1、2014-2015学年四川省乐山市高三（上）第一次诊断数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分）1已知复数z=1+，则|z|=( )ABC2D32如果a0，1b0，那么下列不等式中正确的是( )Aaab2abBab2aabCaabab2Dab2aba3设xR，则“x”是“3x2+x20”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4若点P在角的终边上，且P的坐标为（1，y），则y等于( )ABCD5对于平面、和直线a、b、m、n，下列命题中真命题是( )A若am，an，m，n，则aB若ab，ba，则aC若，=a，=b，则abD若a，b，a，ba，则6如图，在矩形A
2、BCD中，AB=3，BC=6，点E为BC的中点，点F在CD边上，若=2，则的值为( )A12B12C15D157在等差数列an中，a9=，则数列an的前11项和S11等于( )A24B48C66D1328若函数f（x）=2sin（）（2x10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则（+）=( )A32B16C16D329已知函数，若方程f（x）kx+k=0有两个实数根，则k的取值范围是( )ABC1，+）D10非空数集A=a1，a2，a3，an（nN*）中，所有元素的算术平均数记为E（A），即E（A）=若非空数集B满足下列两个条件：BA；E（B）=E（A）则称B是A
3、的一个“保均值子集”据此，集合2，3，4，5，6的“保均值子集”有( )A5个B6个C7个D8个二、填空题：本大题共5小题；每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上.11（x）6展开式的常数项为_12已知向量和，其中，且，则向量和的夹角是_13在高为100米的山顶P处，测得山下一塔顶A和塔底B的俯角分别为30和60，则塔AB的高为_米14某实验室至少需某种化学药品10kg，现在市场上该药品有两种包装，一种是每袋3kg，价格为12元；另一种是每袋2kg，价格为10元但由于储存的因素，每一种包装购买的数量都不能超过5袋，则在满足需要的条件下，花费最少为_ 元15已知函数f（x）=xex，记f0（
4、x）=f（x），f1（x）=f（x0），fn（x）=fn1（x）且x2x1，对于下列命题：函数f（x）存在平行于x轴的切线；0；f2012（x）=xex+2014ex；f（x1）+x2f（x2）+x1其中正确的命题序号是_（写出所有满足题目条件的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明.证明过程或推演步骤.16已知函数f（x）=sin（x+）（0，0）为偶函数，其图象上相邻的两个最高点间的距离为2（1）求f（x）的解析式；（2）为锐角，且f（a+）=，求sin（+）的值17已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且x0时，f（x）=（）求函数f（x）的值域A；（）设函数g（
5、x）=的定义域为集合B，若AB，求实数a的取值范围18某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品x（百台），其总成本为g（x）万元（总成本=固定成本+生产成本），并且销售收人r（x）满足r（x）=假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求：（）要使工厂有盈利，产品数量x应控制在什么范围？（）工厂生产多少台产品时盈利最大？19如图，PCBM是直角梯形，PCB=90，PMBC，PM=1，BC=2，又AC=1，ACB=120，ABPC，直线AM与直线PC所成的角为60（）求证：平面PAC平面ABC；（）求二面角MACB的大小；（）求三棱锥PMAC的体积20（13
6、分）在等比数列an中，设，为数列bn的前n项和（）求an和Tn；（）若对任意的nN*，不等式恒成立，求实数的取值范围21（14分）设函数f（x）=exax+a（aR），其图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1x2（1）求a的取值范围；（2）证明：f（）0（f（x）为函数f（x）的导函数）；（3）设点C在函数y=f（x）的图象上，且ABC为等腰直角三角形，记=t，求（a1）（t1）的值2014-2015学年四川省乐山市高三（上）第一次诊断数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分）1已知复数z=1+，则|z|=( )ABC2D3考点：复数求模 专题：数系的扩充和复数分析：根据复数的
