1、练案58第九讲圆锥曲线的综合问题第一课时直线与圆锥曲线的位置关系A组基础巩固一、单选题1(2019河南豫东联考)已知椭圆的中心在原点，离心率e，且它的一个焦点与抛物线y24x的焦点重合，则此椭圆的方程为(A)A1B1C.y21Dy21解析依题意，可设椭圆的标准方程为1(ab0)，由已知可得抛物线的焦点为(1,0)，所以c1.又离心率e，解得a2，b2a2c23，所以椭圆方程为1，故选A.2(2019山东聊城二模，6)已知直线l与抛物线C：y24x相交于A，B两点，若线段AB的中点为(2,1)，则直线l的方程为(D)Ayx1By2x5Cyx3Dy2x3解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
2、有得yy4(x1x2)，由题可知x1x2，2，即kAB2，直线l的方程为y12(x2)，即2xy30.故选D.3(2020石家庄质检)双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为60的直线与y轴和双曲线的右支分别交于A，B两点，若点A平分线段F1B，则该双曲线的离心率是(B)AB2C2D1解析由题意可知A是F1B的中点，O是F1F2的中点(O为坐标原点)，连接BF2，则OA是F1BF2的中位线，故OABF2，故F1F2BF2，又BF1F260，|F1F2|2c，|BF1|4c，|BF2|2c，2a4c2c，e2，故选B.4(2019广东深圳调研)设F1，F2分别为椭圆C
3、：1(ab0)的左、右焦点，点A，B分别为椭圆C的右顶点和下顶点，且点F1关于直线AB的对称点为M.若MF2F1F2，则椭圆C的离心率为(C)ABC.D解析设M(c，y0)，则MF1的中点为N(0，)，即N在y轴上，N又在直线AB上，即点N与B重合，ABBF1kABkBF11()1.故b2aca2c2ace2e10，e，选C.5(2020榆林调研)已知抛物线y22px(p0)与双曲线1(a0，b0)的一条渐近线交于点M(1，m)，点M到抛物线焦点的距离为3，则双曲线的离心率等于(A)A3B4CD2解析点M到抛物线焦点的距离为13p4，抛物线方程为y28x，m28.双曲线的渐近线方程为yx，两边
4、平方得y2()2x2，把M(1，m)代入上式得8()2，双曲线的离心率e3.6已知抛物线y24x的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点，若AOB的面积为，则|AB|(A)A6B8C12D16解析由题意知抛物线y24x的焦点F的坐标为(1,0)，易知当直线AB垂直于x轴时，AOB的面积为2，不满足题意，所以可设直线AB的方程为yk(x1)(k0)，与y24x联立，消去x得ky24y4k0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1y2，y1y24，所以|y1y2|，所以AOB的面积为1，解得k，所以|AB|y1y2|6，故选A.7(2019北京市海淀区模拟)椭圆C1：y
5、21与双曲线C2：1的离心率之积为1，则双曲线C2的两条渐近线的倾斜角分别为(C)A，B，C.，D，解析椭圆中：a2，b1，所以，c，离心率为：，设双曲线的离心率为：e，则e1，得：e，双曲线中：e，即：c2a2，又c2a2b2，所以，a2a2b2，得：ab，双曲线的渐近线为：yxx，所以，两条渐近线的倾率为：k倾斜角分别为，故选C.8(2020河南省濮阳市模拟)已知抛物线C：y24x的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于A、B两点，弦AB的中点M到抛物线C的准线的距离为5，则直线l的斜率为(B)ABCD1解析由题意，抛物线C：y24x的焦点F(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，A
6、B的方程为yk(x1)，由得k2x2(2k24)xk20，x1x2，又由题意x1x2210，即x1x28，4，解得k，故选B.二、多选题9(2020广西河池期末改编)已知直线l在y轴上的截距为2，且与双曲线x21的渐近线平行，则直线l的方程可以是(AB)Ayx2Byx2Cyx2Dyx2解析双曲线x21的渐近线方程为yx，直线l的方程为yx2.故选AB.10若原点O到直线l的距离不大于1，则直线l与下列曲线一定有公共点的是(AC)Ayx22B(x1)2y21C.y21Dx2y21解析数形结合知选AC.三、填空题11(2019大同质检)已知抛物线y216x的准线过双曲线C：1(a0，b0)的一个焦
7、点，且双曲线的一条渐近线方程为yx，则该双曲线的标准方程是1.解析抛物线y216x的准线x4过双曲线C：1(a0，b0)的一个焦点，c4.又双曲线的一条渐近线方程为yx，可得ba，又c4，a2，b2，所求双曲线的标准方程为1.12(2019辽宁营口期末)直线yk(x1)与抛物线y24x交于A，B两点，若|AB|，则k.解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为直线AB经过抛物线y24x的焦点，所以|AB|x1x22，所以x1x2.联立得到k2x2(2k24)xk20，所以x1x2，所以k.13(2019河北衡水三模)“九天揽月”是中华民族的伟大梦想，我国探月工程的进展与实力举世瞩目近期，“
8、嫦娥四号”探测器实现历史上的首次月背着陆，月球上“嫦娥四号”的着陆点，被命名为天河基地，如图是“嫦娥四号”运行轨道示意图，圆形轨道距月球表面100千米，椭圆形轨道的一个焦点是月球球心，一个长轴顶点位于两轨道相切的变轨处，另一个长轴顶点距月球表面15千米，则椭圆形轨道的焦距为_85_千米解析设椭圆的长半轴长为a千米，半焦距为c千米，月球半径为r千米由题意知解得2c85.即椭圆形轨道的焦距为85千米四、解答题14(2017北京高考)已知抛物线C：y22px过点P(1,1)过点(0，)作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点(1)求抛物
