有这样我们才能有明确的解题方向同时解答组合问题时必须心思细腻、考虑周全，这样才能做到不重不漏，正确解题20. 两个人射击，甲射击一次中靶概率是，乙射击一次中靶概率是.（1）两人各射击一次，中靶至
19、少一次就算完成目标，则完成目标概率是多少？（2）两人各射击2次，中靶至少3次就算完成目标，则完成目标概率是多少？【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）两人个射击一次，中靶至少一次就算完成目标，分成三种情况：乙中靶甲不中；甲中靶乙不中；甲乙都中靶，利用概率的乘法公式分别计算出三种情况的概率，即可得出答案；（2）两人各射击次，中靶至少次就算完成目标，分成两类情况，共击中次和共击中次，分别计算出每一类的概率，相加后可得出答案.【详解】（1）共三种情况：乙中靶甲不中，概率为；甲中靶乙不中，概率为；甲乙全中，概率为.因此，所求概率是；（2）分以下两类情况：共击中次，概率为；共击中次，概率为.因此
20、，所求概率为【点睛】本题考查互斥事件的概率加法公式，也考查了独立重复试验的概率，在处理此类问题时，要弄清楚所求事件之间的关系，即所求事件是分类还是分步的是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.21. 袋中装有10个除颜色外完全一样的黑球和白球，已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.（1）求白球的个数；（2）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X,求随机变量X的分布列.【答案】（1）5个；（2）见解析.【解析】【分析】（1）设白球的个数为x，则黑球的个数为10x，记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，则两个都是黑球与事件A为对立事件，由此能求出白
21、球的个数；（2）随机变量X的取值可能为：0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列【详解】（1）设白球的个数为x，则黑球的个数为10x，记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，则,解得.故白球有5个.（2）X服从以10，5，3为参数的超几何分布，.于是可得其分布列为:【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列,超几何分布，求出离散型随机变量取每个值的概率，是解题的关键，属于中档题22. 在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球4个，白球3个，蓝球3个()现从中任取出一球确定颜色后放回盒子里，再取下一个球，重复以上操作，最多取3次，过程中如果取出蓝色球
22、则不再取球，求：最多取两次就结束的概率；整个过程中恰好取到2个白球的概率；()若改为从中任取出一球确定颜色后不放回盒子里，再取下一个球重复以上操作，最多取3次，过程中如果取出蓝色球则不再取球，则设取球的次数为随机变量求的分布列和数学期望,【答案】()，；()答案见解析.【解析】【分析】()由题意分别求得取1次结束和取2次结束的概率即可确定满足题意的概率；首先列出所有取到2个白球的事件，然后利用概率公式可得相应的概率值；()由题意可知的取值为 1,2,3 ，求得相应的概率值即可确定分布列，进一步计算数学期望即可.【详解】()设取球的次数为，则，故最多取两次就结束的概率.由题意可知，可以如下取球：红白白，白红白，白白红，白白蓝，所以恰好取到 2 个白球的概率：.()随机变量的取值为 1,2,3 ，随机变量的分布列为：123 的数学期望.【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，离散型随机变量分布列与数学期望的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
