1、练案58第九讲圆锥曲线的综合问题第一课时直线与圆锥曲线的位置关系A组基础巩固一、单选题1(2019河南豫东联考)已知椭圆的中心在原点,离心率e,且它的一个焦点与抛物线y24x的焦点重合,则此椭圆的方程为(A)A1B1C.y21Dy21解析依题意,可设椭圆的标准方程为1(ab0),由已知可得抛物线的焦点为(1,0),所以c1.又离心率e,解得a2,b2a2c23,所以椭圆方程为1,故选A.2(2019山东聊城二模,6)已知直线l与抛物线C:y24x相交于A,B两点,若线段AB的中点为(2,1),则直线l的方程为(D)Ayx1By2x5Cyx3Dy2x3解析设A(x1,y1),B(x2,y2),则
2、有得yy4(x1x2),由题可知x1x2,2,即kAB2,直线l的方程为y12(x2),即2xy30.故选D.3(2020石家庄质检)双曲线1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作倾斜角为60的直线与y轴和双曲线的右支分别交于A,B两点,若点A平分线段F1B,则该双曲线的离心率是(B)AB2C2D1解析由题意可知A是F1B的中点,O是F1F2的中点(O为坐标原点),连接BF2,则OA是F1BF2的中位线,故OABF2,故F1F2BF2,又BF1F260,|F1F2|2c,|BF1|4c,|BF2|2c,2a4c2c,e2,故选B.4(2019广东深圳调研)设F1,F2分别为椭圆C
3、:1(ab0)的左、右焦点,点A,B分别为椭圆C的右顶点和下顶点,且点F1关于直线AB的对称点为M.若MF2F1F2,则椭圆C的离心率为(C)ABC.D解析设M(c,y0),则MF1的中点为N(0,),即N在y轴上,N又在直线AB上,即点N与B重合,ABBF1kABkBF11()1.故b2aca2c2ace2e10,e,选C.5(2020榆林调研)已知抛物线y22px(p0)与双曲线1(a0,b0)的一条渐近线交于点M(1,m),点M到抛物线焦点的距离为3,则双曲线的离心率等于(A)A3B4CD2解析点M到抛物线焦点的距离为13p4,抛物线方程为y28x,m28.双曲线的渐近线方程为yx,两边
4、平方得y2()2x2,把M(1,m)代入上式得8()2,双曲线的离心率e3.6已知抛物线y24x的焦点为F,过焦点F的直线交抛物线于A、B两点,O为坐标原点,若AOB的面积为,则|AB|(A)A6B8C12D16解析由题意知抛物线y24x的焦点F的坐标为(1,0),易知当直线AB垂直于x轴时,AOB的面积为2,不满足题意,所以可设直线AB的方程为yk(x1)(k0),与y24x联立,消去x得ky24y4k0,设A(x1,y1),B(x2,y2),所以y1y2,y1y24,所以|y1y2|,所以AOB的面积为1,解得k,所以|AB|y1y2|6,故选A.7(2019北京市海淀区模拟)椭圆C1:y
5、21与双曲线C2:1的离心率之积为1,则双曲线C2的两条渐近线的倾斜角分别为(C)A,B,C.,D,解析椭圆中:a2,b1,所以,c,离心率为:,设双曲线的离心率为:e,则e1,得:e,双曲线中:e,即:c2a2,又c2a2b2,所以,a2a2b2,得:ab,双曲线的渐近线为:yxx,所以,两条渐近线的倾率为:k倾斜角分别为,故选C.8(2020河南省濮阳市模拟)已知抛物线C:y24x的焦点为F,过F的直线l交抛物线C于A、B两点,弦AB的中点M到抛物线C的准线的距离为5,则直线l的斜率为(B)ABCD1解析由题意,抛物线C:y24x的焦点F(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),A
6、B的方程为yk(x1),由得k2x2(2k24)xk20,x1x2,又由题意x1x2210,即x1x28,4,解得k,故选B.二、多选题9(2020广西河池期末改编)已知直线l在y轴上的截距为2,且与双曲线x21的渐近线平行,则直线l的方程可以是(AB)Ayx2Byx2Cyx2Dyx2解析双曲线x21的渐近线方程为yx,直线l的方程为yx2.故选AB.10若原点O到直线l的距离不大于1,则直线l与下列曲线一定有公共点的是(AC)Ayx22B(x1)2y21C.y21Dx2y21解析数形结合知选AC.三、填空题11(2019大同质检)已知抛物线y216x的准线过双曲线C:1(a0,b0)的一个焦
7、点,且双曲线的一条渐近线方程为yx,则该双曲线的标准方程是1.解析抛物线y216x的准线x4过双曲线C:1(a0,b0)的一个焦点,c4.又双曲线的一条渐近线方程为yx,可得ba,又c4,a2,b2,所求双曲线的标准方程为1.12(2019辽宁营口期末)直线yk(x1)与抛物线y24x交于A,B两点,若|AB|,则k.解析设A(x1,y1),B(x2,y2),因为直线AB经过抛物线y24x的焦点,所以|AB|x1x22,所以x1x2.联立得到k2x2(2k24)xk20,所以x1x2,所以k.13(2019河北衡水三模)“九天揽月”是中华民族的伟大梦想,我国探月工程的进展与实力举世瞩目近期,“
8、嫦娥四号”探测器实现历史上的首次月背着陆,月球上“嫦娥四号”的着陆点,被命名为天河基地,如图是“嫦娥四号”运行轨道示意图,圆形轨道距月球表面100千米,椭圆形轨道的一个焦点是月球球心,一个长轴顶点位于两轨道相切的变轨处,另一个长轴顶点距月球表面15千米,则椭圆形轨道的焦距为_85_千米解析设椭圆的长半轴长为a千米,半焦距为c千米,月球半径为r千米由题意知解得2c85.即椭圆形轨道的焦距为85千米四、解答题14(2017北京高考)已知抛物线C:y22px过点P(1,1)过点(0,)作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点(1)求抛物
