1、第七节函数的图象1.描点法作图方法步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数的解析式;(3)讨论函数的性质(奇偶性、周期性、单调性、最值,甚至变化趋势);(4)描点连线,画出函数的图象.2.图象变换(1)平移变换:(2)伸缩变换:y=f(x)y=f(x);y=f(x)y=Af(x).(3)对称变换:y=f(x)y=-f(x);y=f(x)y=f(-x);y=f(x)y=-f(-x).(4)翻折变换:y=f(x)y=f(|x|);y=f(x)y=|f(x)|.知识拓展函数图象对称变换的相关结论(1)y=f(x)的图象关于直线y=x对称的图象是函数y=f-1(x)的图象.(2)y=f(x)的图象
2、关于直线x=m对称的图象是函数y=f(2m-x)的图象.(3)y=f(x)的图象关于直线y=n对称的图象是函数y=2n-f(x)的图象.(4)y=f(x)的图象关于点(a,b)对称的图象是函数y=2b-f(2a-x)的图象.1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)将函数y=f(-x)的图象向右平移1个单位长度得到函数y=f(-x-1)的图象.()(2)函数y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称.()(3)若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称.()(4)函数y=f(|x|)的图象关于y轴对称.()(5)函数y=af(x)与y
3、=f(ax)(a0且a1)的图象相同.()2.函数y=x|x|的图象大致是() 答案A3.(教材习题改编)已知图中的图象是函数y=f(x)的图象,则图中的图象对应的函数可能是()A.y=f(|x|)B.y=|f(x)|C.y=f(-|x|)D.y=-f(-|x|)答案C4.如图,四个容器的高度都相同,将水从容器顶部的一个孔以相同的速度注入其中,注满为止.用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系,其中不正确的个数为()A.1B.2C.3D.4答案A5.函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=ex关于y轴对称,则f(x)=()A.ex+1B.ex-1C.e-x+
4、1D.e-x-1答案D6.(2018课标全国,3,5分)函数f(x)=ex-e-xx2的图象大致为()答案B作函数的图象典例1作出下列函数的图象. (1)y=2-xx+1;(2)y=12|x+1|;(3)y=|log2x-1|;(4)y=x2-2|x|-1.解析(1)易知函数的定义域为xR|x-1.y=2-xx+1=-1+3x+1,0因此由y=3x的图象向左平移1个单位长度,向下平移1个单位长度即可得到函数y=2-xx+1的图象,如图所示.(2)先作出y=12x,x0,+)的图象,然后作其关于y轴对称的图象,再将整个图象向左平移1个单位长度,即得到y=12|x+1|的图象,如图所示.(3)先作
5、出y=log2x的图象,再将图象向下平移1个单位长度,保留x轴上方的部分,将x轴下方的图象翻折到x轴上方来,即得到y=|log2x-1|的图象,如图所示.(4)y=x2-2x-1(x0),x2+2x-1(x0,排除选项D,f(6)=26326+2-67,排除选项A,故选B.函数图象的变换及应用命题方向一研究函数的性质典例5(1)已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是()A. f(x)是偶函数,递增区间是(0,+)B. f(x)是偶函数,递减区间是(-,1)C. f(x)是奇函数,递减区间是(-1,1)D. f(x)是奇函数,递增区间是(-,0)(2)已知函数f(x)=|x|(x-
6、a),a0.(i)作出函数f(x)的图象;(ii)写出函数f(x)的单调区间;(iii)当x0,1时,由图象写出f(x)的最小值.答案(1)C解析(1)f(x)=x2-2x,x0,-x2-2x,x0,画出函数f(x)的图象,如图,观察图象可知,函数f(x)的图象关于原点对称,故函数f(x)为奇函数,且递减区间是(-1,1).(2)(i)f(x)=x(x-a),x0,-x(x-a),x1,即a2时,f(x)min=f(1)=1-a;当0a21,即0a2时, f(x)min=fa2=-a24.综上, f(x)min=-a24,02.命题方向二解不等式典例6已知奇函数f(x)在(-,0)上是减函数,
7、若f(-2)=0,则xf(x)0的解集为()A.(-2,0)(0,2)B.(-,-2)(2,+)C.(-1,0)(2,+)D.(-,-2)(0,2)答案B解析由题意得函数f(x)的大致图象如下,因为xf(x)0,g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是()A.-1,0)B.0,+)C.-1,+)D.1,+)答案C解析令h(x)=-x-a,则g(x)=f(x)-h(x).在同一平面直角坐标系中画出y=f(x),y=h(x)的大致图象,如图所示.若y=g(x)存在2个零点,则y=f(x)的图象与y=h(x)的图象有2个交点,平移y=h(x)的图象,可知当直线y=-x-a