7、基本运算法则进行化简即可解答：解：z=1+=12i，|z|=，故选：B点评：本题主要考查复数模长的计算，比较基础2如果a0，1b0，那么下列不等式中正确的是( )Aaab2abBab2aabCaabab2Dab2aba考点：不等式的基本性质 专题：应用题分析：不妨令a=1，b=，可得ab2=，ab=，从而有 aab2ab 成立解答：解：令a=1，b=，可得ab2=，ab=，可得 aab2ab成立，显然只有A正确，而B、C、D不正确，故选A点评：本题考查不等式与不等关系，不等式性质，在限定条件下比较几个式子的大小，可用特殊值代入法3设xR，则“x”是“3x2+x20”的( )A充分不必要条件B必
8、要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：根据充分必要条件的定义，分别证明其充分性和必要性，从而得出结论解答：解：若x，则3x2+x20，是充分条件，若3x2+x20，解得：x或x1，不是必要条件，故选：A点评：本题考查了充分必要条件，考查了一元二次不等式的性质，是一道基础题4若点P在角的终边上，且P的坐标为（1，y），则y等于( )ABCD考点：任意角的三角函数的定义 专题：三角函数的求值分析：由题意根据终边相同的角的定义和表示方法，可得点P的终边在的终边上，由=tan，求得y的值解答：解：点P在角的终边上，而=4+，故点P
9、的终边在的终边上，故有=tan=，y=，故选：D点评：本题主要考查终边相同的角的定义和表示方法，任意角的三角函数的定义，属于基础题5对于平面、和直线a、b、m、n，下列命题中真命题是( )A若am，an，m，n，则aB若ab，ba，则aC若，=a，=b，则abD若a，b，a，ba，则考点：命题的真假判断与应用 专题：空间位置关系与距离分析：A利用线面垂直的定义和判定定理判断B利用线面平行的判定定理判断C利用面面平行的性质判断D利用线面平行的性质和面面平行的判定定理判断解答：解：A根据线面垂直的垂直的判定定理可知，m，n必须是相交直线，所以A错误B根据直线和平面平行的判定定理可知，a必须在平面外
10、，所以B错误C根据面面平行的性质定理可知，两个平行平面同时和第三个平面相交，则交线平行，所以C正确D根据面面平行的判定定理可知，直线a，b必须是相交直线，才能得到面面平行所以D错误故选C点评：本题主要考查空间直线，平面间的位置关系的判断，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理的应用6如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，点E为BC的中点，点F在CD边上，若=2，则的值为( )A12B12C15D15考点：平面向量数量积的运算 专题：计算题；平面向量及应用分析：以A为原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，写出A，B，E，F的坐标，进而得出与的坐标，再由向量的坐标公式和数量
11、积的坐标表示，即可得到所求解答：解：以A为原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（3，0），E（3，3），F （2，6），则=（3，3），=（1，6），则=3+18=15，故选D点评：本题主要考查平面向量的数量积的运算，本解法利用了坐标法解决向量问题7在等差数列an中，a9=，则数列an的前11项和S11等于( )A24B48C66D132考点：数列的求和 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：根据数列an为等差数列，a9=，可求得a6，利用等差数列的性质即可求得数列an的前11项和S11解答：解：列an为等差数列，设其公差为d，a9=，a1+8d=（a1
12、+11d）+6，a1+5d=12，即a6=12数列an的前11项和S11=a1+a2+a11=（a1+a11）+（a2+a10）+（a5+a7）+a6=11a6=132故选D点评：本题考查数列的求和，着重考查等差数列的通项公式，求得a6的值是关键，考查综合应用等差数列的性质解决问题的能力，属于中档题8若函数f（x）=2sin（）（2x10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则（+）=( )A32B16C16D32考点：平面向量数量积的运算；正弦函数的图象 专题：计算题；三角函数的图像与性质；平面向量及应用分析：由f（x）=2sin（）=0，结合已知x的范围可求A，
13、设B（x1，y1），C（x2，y2），由正弦函数的对称性可知B，C 两点关于A对称即x1+x2=8，y1+y2=0，代入向量的数量积的坐标表示即可求解解答：解：由f（x）=2sin（）=0可得x=6k2，kZ2x10x=4即A（4，0）设B（x1，y1），C（x2，y2）过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点B，C 两点关于A对称即x1+x2=8，y1+y2=0则（+）=（x1+x2，y1+y2）（4，0）=4（x1+x2）=32故选D点评：本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，解题的关键正弦函数对称性质的应用9已知函数，若方程f（x）kx+k=0有两个实数根，则k的取值范围是( )ABC1
