1、第二节导数与函数的单调性命题导航考试要点命题预测了解函数单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).1.考向预测:主要考查函数的单调性.2.学科素养:主要考查逻辑推理、数学运算的核心素养.导数与函数的单调性的关系函数y=f(x)在某个区间内可导,(1)若f (x)0,则f(x)在这个区间内单调递增;(2)若f (x)0(0(0,在(-2,-ln 2)上,f (x)0,f(x)的单调增区间是(-,-2)和(-ln 2,+),单调减区间是(-2,-ln 2).(2)令g(x)=f (x)=ex(cos x-sin x)-10x2,则g(x)=
2、-2exsin x0x2,当0x2时,ex0,sin x0,所以g(x)0,即g(x)在0,2上单调递减,所以当0x2时, f (x)f (0)=0,所以f(x)在0,2上单调递减.方法技巧确定函数单调区间的步骤(1)确定函数y=f(x)的定义域;(2)求f (x);(3)解不等式f (x)0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;(4)解不等式f (x)0.由f (x)0,得xln 2.由f (x)0,得0x0时,a2.当aa2-4且a0在(0,+)上恒成立,所以f(x)在(0,+)上单调递增;当a2时,方程x2-ax+1=0的两个根为x1=a+a2-42,x2=a-a2-42,因为a2a2-
3、4且a2,所以x1,x2均为正数,且x1x2.所以x0,a-a2-42或xa+a2-42,+时, f (x)0,f(x)单调递增,xa-a2-42,a+a2-42时, f (x)2时, f(x)的单调递增区间为0,a-a2-42和a+a2-42,+,单调递减区间为a-a2-42,a+a2-42.(2)函数f(x)的定义域为(-,+),f (x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a).若a=0,则f(x)=e2x,则f(x)在(-,+)上单调递增.若a0,则由f (x)=0,得x=ln a.当x(-,ln a)时, f (x)0.故f(x)在(-,ln a)上单调递减,在(ln a
4、,+)上单调递增.若a0,则由f (x)=0,得x=ln-a2.当x-,ln-a2时, f (x)0.故f(x)在-,ln-a2上单调递减,在ln-a2,+上单调递增.综上,当a=0时, f(x)在(-,+)上单调递增;当a0时, f(x)在(-,ln a)上单调递减,在(ln a,+)上单调递增;当a0),若a0,则f (x)0在(0,+)上恒成立,则f(x)在(0,+)上单调递增;若a0, f(x)单调递增,x-12a,+时, f (x)0, f(x)单调递减.综上,当a0时, f(x)在(0,+)上单调递增;当a0在R上恒成立,当a0时,令f (x)=0,得x=ln a,易得f(x)的单
5、调增区间是(ln a,+),单调减区间是(-,ln a).综上所述,当a0时, f(x)的单调增区间是(-,+);当a0时, f(x)的单调增区间是(ln a,+),单调减区间是(-,ln a).函数单调性的应用典例4(1)函数f(x)的定义域为R, f(0)=2,对任意的xR,f(x)+f (x)1恒成立,则不等式exf(x)ex+1的解集是()A.x|x0B.x|x0C.x|x1D.x|x-1或0x1,g(x)=ex(f(x)+f (x)-1)0,g(x)在R上是增函数.又g(0)=e0f(0)-e0-1=0,exf(x)ex+1exf(x)-ex-10g(x)0g(x)g(0)x0,故选
6、A.(2)由f(x)=x3-2x+ex-1ex,得f(-x)=-x3+2x+1ex-ex=-f(x),所以f(x)是R上的奇函数,又f (x)=3x2-2+ex+1ex3x2-2+2ex1ex=3x20,当且仅当x=0时取等号,所以f(x)在其定义域内单调递增,所以不等式f(a-1)+f(2a2)0f(a-1)-f(2a2)=f(-2a2)a-1-2a2,解得-1a12,故实数a的取值范围是-1,12.典例5已知函数f(x)=ln x,g(x)=12ax2+2x,a0.(1)若函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;(2)若函数h(x)=f(x)-g(x)在1,4上单
