1、第六节正弦定理、余弦定理考点要求掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题(对应学生用书第82页)1正弦、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC的外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容2R.a2b2c22bc_cos_A；b2c2a22ca_cos_B；c2a2b22ab_cos_C变形(1)a2R sin A，b2R sin B，c2R sin C；(2)abcsin Asin Bsin C；(3)2R.cos A；cos B；cos C2.三角形常用面积公式(1)Saha(ha表示边a上的高)；(2)Sab sin Cac_sin_Bbc_si
2、n_A；(3)Sr(abc)(r为内切圆半径).1在ABC中，ABabsin Asin B2三角形中的射影定理在ABC中，ab cos Cc cos B；ba cos Cc cos A；cb cos Aa cos B3内角和公式的变形(1)sin (AB)sin C；(2)cos (AB)cos C.)一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比()(2)在ABC中，若sin Asin B，则AB.()(3)在ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素()(4)当b2c2a20时，ABC为锐角三角形；当b2c2a20时，ABC为直角三角形；当b2
3、c2a20时，ABC为钝角三角形()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1已知ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A，B，a1，则b()A2B1C DD由得b2.2在ABC中，若a18，b24，A45，则此三角形有()A无解 B两解C一解 D解的个数不确定Bb sin A24sin 4512，121824，即b sin Aab.此三角形有两解3在ABC中，a cos Ab cos B，则这个三角形的形状为_等腰三角形或直角三角形由正弦定理，得sin A cos Asin B cos B，即sin 2Asin 2B，所以2A2B或2A2B，即AB或AB，所以这个三角形为等腰三角
4、形或直角三角形4在ABC中，A60，AC4，BC2，则ABC的面积等于_2因为，所以sin B1，所以 B90，所以AB2，所以SABC222.(对应学生用书第82页)考点1利用正、余弦定理解三角形问题应用正弦、余弦定理的解题技巧(1)求边：利用公式a，b，c或其他相应变形公式求解(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A，sin B，sin C或其他相应变形公式求解(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解(4)灵活利用式子的特点转化：如出现a2b2c2ab形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理(1)(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为
5、a，b，c，已知a sin Ab sin B4c sin C，cos A，则()A6B5C4 D3(2)(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin Bsin C)2sin2AsinB sin C.求A；若ab2c，求sin C.(1)Aa sin Ab sin B4c sin C，由正弦定理得a2b24c2，即a24c2b2.由余弦定理得cos A，6.故选A.(2)解由已知得sin2Bsin2Csin2AsinB sin C，故由正弦定理得b2c2a2bc.由余弦定理得cos A.因为0A180，所以A60.由知B120C，由题设及正弦定理得sin Asin
6、(120C)2sin C，即cos Csin C2sin C，可得cos (C60).由于0C120，所以sin (C60)，故sin Csin (C6060)sin (C60)cos 60cos (C60)sin 60.解三角形问题，关键是利用正、余弦定理实施边和角的转化，三角变换的相关公式如两角和与差的正、余弦公式，二倍角公式等，作为化简变形的重要依据教师备选例题(2018天津高考)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b sin Aa cos (B).(1)求角B的大小；(2)设a2，c3，求b和sin (2AB)的值解(1)在ABC中，由正弦定理，可得b sin Aa
7、 sin B，又由b sin Aa cos (B)，得a sin Ba cos (B)，即sin Bcos (B)，可得tan B.又因为B(0，)，可得B.(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B，有b2a2c22ac cos B7，故b.由b sin Aa cos (B)，可得sin A.因为ac，故cos A.因此sin 2A2sin A cos A，cos 2A2cos2A1，所以，sin(2AB)sin 2A cos Bcos 2A sin B.1.(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b sin Aa cos B0，则B_b sin Aa cos
8、B0，.由正弦定理，得cos Bsin B，tan B1.又B(0，)，B.2在ABC中，AB4，AC7，BC边上中线AD，则BC_9设BDDCx，ADC，ADB，在ADC中，72x2()22xcos ，在ABD中，42x2()22xcos ()，得x，BC9.3(2019贵阳模拟)在ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c成公差为2的等差数列，C120.(1)求边长a；(2)求AB边上的高CD的长解(1)由题意得ba2，ca4，由余弦定理cos C得cos 120，即a2a60，所以a3或a2(舍去)，所以a3.(2)法一：由(1)知a3，b5，c7，由三角形的面积公式得ab sin ACB
