1、20202021学年高三年级模拟考试卷数学(满分：150分考试时间：120分钟)202102一、 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合Ax|x22ax3a20，Bx|x23x0若AB，则实数a的取值范围是()A. 0 B. 1，3C. (，0)(3，) D. (，1)(3，)2. i是虚数单位，在复平面内复数i对应的点的坐标为()A. (，) B. (，) C. (，) D. (，)3. 已知a，b，c是实数，则“ab”是“ac2bc2”的()A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不
2、必要条件4. 设函数f(x)aln xbx2，若函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为yx，则函数yf(x)的增区间为()A. (0，1) B. (0，) C. (，) D. (，1)5. 用红、黄、蓝、绿、黑这5种颜色随机给如图所示的四块三角形区域涂色，则“任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率为()A. B. C. D. 6. 如果在一次实验中，测得(x，y)的四组数值分别是(1，2.2)，(2，3.3)，(4，5.8)，(5，6.7)，则y对x的线性回归方程是()A. y0.15x4.05 B. yx1.45C. y1.05x1.15 D. y1.15x1.057. 令
3、(x1)2 020a1x2 020a2x2 019a3x2 018a2 020xa2 021(xR)，则a22a32 019a2 0202 020a2 021()A. 2 01922 019 B. 2 01922 020C. 2 02022 019 D. 2 02022 0208. 若函数f(x)Asin(2x)kxb，A0，0，k，bR，则函数f(x)在区间(，)上的零点最多有()A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个二、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 已知a，b是平面上夹
4、角为的两个单位向量，向量c在该平面上，且(ac)(bc)0，则下列结论中正确的有()A. |ab|1 B. |ab|1C. |c| D. 向量ab，c的夹角是钝角10. 已知在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布N(110, 81)，其中90分为及格线，则下列结论中正确的有()附：随机变量服从正态分布N(，2)，则P(2f(t2)成立的实数t的取值范围是_四、 解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. (本小题满分10分)设等比数列an的公比为q(q1)，前n项和为Sn.(1) 若a1 1，S6S3，求a3的值；(2) 若q1，amam2am1，且S2m9S
5、m，mN*，求m的值18. (本小题满分12分)已知ABC中，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3b23c23a22bc.(1) 求sin A的值；(2) 若sin B2sin C，求tan C的值19. (本小题满分12分)已知某射手射中固定靶的概率为，射中移动靶的概率为，每次射中固定靶、移动靶分别得1分、2分，脱靶均得0分；每次射击的结果相互独立该射手进行3次打靶射击：向固定靶射击1次，向移动靶射击2次(1) 求“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”的概率；(2) 求该射手的总得分X的分布列和数学期望20. (本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，底面四边形ABCD是矩
6、形，ABAP2BC，平面PAB平面ABCD，二面角PBCA的大小为45.(1) 求证：PA平面ABCD；(2) 求直线PB与平面PAC所成角的正弦值21. (本小题满分12分)已知函数f(x)xaln x，a，bR.(1) 若a0，b0，且1是函数f(x)的极值点，求的最小值；(2) 若ba1，且存在x0，1，使f(x0)0，b0)经过点(，)(1) 求双曲线C的标准方程；(2) 已知点B(0，1) 过原点且斜率为k的直线与双曲线C交于E，F两点，求EBF最小时k的值； 点A是C上一定点，过点B的动直线与双曲线C交于P，Q两点，kAPkAQ为定值，求点A的坐标及实数的值20202021学年高三
7、年级模拟考试卷(常州)数学参考答案及评分标准1. D2. A3. B4. C5. A6. D7. C8. B9. BC10. ABD11. ACD12. AD13. 8014. 15. 4，16. (，)(，1)17. 解：(1) S6a1a2a3a4a5a6a1a2a3a1q3a2q3a3q3S3(q31) S69S3， S3(q31)S3，解得q， a3a1q2.(4分)(2) amam2am1， amamq2amq，得q2q10. q1， q2.由S2m9Sm，9，又a10， 122m9(12m)，(7分)即(12m)(12m)9(12m) mN*，则12m0， 12m9，解得m3.(1
