1、2(1,0),F例1 给定椭圆方程 斜率为1的直线过其焦点 直线与椭圆相交于 两点，求 与 的坐标。221,54xy,A BABxy02(1,0)F1(1,0)FAB解：如图，根据题意，直线的斜率为1，且过 故直线方程为 2(1,0),F1yx将直线与椭圆方程联立，即22221(1)154154yxxxxy2 910150.xx化简得：1210100+4 9 1554 1054 10 ,.2 999xx 解得114 1044 104,.99yy54 10 4 10454 104 105,(,),(,).9999A BAB坐标分别为：弦长公式:设弦的两个端点分别为A(x1,y1)和B(x2,y2
2、),斜率为k,则|AB|=若斜率k不存在，则|21yyAB22212121 211()4kxxkxxx x引申：求弦AB的长。2(1,0),F例1 给定椭圆方程 斜率为1的直线过其焦点 直线与椭圆相交于 两点，求 与 的坐标。221,54xy,A BAB方法一：两点距离公式2254 1054 104 1044 10416()()5.99999AB方法二：弦长公式121222105,.93105640161 1()4()25.93819xxx xAB 关于弦长计算:直线与二次曲线相交所得的弦长 直线具有斜率 k,直线与二次曲线的两个交点坐标分别为1122(,),(,)A x yB x y,则它的
3、弦长22212121 21(1)()4ABxxxxx xkk1211yy2k注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为1212()yyxxk，运用韦达定理来进行计算.当直线斜率不存在时,则12AByy.圆锥曲线中的弦圆锥曲线中的弦1.弦长问题:|AB|=|1212xxk例 2:若直线0 xym被曲线22220 xy截得的线段长为 4,求实数 m的值.解:设两交点为11(,)A x y，22(,)B xy.由220220 xymxy消去 y 得2222xxmm=0212122,2xxm x xm212121222()8ABxxxxx x=2288(2)mm=
4、42288(2)16mm2m 又=22244(2)880mmm 2m 141622 yx例3 过椭圆 内一点M(2,1)引一条弦AB，M恰为AB中点，求弦AB所在直线的方程。MBA解:设AB的斜率为k,且1122(,),(,)A x yB xy042 yx所求直线的方程为yx02.中点弦问题:圆锥曲线中的弦1.弦长问题:|AB|=|1212xxk:1(2).AB yk x 直线代入椭圆方程得：2222(1 4)16(1 2)323240kxkk xkk21212228(1 2)32324,(1 4)2(1 4)kkkkxxx xkk 28(1 2)2 24(1 4)kkk1.2k 141622
5、 yx例3 过椭圆 内一点M(2,1)引一条弦AB，M恰为AB中点，求弦AB所在直线的方程。MBAyx0另解:设AB的斜率为k,且1122(,),(,)A x yB xy,A B点在椭圆上22221122164164xyxy1212121211()()()()0164xxxxyyyy121212122,1.22xxyyyykxx且11420.164k1.2k 042 yx所求直线的方程为点差法若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标,将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为“点差法”.例4 顶点在原点,焦点在
6、x轴上的抛物线与直线y=2x-2相交于A,B两点,若弦AB的中点纵坐标为2,求此抛物线的方程。xy82 解:设抛物线方程为),(),(),0(22112yxByxAmmxy则222121,mxymxy)()(212121xxmyyyy两式相减得:又AB的中点纵坐标为2421yy24212121myymxxyyk8m此抛物线的方程为2.中点弦问题:圆锥曲线中的弦1.弦长问题:|AB|=|1212xxk点评:本题属于中点弦问题,一般采用韦达定理和点差法求解.1222 yx例5 已知双曲线,过点P(2,1)引一条弦AB,求弦AB的中点M 的轨迹方程。xyMOPBA22240 xyxy12121212
7、2()2yyxxxkxxyyy 21 xyk又122yxxy点M 的轨迹方程为22240 xyxy2.中点弦问题:圆锥曲线中的弦1.弦长问题:|AB|=|1212xxk1122(,),(,),(,)A x yB x yM x y解:设222211221212 22,22,2,2xyxyxxx yyy则且12121212 2()()()()0 xxxxyyyy两式相减得：例6 若直线 与曲线 恰好有一个公共点，试求实数 的取值集合。:(1)1l yax2:C yaxa解：因为直线与曲线恰好有一个公共点，所以方程组lC2(1)1yaxyax有唯一一组实数解。消去y，得 2(1)1,axax22 1