9、cCD，所以CD，即AB边上的高CD.法二：由(1)知a3，b5，c7，由正弦定理得，即sin A，在RtACD中，CDAC sin A5，即AB边上的高CD.考点2与三角形面积有关的问题三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式Sab sin Cac sin Bbc sin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin Acos A0，a2，b2.(1)求c；(2)一题多解设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD的面积解(1)由已知条件可得tan A，A(0，)，所以A，在A
10、BC中，由余弦定理得284c24c cos ，即c22c240，解得c6(舍去)，或c4.(2)法一：如图，由题设可得CAD，所以BADBACCAD，故ABD面积与ACD面积的比值为1，又ABC的面积为42sin BAC2，所以ABD的面积为.法二：由余弦定理得cos C，在RtACD中，cos C，所以CD，所以AD，DBCD，所以SABDSACD2sin C.法三：BAD，由余弦定理得cos C，所以CD，所以AD，所以SABD4sin DAB.(1)若已知一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值)，一般结合题意求夹这个角的两边或两边之积，再代入公式求解；(2)若已知三边，可先求一个角的余弦
11、值，再求正弦值，最后代入公式得面积；(3)若求面积的最值，一般表示为一个内角的三角函数，利用三角函数的性质求解，也可结合基本不等式求解教师备选例题已知ABC的面积为3，AC2，BC6，延长BC至D，使ADC45.(1)求AB的长；(2)求ACD的面积解(1)因为SABC62sin ACB3，所以sin ACB，ACB30或150，又ACBADC，且ADC45，所以ACB150，在ABC中，由余弦定理得AB21236226cos 15084，所以AB2.(2)在ACD中，因为ACB150，ADC45，所以CAD105，由正弦定理得，所以CD3，又ACD18015030，所以SACDACCDsin
12、 ACD2(3).1.(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b6，a2c，B，则ABC的面积为_6法一：因为a2c，b6，B，所以由余弦定理b2a2c22ac cos B，得62(2c)2c222cc cos ，得c2，所以a4，所以ABC的面积Sac sin B42sin 6.法二：因为a2c，b6，B，所以由余弦定理b2a2c22ac cos B，得62(2c)2c222cc cos ，得c2，所以a4，所以a2b2c2，所以A，所以ABC的面积S266.2在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bc2a cos B.(1)证明：A2B；(2)若
13、ABC的面积S，求角A的大小解(1)证明：由正弦定理得sin Bsin C2sin A cos B，故2sin A cos Bsin Bsin (AB)sin Bsin A cos Bcos A sin B，于是sin Bsin (AB).又A，B(0，)，故0AB，所以B(AB)或BAB，因此A(舍去)或A2B，所以A2B.(2)由S，得ab sin C，故有sin B sin Csin Asin 2Bsin B cos B，由sin B0，得sin Ccos B.又B，C(0，).所以CB.当BC时，A；当CB时，A.综上，A或A.考点3判断三角形的形状判断三角形形状的2种思路(1)化边：
14、通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状(2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状此时要注意应用ABC这个结论设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos Cc cos Ba sin A，则ABC的形状为()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定B由正弦定理得sin B cos Csin C cos Bsin2A，sin(BC)sin2A，即sin(A)sin2A，sinAsin2A.A(0，)，sinA0，sin A1，即A，ABC为直角三角形母题探究1(变条件)本例中，若将条件变为2sin A cos Bsin C，判断
15、ABC的形状解2sin A cos Bsin Csin (AB)，2sin A cos Bsin A cos Bcos A sin B，sin (AB)0.又A，B为ABC的内角AB，ABC为等腰三角形2(变条件)本例中，若将条件变为a2b2c2ab，且2cos A sin Bsin C，判断ABC的形状解a2b2c2ab，cos C，又0C，C，又由2cos A sin Bsin C得sin (BA)0，AB，故ABC为等边三角形在判断三角形的形状时，一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应
16、提取公因式，以免漏解1.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，(bca)(bca)3bc，则ABC的形状是()A直角三角形 B等腰非等边三角形C等边三角形 D钝角三角形C因为，所以.所以bc.又(bca)(bca)3bc，所以b2c2a2bc，所以cos A.因为A(0，)，所以A.所以ABC是等边三角形2已知ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2c，则ABC的形状是()A等边三角形 B锐角三角形C等腰直角三角形 D钝角三角形C因为2c，所以由正弦定理可得2sin C，而22，当且仅当sin Asin B时取等号所以2sin C2，即sin C1.又sin C1，故可得sin C1，所以C90.又因为sin Asin B，所以AB.故三角形为等腰直角三角形故选C.