9、线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(2)求证:A为线段BM的中点解析(1)由抛物线C:y22px过点P(1,1),得p.所以抛物线C的方程为y2x.抛物线C的焦点坐标为(,0),准线方程为x.(2)由题意,设直线l的方程为ykx(k0),l与抛物线C的交点为M(x1,y1),N(x2,y2)由得4k2x2(4k4)x10.则x1x2,x1x2.因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为yx,点A的坐标为(x1,x1)直线ON的方程为yx,点B的坐标为(x1,)因为y12x10,所以y12x1.故A为线段BM的中点15(2019广东惠州三调)已知椭圆E的一个顶点为A(0,1),焦点在x
10、轴上,椭圆的右焦点到直线xy20的距离是3.(1)求椭圆E的方程;(2)设过点A的直线l与该椭圆交于另一点B,当弦AB的长度最大时,求直线l的方程解析(1)由题意,知b1.因为右焦点(c,0)(c0)到直线xy20的距离d3,所以c,所以a,因为椭圆E的焦点在x轴上,所以椭圆E的方程为y21.(2)当直线l的斜率不存在时,|AB|2.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为ykx1(k0),联立得消去y得(13k2)x26kx0,因为xA0,所以xB,则|AB|,|AB|2,令t13k2,t(1,),则|AB|242()218()2,所以,当,即k21,亦即k1时,|AB|2取得最大值,即|AB
11、|的最大值为.综上,|AB|的最大值为,此时直线l的方程为yx1或yx1.B组能力提升1(2018课标卷)已知双曲线C:y21,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若OMN为直角三角形,则|MN|(B)AB3C2D4解析由双曲线C:y21可知其渐近线方程为yx,MOx30,MON60,不妨设OMN90,则易知焦点F到渐近线的距离为b,即|MF|b1,又知|OF|c2,|OM|,则在RtOMN中,|MN|OM|tanMON3.故选B.2(2019贵州贵阳适应性考试)双曲线1(a0,b0)的两条渐近线分别为l1,l2,F为其一个焦点,若F关于l1的对称点在l
12、2上,则双曲线的渐近线方程为(D)Ay2xBy3xCyxDyx解析设F关于l1的对称点为H,即l1垂直平分FH,12,又13,123,kl1,所求渐近线方程为yx.故选D.3(2020河南天一大联考)设抛物线C:y22px(p0)的焦点为F,抛物线C与圆C:x2(y)23交于M,N两点,若|MN|,则MNF的面积为(B)ABCD解析作出图形如下图所示,由题意知|AM|2.因为点N为圆C圆周上一点,所以ANM90,则在RtANM中,由|AM|2,|MN|,得|AN|,AMN45,所以N(,)代入y22px中,解得p,故MNF的面积为.4(2020安徽1号卷A10联盟联考)设点D为圆E:(x)2y
13、216上的动点,点F(,0),线段DF的垂直平分线与DE相交于点C.(1)求证:动点C的轨迹是椭圆,并求出该椭圆的标准方程;(2)设(1)中椭圆的上顶点为P,经过点Q(2,1)的直线l与该椭圆交于A,B两点(异于点P),记直线PA的斜率为k1,直线PB的斜率为k2,求k1k2的值解析(1)由题意得,|CF|CD|,|CE|CF|CE|CD|ED|4|EF|2,点C的轨迹是以点E,F为焦点,焦距为2,长轴为4的椭圆b1,椭圆的标准方程为y21.(2)若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x2,此时直线l与椭圆相切,不符合题意;若直线l的斜率存在,设直线l的方程为y1k(x2),即ykx2k1.联
14、立,得(14k2)x28k(2k1)x16k216k0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,x1x2,k1k22k2k2k(2k1)1.5(2019高考全国)已知F1,F2是椭圆C:1(ab0)的两个焦点,P为C上的点,O为坐标原点(1)若POF2为等边三角形,求C的离心率;(2)如果存在点P,使得PF1PF2,且F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围解析(1)连接PF1,由POF2为等边三角形可知在F1PF2中,F1PF290,|PF2|c,|PF1|c,于是2a|PF1|PF2|(1)c,故C的离心率e1.另解:由题意知P(,c),1,又b2a2c2,c48a2c24a40,即e48e240,e242(1)2,又0e1,e1.(2)由题意可知,满足条件的点P(x,y)存在当且仅当|y|2c16,1,即c|y|16,x2y2c2,1.由及a2b2c2得y2,又由知y2,故b4.由得x2(c2b2),所以c2b2,从而a2b2c22b232,故a4.当b4,a4时,存在满足条件的点P.所以b4,a的取值范围为4,)