7、调递减,求a的取值范围.解析(1)h(x)=ln x-12ax2-2x,x(0,+),所以h(x)=1x-ax-2,x(0,+).因为h(x)在(0,+)上存在单调递减区间,所以当x(0,+)时,1x-ax-21x2-2x,x(0,+)有解.令G(x)=1x2-2x,x(0,+),所以只要aG(x)min即可.而G(x)=1x-12-1,x(0,+),所以G(x)min=-1,所以a-1且a0.(2)因为h(x)在1,4上单调递减,所以当x1,4时,h(x)=1x-ax-20恒成立,即a1x2-2x恒成立,x1,4,所以a1x2-2xmax,x1,4.因为x1,4,所以1x14,1,而1x2-
8、2x=1x-12-1,所以1x2-2xmax=-716(此时x=4),所以a-716且a0.探究1(变条件)本例(2)中,若h(x)在1,4上存在单调递减区间,求a的取值范围.解析h(x)在1,4上存在单调递减区间,则h(x)1x2-2x有解,又当x1,4时,1x2-2xmin=-1,所以a-1,又a0,所以a的取值范围是(-1,0)(0,+).探究2(变条件)本例(2)中,若函数h(x)在1,4上不单调,求a的取值范围.解析h(x)在1,4上不单调,h(x)=0在(1,4)上有解,即a=1x2-2x在x(1,4)上有解,令m(x)=1x2-2x,x(1,4),则-1m(x)0(或f (x)0
9、(或f (x)min0)在该区间上有解,从而转化为不等式问题,求出参数的取值范围.(3)若已知f (x)在区间I上的单调性,区间I上含有参数时,可先求出f(x)的单调区间,令I是其单调区间的子集,从而求出参数的取值范围.3-1已知函数f(x)=ln x+12ax2-x-m(mR)为增函数,那么实数a的取值范围是.答案14,+3-2已知函数 f(x)(xR)满足f(1)=1,且f(x)的导数f (x)12,则不等式f(x2)x22+12的解集为.答案(-,-1)(1,+)解析由题意构造函数F(x)=f(x)-12x,则F(x)=f (x)-12,f (x)12,F(x)=f (x)-120,即函
10、数F(x)在R上单调递减.f(x2)x22+12,f(x2)-x22f(1)-12,F(x2)1,即x(-,-1)(1,+).1.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,不等式f(x)+xf (x)bcB.cbaC.acbD.cab答案D令h(x)=xf(x),函数y=f(x)以及函数y=x是R上的奇函数,f(0)=0,h(x)=xf(x)是R上的偶函数,且h(0)=0,又当x0时,h(x)=f(x)+xf (x)0,函数h(x)在(-,0)上为单调递减函数,h(x)在(0,+)上为单调递增函数.log319=-2,flog319=f(-2)=-f(2),由0log3130.330.
11、52,得h(log3)h(30.3)h(2),即bac.2.若对任意x1,x2,且0x1x2a,都有x2ln x1-x1ln x2x1-x2成立,则a的最大值为()A.12B.1C.eD.2e答案B原不等式可转化为1+ln x1x11+ln x2x2,令f(x)=1+lnxx,则f (x)=-lnxx2,易知f (x)在(0,1)上大于零,f(x)单调递增,f (x)在(1,+)上小于零,f(x)单调递减.由于x1x2且f(x1)0时,f (x)ln x0成立的x的取值范围是()A.(-2,0)(0,2)B.(-,-2)(2,+)C.(-2,0)(2,+)D.(-,-2)(0,2)答案D设函数
12、g(x)=f(x)ln x,则g(x)=f (x)ln x+1xf(x).当x0时,由f (x)ln x-1xf(x)可得g(x)1时,有g(x)g(1)=0,即f(x)ln x0,所以此时f(x)0;当0xg(1)=0,即f(x)ln x0,又ln x0,所以此时f(x)0.在题设不等式中取x=1可得f (1)ln 1-11f(1),化简得f(1)0,即当x=1时,f(x)0时,f(x)0得x2-40,解得0x2.当x0时,f(x)0,故由(x2-4)f(x)0得x2-40,结合x0,解得x0.综上,x的取值范围是(-,-2)(0,2).故选D.A组基础题组 1.函数y=12x2-ln x的