14、，+）D考点：根的存在性及根的个数判断 专题：函数的性质及应用分析：求出函数f（x）的表达式，由f（x）kx+k=0得f（x）=kxk，然后分别作出y=f（x）和y=kxk的图象，利用图象确定k的取值范围解答：解：当0x1时，1x10，所以f（x）=，由f（x）kx+k=0得f（x）=kxk，分别作出y=f（x）和y=kxk=k（x1）的图象，如图：由图象可知当直线y=kxk经过点A（1，1）时，两曲线有两个交点，又直线y=k（x1）过定点B（1，0），所以过A，B两点的直线斜率k=所以要使方程f（x）kx+k=0有两个实数根，则k0故选B点评：本题主要考查函数零点的应用，将方程转化为两个函数
15、，利用数形结合，是解决本题的关键10非空数集A=a1，a2，a3，an（nN*）中，所有元素的算术平均数记为E（A），即E（A）=若非空数集B满足下列两个条件：BA；E（B）=E（A）则称B是A的一个“保均值子集”据此，集合2，3，4，5，6的“保均值子集”有( )A5个B6个C7个D8个考点：众数、中位数、平均数 专题：概率与统计分析：由题得E（A）=4，由定义可知集合B有7个解答：解：由题得E（A）=4，由定义可知集合B有7个：4，2，6，3，5，2，4，6，3，4，5，2，3，5，6，2，3，4，5，6故选：C点评：本题考查满足条件的“保均值子集”个数的求法，解题时要注意平均数的合理运用
16、，是基础题二、填空题：本大题共5小题；每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上.11（x）6展开式的常数项为20考点：二项式系数的性质 专题：二项式定理分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值解答：解：由于（x）6展开式的通项公式为 Tr+1=（1）rx62r，令62r=0，求得 r=3，可得（x）6展开式的常数项为=20，故答案为：20点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题12已知向量和，其中，且，则向量和的夹角是考点：数量积表示两个向量的夹角 专题：计算题；平
17、面向量及应用分析：利用向量垂直的条件，结合向量数量积公式，即可求向量和的夹角解答：解：设向量和的夹角是，则，且，=2=22coscos=0，=故答案为：点评：本题考查向量的夹角的计算，考查向量数量积公式的运用，属于基础题13在高为100米的山顶P处，测得山下一塔顶A和塔底B的俯角分别为30和60，则塔AB的高为米考点：解三角形的实际应用 专题：计算题；应用题；解三角形分析：由题意，设塔高为h米，由题知APQ=60，PBQ=30，则APB=30，在PBQ，APB中求解即可解答：解：如图所示，设塔高为h米，由题知APQ=60，PBQ=30，则APB=30，在PBQ中，PB=，则在APB中，由正弦定
18、理得，=，解得h=（米）故答案为：点评：本题考查了解三角形在实际问题中的应用，属于中档题14某实验室至少需某种化学药品10kg，现在市场上该药品有两种包装，一种是每袋3kg，价格为12元；另一种是每袋2kg，价格为10元但由于储存的因素，每一种包装购买的数量都不能超过5袋，则在满足需要的条件下，花费最少为44 元考点：简单线性规划的应用 专题：计算题；应用题；压轴题；数形结合分析：设价格为12元的x袋，价格为10元y袋，花费为Z百万元，先分析题意，找出相关量之间的不等关系，即x，y满足的约束条件，由约束条件画出可行域；要求应作怎样的组合投资，可使花费最少，即求可行域中的最优解，在线性规划的解答
19、题中建议使用直线平移法求出最优解，即将目标函数看成是一条直线，分析目标函数Z与直线截距的关系，进而求出最优解解答：解：设价格为12元的x袋，价格为10元y袋，花费为Z百万元，则约束条件为：，（5）目标函数为z=12x+10y，（7）作出可行域，（11）使目标函数为z=12x+10y取最小值的点（x，y）是A（2，2）此时z=44（13）答：应价格为12元的2袋，价格为10元2袋，花费最少为44元（15）故答案为：44点评：在解决线性规划的应用题时，其步骤为：分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件由约束条件画出可行域分析目标函数Z与直线截距之间的关系使用平移直线法求出最优解还原到现实问
20、题中15已知函数f（x）=xex，记f0（x）=f（x），f1（x）=f（x0），fn（x）=fn1（x）且x2x1，对于下列命题：函数f（x）存在平行于x轴的切线；0；f2012（x）=xex+2014ex；f（x1）+x2f（x2）+x1其中正确的命题序号是（写出所有满足题目条件的序号）考点：导数的运算 专题：导数的概念及应用分析：根据导数的几何意义判断正确，根据导数和函数的单调性判断错；根据导数的运算，得到正确，根据导数与函数的单调性的关系判断错解答：解：对于，因为f（x）=（x+1）ex，易知f（1）=0，函数f（x）存在平行于x轴的切线，故正确；对于，因为f（x）=（x+1）ex，所
