1、三相似三角形的判定及性质1相似三角形的判定1相似三角形(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比值叫做相似比或(相似系数)(2)预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似2相似三角形的判定定理(1)判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，简述为：两角对应相等，两三角形相似(2)判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角
2、形相似引理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边(3)判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，简述为：三边对应成比例，两三角形相似在这些判定方法中，应用最多的是判定定理1，即两角对应相等，两三角形相似因为它的条件最容易寻求在实际证明当中，要特别注意两个三角形的公共角判定定理2则常见于连续两次证明相似时，在证明时第二次使用此定理的情况较多3直角三角形相似的判定定理(1)定理：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例
3、，那么它们相似(2)定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似对于直角三角形相似的判定，除了以上方法外，还有其他特殊的方法，如直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似在证明直角三角形相似时，要特别注意直角这一隐含条件的利用相似三角形的判定如图，已知在ABC中，ABAC，A36，BD是角平分线，证明：ABCBCD.已知ABAC，A36，所以ABCC72，而BD是角平分线，因此，可以考虑使用判定定理1.A36，ABAC，ABCC72.又BD平分ABC，ABDCBD36.ACBD.又CC，ABCBCD.判定两三角形相
4、似，可按下面顺序进行：(1)有平行截线，用预备定理；(2)有一对等角时，找另一对等角，找夹这个角的两边对应成比例；(3)有两对应边成比例时，找夹角相等，找第三边对应成比例，找一对直角1.如图，D，E分别是AB，AC上的两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使ABE和ACD相似的是()ABC BADCAEBCBECD，ABAC DADACAEAB解析：选C在选项A、B的条件下，两三角形有两组对应角相等，所以两三角形相似，在D项的条件下，两三角形有两边对应成比例且夹角相等故选项A、B、D都能推出两三角形相似在C项的条件下推不出两三角形相似2如图，在四边形ABCD中，EH，FG相交于点O.求证：
5、OEFOHG.证明：如图，连接BD.，EFBD.又，GHBD.EFGH.EFOHGO，OHGOEF.OEFOHG.3.如图，正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F在BC上，且CFBC14，求证：.证明：设正方形ABCD的边长为4a，则ADBC4a，DEEC2a.因为CFBC14，所以CFa，所以2，2，所以.又因为DC90，所以ADEECF.所以.相似三角形的应用如图，D为ABC的边AB上一点，过D点作DEBC，DFAC，AF交DE于G，BE交DF于H，连接GH.求证：GHAB.根据此图形的特点可先证比例式成立，再证EGHEDB，由相似三角形的定义得EHGEBD即可DEBC，即.又DFAC，
6、.又GEHDEB，EGHEDB.EHGEBD.GHAB.不仅可以由平行线得到比例式，也可以根据比例式的成立确定两直线的平行关系有时用它来证明角与角之间的数量关系、线段之间的数量关系4.如图，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，连接CF交AD于点E.(1)求证：CDEFAE；(2)当E是AD的中点，且BC2CD时，求证：FBCF.证明：(1)四边形ABCD是平行四边形，ABCD.又点F在BA的延长线上，DCFF，DFAE.CDEFAE.(2)E是AD的中点，AEDE.由CDEFAE，得.CDFA.ABCDAF.BF2CD.又BC2CD，BCBF.FBCF.5.如图，在RtABC中，
7、BAC90，ADBC于D，点E是AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F.求证：.证明：E是RtADC斜边AC上的中点，AEECED.EDCCBDF.又ADBC且BAC90，BADC.BADBDF.又FF，DBFADF，.又在RtABD与RtCBA中，.课时跟踪检测(三)一、选择题1如图所示，点E是ABCD的边BC延长线上的一点，AE与CD相交于点F，则图中相似三角形共有()A2对 B3对 C4对 D5对解析：选B有3对，因为ABCADF，AEBEAD，所以ABEFDA，因为ABCDCE，E为公共角，所以BAECFE.因为AFDEFC，DAFAEC，所以ADFECF.2三角形的一条高分这个
8、三角形为两个相似三角形，则这个三角形是()A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形解析：选D等腰三角形底边上的高或直角三角形斜边上的高分得的两个三角形分别相似3如图，要使ACDBCA，下列各式中必须成立的是()A.B.CAC2CDCBDCD2ACAB解析：选CCC，只有，即AC2CDCB时，才能使ACDBCA.4如图，在等边三角形ABC中，E为AB的中点，点D在AC上，使得，则有()AAEDBED BAEDCBDCAEDABD DBADBCD解析：选B因为AC，2，所以AEDCBD.二、填空题5如图所示，在ABC中，点D在线段BC上，BACADC，AC8，BC16，那么
9、CD_.解析：BACADC，又CC，ABCDAC.又AC8，BC16.CD4.答案：46如图所示，ACB90，CDAB于点D，BC3，AC4，则AD_，BD_.解析：由题设可求得AB5，RtABCRtACD，.AD.又RtABCRtCBD，.BD.答案：7已知在ABC中，AD为BAC的平分线，AD的垂直平分线EF与AD交于点E，与BC的延长线交于点F，若CF4，BC5，则DF_.解析：连接AF.EFAD，AEED，AFDF，FADFDA.又FADDACCAF，FDABADB，且DACBAD，CAFB.而CFAAFB，AFCBFA.AF2CFBF4(45)36.AF6，即DF6.答案：6三、解答
10、题8.如图，D在AB上，且DEBC交AC于点E，F在AD上，且AD2AFAB.求证：AEFACD.证明：DEBC，.AD2AFAB，.又AA，AEFACD.9.如图，直线EF交AB，AC于点F，E，交BC的延长线于点D，ACBC，且ABCDDEAC.求证：AECEDEEF.证明：ABCDDEAC.ACBC，ACBDCE90.ACBDCE.AD.又AEFDEC，AEFDEC.AECEDEEF.10.如图，在ABC中，EFCD，AFEB，AE6，ED3，AF8.(1)求AC的长；(2)求的值解：(1)EFCD，.AE6，ED3，AF8，.AC12.(2)EFDC，AFEACD，又AFEB，ACDB.又AA，ACDABC.