8、过点(0,1)时,两图象有2个交点,此时1=-0-a,a=-1.当直线y=-x-a在直线y=-x+1上方,即a-1时,两图象有2个交点,符合题意.综上,a的取值范围是-1,+).故选C.规律总结利用函数图象的直观性求解相关问题,关键在于准确作出函数图象,根据函数解析式的特征和图象的直观性先确定函数的相关性质,特别是函数图象的对称性,然后解决相关问题.3-1已知函数f(x)为R上的偶函数,当x0时, f(x)单调递减,若f(2a)f(1-a),则a的取值范围是() A.-,13B.-13,1C.-1,13D.-13,+答案C3-2已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=
9、g(x)有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是.答案12,1解析f(x)=x-1,x2,3-x,x2.作出y=f(x)的图象,如图,其中A(2,1),则kOA=12.要使方程f(x)=g(x)有两个不相等的实数根,则函数f(x)与g(x)的图象有两个不同的交点,由图可知,12k0),故选D.2.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线C:x2+y2=1+|x|y就是其中之一(如图).给出下列三个结论: 曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点);曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2;曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中,所有正确结论的序号是()A.B.C.D.答案C从结
10、论“不超过”“小于”入手,利用基本不等式进行放缩,再利用图形估算面积.x2+y2=1+|x|y1+|x|y|1+x2+y22,x2+y22.x可能取得的整数值为1,0,代入曲线C的方程得整点坐标为(1,1),(1,0),(-1,1),(-1,0),(0,1),(0,-1),故正确;设曲线C上任意一点到原点的距离为d,则d2=x2+y22,d2,故正确;由图知,图形在第一象限的面积S11,图形在第四象限的面积S412,由对称性得,“心形”区域面积S1+122=3,故错误.综上可知选C.A组基础题组 1.函数y=1-1x-1的图象是() 答案B2.图中阴影部分的面积S是关于h的函数(0hH),则该
11、函数的大致图象是()答案B3.为了得到函数y=ln x+1e2的图象,只需把函数y=ln x的图象上所有的点()A.向左平移1个单位长度再向下平移e2个单位长度B.向左平移1个单位长度再向下平移2个单位长度C.向右平移1个单位长度再向下平移2个单位长度D.向右平移1个单位长度再向下平移e2个单位长度答案B4.定义在R上的奇函数f(x)满足当x0时, f(x)=2x-4.若关于x的方程f(x)=k恰有两个实根,则k的取值范围是()A.(-3,0)(0,3)B.-3,0)(0,3C.(-3,3)D.-3,3答案A由定义在R上的奇函数f(x)满足当x0时, f(x)=2x-4,可得f(x)=2x-4
12、,x0,0,x=0,4-2-x,x0,作出函数f(x)的图象,如图所示,由图象可得,当k(-3,0)(0,3)时,直线y=k与y=f(x)的图象有两个交点,即当k(-3,0)(0,3)时,方程f(x)=k恰有两个实根,故选A.5.下列函数中,其图象与函数y=ln x的图象关于直线x=1对称的是()A.y=ln(1-x)B.y=ln(2-x)C.y=ln(1+x)D.y=ln(2+x)答案B函数y=ln x的图象过定点(1,0),(1,0)关于直线x=1对称的点还是(1,0),只有y=ln(2-x)的图象过此点.故选项B正确.6.函数y=2|x|sin 2x的图象可能是()答案D令f(x)=2|
13、x|sin 2x,因为xR, f(-x)=2|-x|sin 2(-x)=-2|x|sin 2x=-f(x),所以f(x)=2|x|sin 2x为奇函数,排除选项A,B;因为x2,时, f(x)0在(-1,3)上的解集为()A.(1,3)B.(-1,1)C.(-1,0)(1,3)D.(-1,0)(0,1)答案C作出函数f(x)的图象如图所示.当x(-1,0)时,由xf(x)0得x(-1,0),当x(0,3)时,由xf(x)0得x(1,3).故x(-1,0)(1,3).9.若函数y=f(x)的大致图象如图所示,则f(x)的解析式可能是()A.f(x)=xex+e-xB.f(x)=xex-e-xC.
