1、课时分层训练(十一)A组基础达标(建议用时:30分钟)一、填空题1若函数f(x)axb有一个零点是2,那么函数g(x)bx2ax的零点是_0,由题意知2ab0,即b2a.令g(x)bx2ax0,得x0或x.2(2017镇江期中)方程lg xsin x0的解的个数是_3lg xsin x0,lg xsin x,分别作出函数ylg x与函数ysin x的图象可知,两个函数有3个交点3已知函数f(x)则函数f(x)的零点为_1由f(x)0得,2x10或log2x10,解得x0或x(舍去)4已知函数f(x)x2xa(a0)在区间(0,1)上有零点,则a的取值范围为_. 【导学号:62172061】(2
2、,0)由x2xa0得ax2x.又yx2x2x(0,1),y(2,0)即a(2,0)5已知关于x的方程x2mx60的一个根比2大,另一个根比2小,则实数m的取值范围是_(,1)设函数f(x)x2mx6,则根据条件有f(2)0,即42m60,解得m1.6若函数f(x)|2x2|b有两个零点,则实数b的取值范围是_(0,2)由f(x)|2x2|b0得|2x2|b.在同一平面直角坐标系中画出y|2x2|与yb的图象,如图所示,则当0b2时,两函数图象有两个交点,从而函数f(x)|2x2|b有两个零点7已知函数f(x)若关于x的方程f(x)kx有两个不同的实根,则实数k的取值范围是_. 【导学号:621
3、72062】0k函数y(x1)3在R上单调递增;函数y在2,)上单调递减,又因为x2时,(x1)31且1,所以f(x)的最大值为1,对应点为(2,1),又ykx过原点(0,0),所以k.可见0k0的情况,虚线表示k0,且x0时,k|x|可化为kx22kx10.由4k24k0得k1或k0(舍去),结合图象可知,当k(0,1)时合题意(2)当k0时,结合图象可知,方程kx22kx10一定有实根,综上所述k的取值范围为(,0)(0,1)二、解答题11已知函数f(x)x3x2.证明:存在x0,使f(x0)x0.证明令g(x)f(x)x.g(0),gf,g(0)g0.又函数g(x)在上连续,存在x0,使
4、g(x0)0,即f(x0)x0.12已知二次函数f(x)x2(2a1)x12a.(1)判断命题:“对于任意的aR,方程f(x)1必有实数根”的真假,并写出判断过程;(2)若yf(x)在区间(1,0)及内各有一个零点,求实数a的取值范围解(1)“对于任意的aR,方程f(x)1必有实数根”是真命题依题意,f(x)1有实根,即x2(2a1)x2a0有实根因为(2a1)28a(2a1)20对于任意的aR恒成立,即x2(2a1)x2a0必有实根,从而f(x)1必有实根(2)依题意,要使yf(x)在区间(1,0)及内各有一个零点,只需即解得a.故实数a的取值范围为.B组能力提升(建议用时:15分钟)1已知
5、函数f(x)(aR),若函数f(x)在R上有两个零点,则a的取值范围是_(0,1因为当x0时,f(x)2x1,由f(x)0得x.所以要使f(x)在R上有两个零点,则必须2xa0在(,0上有唯一实数解又当x(,0时,2x(0,1,且y2x在(,0上单调递增,故所求a的取值范围是(0,12函数f(x)则函数yf(f(x)1的所有零点所构成的集合为_由题意知f(f(x)1,由f(x)1得x2或x,则函数yf(f(x)1的零点就是使f(x)2或f(x)的x的值解f(x)2得x3或x,解f(x)得x或x,从而函数yf(f(x)1的零点构成的集合为.3若关于x的方程22x2xaa10有实根,求实数a的取值
6、范围解法一(换元法):设t2x(t0),则原方程可变为t2ata10,(*)原方程有实根,即方程(*)有正根令f(t)t2ata1.若方程(*)有两个正实根t1,t2,则解得1a22;若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根不合题意,舍去),则f(0)a10,解得a1;若方程(*)有一个正实根和一个零根,则f(0)0且0,解得a1.综上,a的取值范围是(,22法二(分离变量法):由方程,解得a,设t2x(t0),则a2,其中t11,由基本不等式,得(t1)2,当且仅当t1时取等号,故a22.4已知二次函数f(x)x216xq3.(1)若函数在区间1,1上存在零点,求实数q的取值范围(2)是
7、否存在常数t(t0),当xt,10时,f(x)的值域为区间D,且区间D的长度为12t(视区间a,b的长度为ba)解(1)因为函数f(x)x216xq3的对称轴是x8,所以f(x)在区间1,1上是减函数因为函数在区间1,1上存在零点,则必有即所以20q12.(2)因为0t10,f(x)在区间0,8上是减函数,在区间8,10上是增函数,且对称轴是x8.当0t6时,在区间t,10上,f(t)最大,f(8)最小,所以f(t)f(8)12t,即t215t520,解得t,所以t;当6t8时,在区间t,10上,f(10)最大,f(8)最小,所以f(10)f(8)12t,解得t8;当8t10时,在区间t,10上,f(10)最大,f(t)最小,所以f(10)f(t)12t,即t217t720,解得t8或9,所以t9.综上可知,存在常数t,8,9满足条件