13、单调递减区间为()A.(0,1)B.(0,+)C.(1,+)D.(0,2)答案A2.函数f(x)=x-ln x的单调递减区间为()A.(0,1)B.(0,+)C.(1,+)D.(-,0)(1,+)答案A3.函数f(x)=3+xln x的单调递减区间是()A.1e,eB.0,1eC.-,1e D.1e,+答案B4.若f(x)=x2-aln x在(1,+)上单调递增,则实数a的取值范围是()A.(-,1)B.(-,1C.(-,2)D.(-,2答案D由f(x)=x2-aln x,得f (x)=2x-ax,f(x)在(1,+)上单调递增,2x-ax0在(1,+)上恒成立,即a2,a2.5.下列函数在(
14、0,+)上为增函数的是()A.f(x)=sin 2xB.f(x)=xexC.f(x)=x3-xD.f(x)=-x+ln x答案B对于A, f(x)=sin 2x的单调递增区间为k-4,k+4(kZ),f(x)在(0,+)上不单调;对于B, f (x)=ex(x+1),当x(0,+)时, f (x)0,函数f(x)=xex在(0,+)上为增函数;对于C, f (x)=3x2-1,令f (x)0,得x33或x0,得0x0)的单调递减区间是(0,4),则m=.答案137.函数f(x)=ex-2x的单调递增区间是.答案(ln 2,+)8.已知函数f(x)=(x2+1)ln x-2x+2,x1,求f(x
15、)的单调递增区间.解析x1,f (x)=2xln x+x+1x-20,当且仅当x=1时取等号.f(x)在1,+)上单调递增.9.已知函数f(x)=aln x+x2-ax(aR),若x=3是f(x)的极值点,求f(x)的单调区间.解析f(x)的定义域为(0,+),f (x)=ax+2x-a=2x2-ax+ax,因为x=3是f(x)的极值点,所以f (3)=18-3a+a3=0,解得a=9,所以f (x)=2x2-9x+9x=(2x-3)(x-3)x.由f (x)0,得0x3;由f (x)0,得 32x0,令g(x)=x2+ln x-1,x(0,+),则g(x)=2x+1x0,x(0,+),函数g
16、(x)在(0,+)上单调递增,且g(1)=0,f (1)=0,且x=1是f (x)=0的唯一解.当0x0;当x1时, f (x)0),则f (x)=(x-1)(ex-ex)x2,x0,令g(x)=ex-ex,则g(x)=ex-e,令g(x)=0,得x=1,当0x1时,g(x)1时,g(x)0,函数y=g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,当0xg(1)=0,当x1时,g(x)g(1)=0,x(0,+),g(x)0,即exex,当0x1时,x-10, f (x)1时,x-10, f (x)0,函数y=f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增.12.已知函数f(x)
17、=x-2x+1-aln x,a0,讨论f(x)的单调性.解析由题意知, f(x)的定义域是(0,+),f (x)=1+2x2-ax=x2-ax+2x2,a0.设g(x)=x2-ax+2,a0,方程g(x)=0的判别式为=a2-8.当0,即00都有f (x)0,此时f(x)是(0,+)上的单调递增函数.当0,即a22时,方程g(x)=0有两个不同的实数根,即x1=a-a2-82,x2=a+a2-82,0x10,得0xx2.由f (x)0,得x1xx2.所以f(x)在0,a-a2-82上单调递增,在a-a2-82,a+a2-82上单调递减,在a+a2-82,+上单调递增.综上,当022时, f(x
18、)在0,a-a2-82,a+a2-82,+上单调递增,在a-a2-82,a+a2-82上单调递减.B组提升题组 1.已知函数f(x)是定义在R上的可导函数, f (x)为其导函数,若对于任意实数x,都有f(x)-f (x)0成立,则()A.ef(2 015)f(2 016)B.ef(2 015)0,所以g(x)g(2 016),即 f(2 015)e2 015f(2 016)e2 016,所以ef(2 015)f(2 016),故选A.2.已知a0,函数f(x)=(x2-2ax)ex,若f(x)在-1,1上是单调递减函数,则a的取值范围是()A.0,34B.12,34C.34,+D.0,12答
