1、单元质检卷四三角函数、解三角形(A)(时间:45分钟满分:100分)单元质检卷第7页一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.已知集合M=x|x2-2x-30,N=y|y=3-cos x,则MN=() A.2,3B.1,2C.2,3)D.答案A解析集合M=x|x2-2x-30=-1,3,N=y|y=3-cos x=2,4,则MN=2,3,故选A.2.(2019山东日照质检)若点P(1,-2)是角的终边上一点,则cos 2=()A.25B.-35C.35D.255答案B解析因为点P(1,-2)是角的终边上一点,所以sin =-212+(-2)2=-255.所以cos 2=1-2sin
2、2=1-2-2552=-35.故选B.3.已知R,sin +2cos =102,则tan 2=()A.43B.34C.-34D.-43答案C解析sin +2cos =102,sin2+4sin cos +4cos2=52.用降幂公式化简得4sin 2=-3cos 2,tan 2=sin2cos2=-34.故选C.4.(2019全国1,理11)关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论:f(x)是偶函数f(x)在区间2,内单调递增f(x)在-,有4个零点f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是()A.B.C.D.答案C解析因为函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,且f(-
3、x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sin x|=f(x),所以f(x)为偶函数,故正确;当2x0,|0,|2的图像向右平移6个单位长度后,可得y=sinx-6+的图像;所得图像关于y轴对称,-6+=k+2,kZ.f=-12=sin(+)=-sin ,即sin =12,|0,kZ,则当取最小值时,取k=-1,可得=4,函数f(x)的解析式为f(x)=sin4x+6.故选C.6.(2019上海宝山区校级月考)凸四边形就是没有角度数大于180的四边形,把四边形任何一边向两方延长,其他各边都在延长所得直线的同一旁,这样的四边形称为凸四边形,如图,在凸四边形ABCD中,AB=1,
4、BC=3,ACCD,AC=CD,当ABC变化时,对角线BD的最大值为()A.3B.4C.6+1D.7+23答案C解析设ABC=,ACB=,则AC2=AB2+BC2-2ABBCcos =4-23cos .由正弦定理ACsin=ABsin得sin =sin4-23cos.所以由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BCCDcos+2=3+4-23cos +234-23cossin4-23cos=7+23sin -23cos =7+26sin-4,故当=34时,取得最大值为6+1.故选C.二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.(2019浙江温州一模)我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创制
5、了一幅如图所示的“勾股圆方图”,四个相同的直角三角形与边长为1的小正方形拼成一个边长为5的大正方形,若直角三角形的直角边分别记为a,b,有a2+b2=25,12ab=6,则a+b=,其中直角三角形的较小的锐角的正切值为.答案734解析a2+b2=25,12ab=6,(a+b)2=25+2ab=25+24=49,解得a+b=7,a=7-b,ab=(7-b)b=12,即b2-7b+12=0,解得a=4,b=3,或a=3,b=4,由题意可得直角三角形的较小的锐角的正切值为34.故答案为7,34.8.(2019北京海淀区模拟)已知函数f(x)=asin x-23cos x的一条对称轴为x=-6,f(x
6、1)+f(x2)=0,且函数f(x)在(x1,x2)上具有单调性,则|x1+x2|的最小值为.答案23解析函数f(x)=asin x-23cos x=a2+12sin(x+),其中tan =-23a,函数f(x)的一条对称轴为x=-6,可得f-6=-12a-2332=-12a-3,所以-12a-3=a2+12,解得a=2.=-3;对称中心横坐标由x-3=k(kZ),可得x=k+3(kZ);又f(x1)+f(x2)=0,且函数f(x)在(x1,x2)上具有单调性,|x1+x2|=2k+3,当k=0时,可得|x1+x2|=23.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)已知函数f(x)=
7、(sin x+cos x)2-cos 2x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求证:当x0,2时,f(x)0.(1)解因为f(x)=sin2x+cos2x+sin 2x-cos 2x=1+sin 2x-cos 2x=2sin2x-4+1,所以函数f(x)的最小正周期为.(2)证明由(1)可知,f(x)=2sin2x-4+1.当x0,2时,2x-4-4,34,sin2x-4-22,1,2sin2x-4+10,2+1.当2x-4=-4,即x=0时,f(x)取得最小值0.所以当x0,2时,f(x)0.10.(15分)(2019浙江绍兴模拟)已知函数f(x)=sin x+3sinx+2+sinx+3
8、,xR.(1)求f(2 019)的值;(2)若f()=1,且0,求cos 的值.解(1)由题得f(x)=sin x+3cos x+12sin x+32cos x=3sinx+3,所以f(2 019)=3sin2 019+3=3sin+3=-3sin3=-332.(2)由(1)知f(x)=3sinx+3.由f()=1得sin+3=1312,又因为0,故223,所以cos+3=-223,所以cos =cos+3-3=-22312+1332=3-226.11.(15分)(2019广东揭阳二模)已知ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,ABC的面积为S,且a2=43S.(1)若C=60,且b=1,求a边的值;(2)当cb=2+3时,求A的大小.解(1)由a2=43S,a2=4312absin C,a=23bsin C,C=60且b=1,a=2332=3.(2)当cb=2+3时,bc=12+3=2-3,a2=43S=b2+c2-2bccos A,4312bcsin A=b2+c2-2bccos A,即2bc(3sin A+cos A)=b2+c2,4sinA+6=b2+c2bc=bc+cb=4,得sinA+6=1.A(0,),A+66,76,则A+6=2,得A=3.
