1、第九节圆锥曲线中的定点与定值问题考点1定点问题圆锥曲线中的定点问题一般是指与解析几何有关的直线或圆过定点的问题(其他曲线过定点太复杂，高中阶段一般不涉及)，其实质是：当动直线或动圆变化时，这些直线和圆相交于一点，即这些直线或圆绕着定点在转动这类问题的求解一般可分为以下三步：一选：选择变量，定点问题中的定点，随某一个量的变化而固定，可选择这个量为变量(有时可选择两个变量，如点的坐标、斜率、截距等，然后利用其他辅助条件消去其中之一)二求：求出定点所满足的方程，即把需要证明为定点的问题表示成关于上述变量的方程三定点：对上述方程进行必要的化简，即可得到定点坐标(2019开封模拟)已知椭圆C：1(ab0
2、)的右焦点F(，0)，长半轴的长与短半轴的长的比值为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设不经过点B(0,1)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，若点B在以线段MN为直径的圆上，证明直线l过定点，并求出该定点的坐标解(1)由题意得，c，2，a2b2c2，a2，b1.椭圆C的标准方程为y21.(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykxm(m1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)联立消去y，可得(4k21)x28kmx4m240.16(4k21m2)0，x1x2，x1x2.点B在以线段MN为直径的圆上，0.(x1，kx1m1)(x2，kx2m1)(k21)x1x2k(m1)(x1x2
3、)(m1)20，(k21)k(m1)(m1)20，整理，得5m22m30，解得m或m1(舍去)直线l的方程为ykx.易知当直线l的斜率不存在时，不符合题意故直线l过定点，且该定点的坐标为.对于直线ykxm，当m为定值或mf(k)时，便可确定直线过定点，因此根据条件求出m的值或m与k的关系便可求出定点教师备选例题已知椭圆E：1(ab0)经过点P(2,1)，且离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)设O为坐标原点，在椭圆的短轴上有两点M，N满足，直线PM，PN分别交椭圆于A，B两点，试证明直线AB过定点解(1)由椭圆的离心率e，得a24b2，将P(2,1)代入椭圆方程1，得1，解得b22，则a28
4、，所以椭圆的标准方程为1.(2)证明：当M，N分别是短轴的端点时，显然直线AB为y轴，所以若直线AB过定点，则这个定点一定在y轴上，当M，N不是短轴的端点时，设直线AB的方程为ykxt，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x12，x22，联立消去y，得(14k2)x28ktx4t280，则16(8k2t22)0，x1x2，x1x2.又直线PA的方程为y1(x2)，即y1(x2)，所以点M的坐标为，同理可知N，由，得0，化简整理得，(24k)x1x2(24k2t)(x1x2)8t0，则(24k)(24k2t)8t0，整理得(2t4)k(t2t2)0，当且仅当t2时，上式对任意的k都成立，所
5、以直线AB过定点(0，2)(2019济南模拟)已知抛物线C1：y22px(p0)与椭圆C2：1有一个相同的焦点，过点A(2,0)且与x轴不垂直的直线l与抛物线C1交于P，Q两点，P关于x轴的对称点为M.(1)求抛物线C1的方程(2)试问直线MQ是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由解(1)由题意可知，抛物线的焦点为椭圆的右焦点，坐标为(1,0)，所以p2，所以抛物线C1的方程为y24x.(2)法一：因为点P与点M关于x轴对称，所以设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则M(x1，y1)，设直线PQ的方程为yk(x2)，代入y24x得，k2x24(k21)x4k20，所以x1x2
6、4，设直线MQ的方程为ymxn，代入y24x得，m2x2(2mn4)xn20，所以x1x24，因为x10，x20，y1y20，所以2，即n2m，所以直线MQ的方程为ym(x2)，必过定点(2,0)法二：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x3，y3)，因为点P与点M关于x轴对称，所以y3y1，设直线PQ的方程为xty2，代入y24x得，y24ty80，所以y1y28，设直线MQ的方程为xmyn，代入y24x得，y24my4n0，所以y2y34n，因为y3y1，所以y2(y1)y1y24n8，即n2，所以直线MQ的方程为xmy2，必过定点(2,0)考点2定值问题圆锥曲线中的定值问题一般是指
7、在求解解析几何问题的过程中，探究某些几何量(斜率、距离、面积、比值等)与变量(斜率、点的坐标等)无关的问题其求解步骤一般为：一选：选择变量，一般为点的坐标、直线的斜率等二化：把要求解的定值表示成含上述变量的式子，并利用其他辅助条件来减少变量的个数，使其只含有一个变量(或者有多个变量，但是能整体约分也可以)三定值：化简式子得到定值由题目的结论可知要证明为定值的量必与变量的值无关，故求出的式子必能化为一个常数，所以只须对上述式子进行必要的化简即可得到定值(2018北京高考)已知抛物线C：y22px经过点P(1,2)，过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直
8、线PB交y轴于N.(1)求直线l的斜率的取值范围；(2)设O为原点，求证：为定值解(1)因为抛物线y22px过点(1,2)，所以2p4，即p2.故抛物线C的方程为y24x.由题意知，直线l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为ykx1(k0)，由得k2x2(2k4)x10.依题意(2k4)24k210，解得k0或0k1.又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点(1，2)从而k3.所以直线l的斜率的取值范围是(，3)(3,0)(0,1)(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)由(1)知x1x2，x1x2.直线PA的方程为y2(x1)令x0，得点M的纵坐标为yM22.同理得点N的纵坐标为yN2
9、.由 ，得1yM，1yN.所以2.所以为定值根据，得到，与yM，yN的关系，这是解题的关键教师备选例题(2019沈阳模拟)已知椭圆C：1(ab0)的焦点为F1，F2，离心率为，点P为其上一动点，且三角形PF1F2的面积最大值为，O为坐标原点(1)求椭圆C的方程；(2)若点M，N为C上的两个动点，求常数m，使m时，点O到直线MN的距离为定值，求这个定值解(1)依题意知解得所以椭圆C的方程为1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2y1y2m，当直线MN的斜率存在时，设其方程为ykxn，则点O到直线MN的距离d，联立消去y，得(4k23)x28knx4n2120，由0得4k2n23
10、0，则x1x2，x1x2，所以x1x2(kx1n)(kx2n)(k21)x1x2kn(x1x2)n2m，整理得12.因为d为常数，则m0，d，此时12满足0.当MNx轴时，由m0得kOM1，联立消去y，得x2，点O到直线MN的距离d|x|亦成立综上，当m0时，点O到直线MN的距离为定值，这个定值是.(2019成都模拟)直线l与椭圆1(ab0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，已知m(ax1，by1)，n(ax2，by2)，若椭圆的离心率e，且经过点，O为坐标原点(1)求椭圆的方程(2)当mn时，AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由解(1)由题意得解得椭圆的方程为x21.(2)当直线AB斜率不存在时，即x1x2，y1y2，由已知mn0，得4xy0，y4x.又A(x1，y1)在椭圆上，x1，|x1|，|y1|，三角形的面积S|x1|y1y2|x1|2|y1|1，三角形的面积为定值当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为ykxt，联立得(k24)x22ktxt240.则0，即4k2t24(k24)(t24)0，x1x2，x1x2.mn，4x1x2y1y20，4x1x2(kx1t)(kx2t)0，代入整理得2t2k24.而SAOB|AB|t|1，AOB的面积为定值