14、f(x)=ex+e-xxD.f(x)=ex-e-xx答案C10.如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)log2(x+1)的解集是()A.x|-1x0B.x|-1x1C.x|-1x1D.x|-1x2答案C作出函数y=log2(x+1)的图象,如图所示:其中函数f(x)与y=log2(x+1)的图象的交点为D(1,1),结合图象可知f(x)log2(x+1)的解集为x|-1x1,故选C.11.已知函数f(x)=2x(x0)与g(x)=ln(x+a)的图象上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是()A.(-,2)B.(-,e)C.(2,e)D.(e,+)答案B函数f(x)=2x(x0
15、),要使得函数f(x)=2x(x0)的图象与函数g(x)=ln(x+a)图象存在交点,在同一平面直角坐标系中作出函数y=12x(x0)与函数g(x)=ln(x+a)的大致图象如下,由图可得g(0)=ln(0+a)120,解得ae.故选B.12.若函数f(x)=ax+b,x-1,ln(x+a),x-1的图象如图所示,则f(-3)等于.答案-1解析由图象可得-2a+b=1,ln(-1+a)=0,得a=2,b=5,f(x)=2x+5,x0在R上恒成立,求m的取值范围.解析(1)令F(x)=|f(x)-2|=|2x-2|,G(x)=m,画出F(x)的图象如图所示,由图象看出,当m=0或m2时,函数F(
16、x)与G(x)的图象只有一个交点,即原方程有一个解;当0m0),H(t)=t2+t,因为H(t)=t+122-14在区间(0,+)上是增函数,所以H(t)H(0)=0.因此要使t2+tm在区间(0,+)上恒成立,应有m0,即m的取值范围是(-,0.B组提升题组1.已知函数f(x)(xR)满足f(-x)=2-f(x),若函数y=x+1x与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),(xm,ym),则i=1n(xi+yi)=() A.0B.mC.2mD.4m答案B易知f(x)+f(-x)=2,y=x+1x=1+1x,所以函数y=f(x)与y=x+1x的图象都关于点(0,1)对称,所以i
17、=1mxi=0,i=1myi=m22=m,故选B.2.已知函数y=f(x)的周期为2,当x-1,1时, f(x)=x2,那么函数y=f(x)的图象与函数y=|lg x|的图象的交点共有()A.10个B.9个C.8个D.7个答案A由函数y=f(x)的周期为2,又当x-1,1时, f(x)=x2,g(x)=|lg x|,在同一坐标系中分别作出这两个函数的图象如图所示,可知交点共有10个.3.已知函数f(x)=13x3-12x2,xf(2x)的解集为()A.(-,-3)(1,+)B.(-3,1)C.(-,-1)(3,+) D.(-1,3)答案B当x0时, f(x)=13x3-12x2,f (x)=x
18、2-x,当x0, f(x)单调递增,且x0时, f(x)0,f(x)f(2x)可转化为3-x22x,解得-3x1,故选B.4.已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x+1)=2f(x),当x(0,1时, f(x)=x(x-1).若对任意x(-,m,都有f(x)-89,则m的取值范围是()A.-,94B.-,73C.-,52D.-,83答案Bf(x+1)=2f(x),f(x)=2f(x-1).x(0,1时, f(x)=x(x-1)-14,0;x(1,2时,x-1(0,1, f(x)=2f(x-1)=2(x-1)(x-2)-12,0;x(2,3时,x-1(1,2, f(x)=2f(x-1)=4(
19、x-2)(x-3)-1,0,如图:当x(2,3时,由4(x-2)(x-3)=-89,解得x1=73,x2=83,若对任意x(-,m,都有f(x)-89,则m73,则m的取值范围是-,73.故选B.5.已知f(x)=|log4x|,04,a,b,c,d是互不相同的正数,且f(a)=f(b)=f(c)=f(d),则abcd的取值范围是.答案(24,25)解析先画出函数f(x)=|log4x|,04的图象,如图所示:因为a,b,c,d互不相同,不妨设abcd,又f(a)=f(b)=f(c)=f(d),而-log4a=log4b,则log4a+log4b=0,可得ab=1,则abcd=cd,由c+d=
20、10,且cd,可得cdc+d22=25,且cd=c(10-c)=-(c-5)2+25,当c=4时,d=6,此时cd=24,但此时b,c相等,故abcd的范围是(24,25).素养拓展6.若直角坐标系内A,B两点满足:(1)点A,B都在f(x)的图象上;(2)点A,B关于原点对称,则称点(A,B)与点(B,A)是函数f(x)的一个“和谐点对”.已知函数f(x)=x2+2x(x0),2ex(x0),则f(x)的“和谐点对”有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案B作出函数y=x2+2x(x0时,函数f(x)在R上是单调增函数;当b0时,函数f(x)在R上有最小值;函数f(x)的图象关于点(0,c)对称;方程f(x)=0可能有三个实数根.答案解析f(x)=x2+bx+c,x0,-x2+bx+c,x0,结合图象(图略)可知正确,不正确;对于,因为y=|x|x+bx是奇函数,其图象关于原点(0,0)对称,所以f(x)的图象关于点(0,c)对称,正确;当c=0,b0时,f(x)=0有三个实数根,正确.