19、案Cf (x)=(2x-2a)ex+(x2-2ax)ex=x2+(2-2a)x-2aex,由题意知当x-1,1时, f (x)0恒成立,即x2+(2-2a)x-2a0在x-1,1上恒成立.令g(x)=x2+(2-2a)x-2a,则有g(-1)0,g(1)0,即(-1)2+(2-2a)(-1)-2a0,12+2-2a-2a0,解得a34.3.函数f(x)的定义域为R, f(-1)=2,对任意xR, f (x)2,则f(x)2x+4的解集为.答案(-1,+)解析设g(x)=f(x)-2x-4,则g(-1)=f(-1)-2(-1)-4=0,又g(x)=f (x)-20,则g(x)为增函数.解g(x)
20、0,即g(x)g(-1),得x-1.4.已知函数f(x)=m(x-1)x+1-ln x在(1,+)上是减函数,求实数m的取值范围.解析f(x)=m(x-1)x+1-ln x在(1,+)上是减函数,f (x)=m(x+1)-m(x-1)(x+1)2-1x=-x2+(2m-2)x-1x(x+1)20在(1,+)上恒成立,则2m-20),令f (x)=0,得x=ea-11,易知f (x)为增函数,当1a2时,1ea-1e,当1xea-1时, f (x)0,当ea-1x0,f(x)在1,ea-1)上单调递减,在(ea-1,e上单调递增,当a2时,ea-1e,易知f (x)0, f(x)在1,e上单调递
21、减.综上,当1a2时, f(x)在1,ea-1)上单调递减,在(ea-1,e上单调递增;当a2时, f(x)在1,e上单调递减.6.已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.讨论f(x)的单调性.解析f (x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).设a0,则当x(-,1)时, f (x)0.所以f(x)在(-,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,设aa-e2,则ln(-2a)0;当x(ln(-2a),1)时, f (x)0.所以f(x)在(ln(-2a),1)上单调递减,在(-,ln(-2a),(1,+)上单调递增.若a1,故当x(-,1)和(ln(-2a),
22、+)时, f (x)0;当x(1,ln(-2a)时, f (x)a-e2时, f(x)在(ln(-2a),1)上单调递减,在(-,ln(-2a),(1,+)上单调递增;当a=-e2时, f(x)在(-,+)上单调递增;当a0C.x1,x2(0,1),有f x1+x22f(x1)+f(x2)2D.x(-1,1),|f(x)|2|x|答案ABCD由f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),可知其定义域为(-1,1),且f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-ln(1+x)-ln(1-x)=-f(x),x(-1,1),有f(-x)=-f(x),故A是真命题;x(-1,1),则f (x)=11+
23、x+11-x=21-x220,故f(x)在区间(-1,1)上单调递增,即x1,x2(-1,1)且x1x2,有f(x1)-f(x2)x1-x20,故B是真命题;f(x)在(0,1)上单调递增,x1,x2(0,1),有fx1+x22f(x1)+f(x2)2,故C是真命题;设g(x)=f(x)-2x,则当x(0,1)时,g(x)=f (x)-20,所以g(x)在(0,1)上单调递增,所以当x(0,1)时,g(x)g(0),即f(x)2x,由奇函数的性质可知,x(-1,1),|f(x)|2|x|,故D是真命题.故选ABCD.8.已知函数f(x)是定义在R上的可导函数,f (x)为其导函数,若对于任意的
24、实数x,有f(x)-f (x)0,则()A.ef(2 020)f(2 021)B.ef(2 020)0,所以g(x)g(2 021),即f(2 020)e2 020f(2 021)e2 021,所以ef(2 020)f(2 021).9.设函数f(x)=ex+ae-x(a为常数).若f(x)为奇函数,则a=;若f(x)是R上的增函数,则a的取值范围是.答案-1;(-,0解析f(x)=ex+ae-x为奇函数,f(-x)+f(x)=0,即e-x+aex+ex+ae-x=0,(a+1)(ex+e-x)=0,a=-1.f(x)是R上的增函数,f (x)0恒成立,ex-ae-x0,即e2x-a0,ae2x,又e2x0,a0.当a=0时, f(x)=ex是增函数,满足题意,故a0.