8、(32)10.axax 变形得有唯一实数解。(1)10,1,1,1.aaxy 当即时 得(2)10,1,=0.aax 当即时 方程是关于 的一元二次方程。即时,方程有两个相等的实数解224(32)4(1)00.5aaaa 解得或1,5,40,0;2.5xxaayy 当时 唯一解当时 唯一解为41,0,.5a 知识与方法1）相离2）相切3）相交2.直线与圆锥曲线的位置关系:几何角度1.直线与圆的位置关系:1)相离2)相切3)相交有两个交点没有交点有一个交点特别注意：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支0(,)0AxByCF x y20axbxc由(2)当时，方程有两不等实根相交(于两点
9、)方程有两相等实根相切(于一点)方程没有实根相离(无公共点)0a 0 0 0 此时，若圆锥曲线为双曲线，则直线与渐近线平行0a(1)当时，若一次方程有解，则只有一解，即直线与圆锥曲线只有一个交点若圆锥曲线为抛物线，则直线与对称轴平行或重合设直线:，圆锥曲线:l0AxByC(,)0F x y C方法总结代数角度xOyp解：对于直线 与双曲线 当 或 时,只有一个公共点。:1l ykx22:1C xy2k 1k 例1 若直线y=kx+1与双曲线 仅有一个公共点,则这样的k可取_个值.221xy4 L2L1L3YOP例2.过点P(0,2)且与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线有 条.3 分析:用坐
10、标法解决这个问题,只要讨论直线的方程与抛物线的方程组成的方程组的解的情况,由方程组的解的个数判断直线与抛物线的公共点个数.例 3 已知抛物线的方程为24yx,直线l 过定点(2,1)P,斜率为 k,k 为何值时,直线l 与抛物线24yx:只有一个公共点;有两个公共点;没有公共点?解:依题意直线l 的方程为1(2)yk x 联立21(2)(*)4yk xyx 消去 x 可得244(21)0kyyk()当0k 时,方程()只有一解,直线与抛物线只有一个公共点 当0k 时,方程()的根的判别式=216(21)kk 你认为是消 x 呢,还是消 y 呢?当=0 时,即0k 1或2 作图直觉例 3 已知抛
11、物线的方程为24yx,直线l 过定点(2,1)P,斜率为 k,k 为何值时,直线l 与抛物线24yx:只有一个公共点;有两个公共点;没有公共点?xy0课堂练习 AADxy01.直线y=kx-k+1与椭圆的位置关系为()(A)相交(B)相切(C)相离(D)不确定2.已知双曲线方程x2-y2=1，过P(0，1)点的直线l与双曲线只有一个公共点，则l的条数为()(A)4(B)3(C)2(D)13.过点(0，1)与抛物线y2=2px(p0)只有一个公共点的直线条数是()(A)0(B)1(C)2(D)314922 yx4.双曲线x2-y2=1的左焦点为F,点P为左支下半支上任意一点(异于顶点),则直线P
12、F的斜率的变化范围是_ 01，5.设椭圆的中心在原点,一个焦点是 ,椭圆截直线y=3x-2所得弦的中点的横坐标为0.5,则椭圆的方程为_(0,5 2)F2212575xy6.过抛物线 的焦点,且倾斜角为 的直线交抛物线于P,Q两点,则三角形OPQ的面积是_ 24yx342 20(,)0AxByCF x y20axbxc由(2)当时，方程有两不等实根相交(于两点)方程有两相等实根相切(于一点)方程没有实根相离(无公共点)0a 0 0 0 此时，若圆锥曲线为双曲线，则直线与渐近线平行0a(1)当时，若一次方程有解，则只有一解，即直线与圆锥曲线只有一个交点若圆锥曲线为抛物线，则直线与对称轴平行或重合3.设直线:，圆锥曲线:l0AxByC(,)0F x y C 22121214ABkxxx x1.在计算直线与圆锥曲线相交弦长或弦中点等相关问题时,能够运用一元二次方程根与系数的关系简化运算,如在计算相交弦长可运用弦长公式(其中k为直线的斜率)或212122114AByyy yk课堂小结2.若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标,将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为“点差法”.遇到弦中点,两式减一减;若要求弦长,韦达来帮忙.弦中点问题：“点差法”、“韦达定理”