9、线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点解析(1)由抛物线C：y22px过点P(1,1)，得p.所以抛物线C的方程为y2x.抛物线C的焦点坐标为(，0)，准线方程为x.(2)由题意，设直线l的方程为ykx(k0)，l与抛物线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)由得4k2x2(4k4)x10.则x1x2，x1x2.因为点P的坐标为(1,1)，所以直线OP的方程为yx，点A的坐标为(x1，x1)直线ON的方程为yx，点B的坐标为(x1，)因为y12x10，所以y12x1.故A为线段BM的中点15(2019广东惠州三调)已知椭圆E的一个顶点为A(0,1)，焦点在x
10、轴上，椭圆的右焦点到直线xy20的距离是3.(1)求椭圆E的方程；(2)设过点A的直线l与该椭圆交于另一点B，当弦AB的长度最大时，求直线l的方程解析(1)由题意，知b1.因为右焦点(c,0)(c0)到直线xy20的距离d3，所以c，所以a，因为椭圆E的焦点在x轴上，所以椭圆E的方程为y21.(2)当直线l的斜率不存在时，|AB|2.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykx1(k0)，联立得消去y得(13k2)x26kx0，因为xA0，所以xB，则|AB|，|AB|2，令t13k2，t(1，)，则|AB|242()218()2，所以，当，即k21，亦即k1时，|AB|2取得最大值，即|AB
11、|的最大值为.综上，|AB|的最大值为，此时直线l的方程为yx1或yx1.B组能力提升1(2018课标卷)已知双曲线C：y21，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若OMN为直角三角形，则|MN|(B)AB3C2D4解析由双曲线C：y21可知其渐近线方程为yx，MOx30，MON60，不妨设OMN90，则易知焦点F到渐近线的距离为b，即|MF|b1，又知|OF|c2，|OM|，则在RtOMN中，|MN|OM|tanMON3.故选B.2(2019贵州贵阳适应性考试)双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别为l1，l2，F为其一个焦点，若F关于l1的对称点在l
12、2上，则双曲线的渐近线方程为(D)Ay2xBy3xCyxDyx解析设F关于l1的对称点为H，即l1垂直平分FH，12，又13，123，kl1，所求渐近线方程为yx.故选D.3(2020河南天一大联考)设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，抛物线C与圆C：x2(y)23交于M，N两点，若|MN|，则MNF的面积为(B)ABCD解析作出图形如下图所示，由题意知|AM|2.因为点N为圆C圆周上一点，所以ANM90，则在RtANM中，由|AM|2，|MN|，得|AN|，AMN45，所以N(，)代入y22px中，解得p，故MNF的面积为.4(2020安徽1号卷A10联盟联考)设点D为圆E：(x)2y
13、216上的动点，点F(，0)，线段DF的垂直平分线与DE相交于点C.(1)求证：动点C的轨迹是椭圆，并求出该椭圆的标准方程；(2)设(1)中椭圆的上顶点为P，经过点Q(2，1)的直线l与该椭圆交于A，B两点(异于点P)，记直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，求k1k2的值解析(1)由题意得，|CF|CD|，|CE|CF|CE|CD|ED|4|EF|2，点C的轨迹是以点E，F为焦点，焦距为2，长轴为4的椭圆b1，椭圆的标准方程为y21.(2)若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x2，此时直线l与椭圆相切，不符合题意；若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y1k(x2)，即ykx2k1.联
14、立，得(14k2)x28k(2k1)x16k216k0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，k1k22k2k2k(2k1)1.5(2019高考全国)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点(1)若POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1PF2，且F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围解析(1)连接PF1，由POF2为等边三角形可知在F1PF2中，F1PF290，|PF2|c，|PF1|c，于是2a|PF1|PF2|(1)c，故C的离心率e1.另解：由题意知P(，c)，1，又b2a2c2，c48a2c24a40，即e48e240，e242(1)2，又0e1，e1.(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当|y|2c16，1，即c|y|16，x2y2c2，1.由及a2b2c2得y2，又由知y2，故b4.由得x2(c2b2)，所以c2b2，从而a2b2c22b232，故a4.当b4，a4时，存在满足条件的点P.所以b4，a的取值范围为4，)