8、0分)18. 解：(1) 因为3b23c23a22bc，由余弦定理得cos A；(3分)因为A(0，)，所以sin A.(5分)(2) ABC中，B(AC)，(6分)所以2sin Csin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin Ccos Csin C，(9分)sin Ccos C，cos C0，所以tan C.(12分)19. 解：记“该射手射中固定靶”为事件A，“该射手第1次射击移动靶射中”为事件B，“该射手第2次射击移动靶射中”为事件C.(1分)(1) 记“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”为事件D，则P(A)，P(B)P(C)，DABCABC，其中ABC，ABC互斥，
9、A，B，C，B，C相互独立(3分)从而P(ABC)P(A)P(B)P(C)(1)，P(ABC)P(A)P(B)P(C)(1)，有P(D)P(ABCABC)P(ABC)P(ABC).答：“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”的概率为.(5分)(2) X的可能取值为0，1，2，3，4，5.(6分)P(X0)P(A B C)P(A)P(B)P(C)(1)(1)(1)，P(X1)P(AB C)P(A)P(B)P(C)，P(X2)P(ABCA BC)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)，P(X3)P(ABCABC)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)，P(X4)P(ABC)P(
10、A)P(B)P(C)，P(X5)P(ABC)P(A)P(B)P(C)，(10分)该射手的总得分X的分布列为X012345PX的数学期望E(X)012345.(12分)20. (1) 证明：四棱锥PABCD中，四边形ABCD是矩形，所以BCAB.因为平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，BC平面ABCD，所以BC平面PAB.(2分)因为AB，BP，PA平面PAB，所以BCAB，BCPB，BCPA，从而PBA是二面角PBCA的平面角因为二面角PBCA的大小为45，所以PBA45.因为PAB中ABAP，所以BPAPBA45，(5分)所以PAB90，即ABPA.因为BCPA，ABBCB，
11、AB，BC平面ABCD，所以PA平面ABCD.(7分)(2) 解：底面ABCD内，过点B作BHAC，垂足为H，连接PH，由(1)知PA平面ABCD，又BH平面ABCD，所以PABH.因为PAACA，PA，AC平面PAC，所以BH平面PAC，(10分)从而BPH为直线PB与平面PAC所成的角，其中BHBC，PBAB2BC，所以直线PB与平面PAC所成角的正弦值为.(12分)21. 解：(1) f(x)1，因为1是函数f(x)的极值点，所以f(1)1ab0，即ab1，此时f(x)1，当0x1，f(x)0，当x1，f(x)0，所以函数f(x)在x1处取极小值(2分)所以()(ab)3.因为a0，b0
12、，所以22(当且仅当b2，a1时等号成立)此时有最小值32，(5分)(2) 当ba1时，f(x)xaln x，存在x0，1，使f(x0)0成立，即函数f(x)在，1上的最小值小于0.(7分)f(x)1(x0)， 当1a1，即a0时，f(x)在，1上单调递减，所以f(x)在，1上的最小值为f(1)1a1a20，所以a2，不符，舍去；(8分) 当1a，即a1时，f(x)在，1上单调递增，所以f(x)在，1上的最小值为f()ae(a1)(e1)ae0，所以a.又a1，所以a；(9分) 当1a1，即1a0时，f(x)在，1a上单调递减，在1a，1上单调递增，所以f(x)在，1上的最小值为f(1a)a1
13、1aln(a1)a1ln(a1)2.因为1a1，所以1ln(a1)0，所以11ln(a1)2，所以aa1ln(a1)2a，所以f(1a)a1ln(a1)22a20，不符，舍去，(11分)综上可得，实数a的取值范围是a.(12分)22. 解：(1) 由题意ab，且1，解得ab1，所以双曲线C的标准方程为x2y21.(2分)(2) 由对称性可设E(x，y)，F(x，y)，则(x，y1)(x，y1)x2y21.因为点E在双曲线C上，所以x2y21，所以y2x21，所以2(1x2)0，当|x|1时，0，EBF为直角，当|x|1时，0，EBF为钝角因此，EBF最小时，|x|1，k0.(5分) 设A(m，n)，过点B的动直线为ytx1.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立得(1t2)x22tx20，所以由1t20，且0，解得t22且t21，(7分)kAPkAQ，即，即，化简得(2t)x1x2(mt1nm)(x1x2)2m2mnm20，所以(2t)(mt1nm)2m2mnm20，化简得(m22mn)t22(mn1)t22m2mnm20.由于上式对无穷多个不同的实数t都成立，所以(10分)将代入得到m，从而如果m0，那么n1，此时A(0，1)不在双曲线C上，舍去因此m0，从而m22n，代入m2n1解得n1，m.此时A(，1)在双曲线C上综上，A(，1)，或者A(，1)，.(12分)10