21、以x（，1）时，函数f（x）单调递减，x（1，+）时，函数f（x）单调递增，故0不能确定，故错；对于，因为f1（x）=f（x0）=xex+2ex，f2（x）=f1（x）=xex+3ex，fn（x）=fn1（x）=xex+（n+1）ex，所以f2012（x）=f2013（x）=xex+2014ex；故正确；对于，f（x1）+x2f（x2）+x1等价于f（x1）x1f（x2）x2，构建函数h（x）=f（x）x，则h（x）=f（x）1=（x+1）ex1，易知函数h（x）在R上不单调，故错；故答案为：点评：本题考查了导数的几何意义以及导数和函数的单调性的关系，以及导数的运算法则，属于中档题三、解答题：
22、本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明.证明过程或推演步骤.16已知函数f（x）=sin（x+）（0，0）为偶函数，其图象上相邻的两个最高点间的距离为2（1）求f（x）的解析式；（2）为锐角，且f（a+）=，求sin（+）的值考点：正弦函数的图象；运用诱导公式化简求值 专题：三角函数的图像与性质分析：（1）由周期求得，根据函数的奇偶性求得，可得函数的解析式（2）由f（a+）=cos（+）=，为锐角，求得sin（+）的值，再根据sin（+）=cos=cos（+），利用两角差的余弦公式计算求得结果解答：解：（1）图象上相邻的两个最高点间的距离为2，T=2，求得=1又f（x）为偶函数，则=k+
23、，kz，结合0，可得=，故f（x）=sin（x+）=cosx（2）由f（a+）=cos（+）=，为锐角，所以，sin（+）=，sin（+）=cos=cos（+）=cos（+）cos+sin（+）sin=+=点评：本题主要考查正弦函数的图象和性质，诱导公式、两角和差的余弦公式的应用，属于基础题17已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且x0时，f（x）=（）求函数f（x）的值域A；（）设函数g（x）=的定义域为集合B，若AB，求实数a的取值范围考点：函数奇偶性的性质；集合关系中的参数取值问题 专题：计算题分析：（I）根据偶函数的性质可知，只需研究x0时，f（x）的取值范围即为函数的值域，根据指数
24、函数的单调性可求出所求；（II）根据偶次根式的被开方数大于等于0，以及AB建立关系式，可求出a的取值范围解答：解：（I）由函数f（x）是定义在R上的偶函数，可得函数f（x）的值域A即为x0时，f（x）的取值范围当x0时，01，故函数f（x）的值域A=（0，1（II）g（x）=定义域B=x|x2+（a1）x+a0由x2+（a1）x+a0得x2（a1）xa0，即 （xa）（x+1）0ABB=1，a且a1实数a的取值范围是a|a1点评：本题主要考查了函数奇偶性的性质，以及函数的单调性和一元二次不等式的解法，同时考查了计算能力，属于基础题18某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成
25、本为1万元，设生产该产品x（百台），其总成本为g（x）万元（总成本=固定成本+生产成本），并且销售收人r（x）满足r（x）=假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求：（）要使工厂有盈利，产品数量x应控制在什么范围？（）工厂生产多少台产品时盈利最大？考点：分段函数的应用 专题：应用题；函数的性质及应用分析：（I）依题意得g（x）=x+3，设利润函数为f（x），根据f（x）=r（x）g（x），可得f（x）=，要使工厂有盈利，则有f（x）0，解不等式可得结论；（）分段求出函数的最值，比较可得结论解答：解：依题意得g（x）=x+3，设利润函数为f（x），则f（x）=r（x）g（x），所以f（x）=（I）
26、要使工厂有盈利，则有f（x）0，所以或，所以3x10.5所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1050台的范围内（II）当3x7时，f（x）=0.5（x6）2+4.5故当x=6时，f（x）有最大值4.5而当x7时，f（x）10.57=3.5所以当工厂生产600台产品时，盈利最大 点评：本题给出工厂生产的实际应用问题，求最大盈利时的产量x值，着重考查了基本初等函数的单调性、不等式的解法和用函数知识解决实际应用问题等知识，属于中档题19如图，PCBM是直角梯形，PCB=90，PMBC，PM=1，BC=2，又AC=1，ACB=120，ABPC，直线AM与直线PC所成的角为60（）求证：平
27、面PAC平面ABC；（）求二面角MACB的大小；（）求三棱锥PMAC的体积考点：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；与二面角有关的立体几何综合题 专题：证明题；综合题；转化思想分析：法一（）通过证明PC平面ABC，证明平面PAC平面ABC；（）取BC的中点N，则CN=1，连接AN，MN，说明MHN为二面角MACB的平面角，解三角形求二面角MACB的大小；（）三棱锥PMAC的体积，转化VPMAC=VAPCM=VAMNC=VMACN，求出底面ACN的面积，求出高MN即可法二（）在平面ABC内，过C作CDCB，建立空间直角坐标系Cxyz，求出平面MAC的一个法向量为，平面ABC的法向量取为
28、=（0，0，1）利用，解答即可（）取平面PCM的法向量取为=（1，0，0），则点A到平面PCM的距离，求出体积即可解答：解法一：（）PCAB，PCBC，ABBC=B，PC平面ABC，又PC平面PAC，平面PAC平面ABC（）取BC的中点N，则CN=1，连接AN，MN，PMCN，MNPC，从而MN平面ABC作NHAC，交AC的延长线于H，连接MH，则由三垂线定理知，ACNH，从而MHN为二面角MACB的平面角直线AM与直线PC所成的角为600AMN=60在ACN中，由余弦定理得AN=；在AMN中，MN=ANcotAMN=1；在CNH中，NH=CNsinNCH=1；在MNH中，MN=tanMHN=
29、；故二面角MACB的平面角大小为arctan（）由（）知，PCMN为正方形VPMAC=VAPCM=VAMNC=VMACN=解法二：（）同解法一（）在平面ABC内，过C作CDCB，建立空间直角坐标系Cxyz（如图）由题意有，设P（0，0，z0）（z00），则M（0，1，z0），由直线AM与直线PC所成的解为60，得，即z02=，解得z0=1，设平面MAC的一个法向量为，则，取x1=1，得，平面ABC的法向量取为，设与所成的角为，则cos=，显然，二面角MACB的平面角为锐角，故二面角MACB的平面角大小为arccos（）取平面PCM的法向量取为，则点A到平面PCM的距离h=，|=1，VPMAC=
30、VAPCM点评：本题主要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、三棱锥体积等有关知识，考查思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力20（13分）在等比数列an中，设，为数列bn的前n项和（）求an和Tn；（）若对任意的nN*，不等式恒成立，求实数的取值范围考点：数列与不等式的综合；数列的求和；等比数列的性质 专题：综合题分析：（）先确定等比数列的公比，再利用等比数列的通项公式求通项，进而利用裂项法求数列bn的前n项和；（）分类讨论：当n为偶数时，由Tnn2恒成立得；当n为奇数时，由Tnn+2恒成立得，由此可得实数的取值范围解答：解：（）设an的公
31、比为q，由得，=（）当n为偶数时，由Tnn2恒成立得，恒成立，即，而随n的增大而增大，n=2时，0；当n为奇数时，由Tnn+2恒成立得，恒成立，即，而，当且仅当等号成立，9综上，实数的取值范围（，0）点评：本题考查等比数列的通项，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，考查求最值，属于中档题21（14分）设函数f（x）=exax+a（aR），其图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1x2（1）求a的取值范围；（2）证明：f（）0（f（x）为函数f（x）的导函数）；（3）设点C在函数y=f（x）的图象上，且ABC为等腰直角三角形，记=t，求（a1）（t1）的值考点：利用导数研究函
32、数的单调性 专题：导数的综合应用分析：（1）由f（x）=exax+a，知f（x）=exa，再由a的符号进行分类讨论，能求出f（x）的单调区间，然后根据交点求出a的取值范围；（2）由x1、x2的关系，求出，然后再根据f（x）=exa的单调性，利用不等式的性质，问题得以证明；（3）利用ABC为等腰直角三角形的性质，求出，然后得到关于参数a的方程，求得问题的答案解答：解：（1）f（x）=exax+a，f（x）=exa，若a0，则f（x）0，则函数f（x）是单调增函数，这与题设矛盾a0，令f（x）=0，则x=lna，当f（x）0时，xlna，f（x）是单调减函数，当f（x）0时，xlna，f（x）是单
33、调增函数，于是当x=lna时，f（x）取得极小值，函数f（x）=exax+a（aR）的图象与x轴交于两点A（x1，0），B（x2，0）（x1x2），f（lna）=a（2lna）0，即ae2，此时，存在1lna，f（1）=e0，存在3lnalna，f（3lna）=a33alna+aa33a2+a0，又由f（x）在（，lna）及（lna，+）上的单调性及曲线在R上不间断，可知ae2为所求取值范围（2），两式相减得记，则，设g（s）=2s（eses），则g（s）=2（es+es）0，g（s）是单调减函数，则有g（s）g（0）=0，而，又f（x）=exa是单调增函数，且 （3）依题意有，则xi1（i=1，2）于是，在等腰三角形ABC中，显然C=90，即y0=f（x0）0，由直角三角形斜边的中线性质，可知，即，即x110，则，又，即，（a1）（t1）=2点评：本题属于难题，考察了分类讨论的思想，转化思想，方程思想，做题要认真仔细，方法要明，过程要严谨，能提高分析问题解决问题的能力
