1、6.1数列的概念与简单表示法1数列的有关概念概念含义数列按照一定次序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列an的第n项an通项公式如果数列an的第n项an与序号n之间的关系能用公式来表示，这个公式叫做数列的通项公式前n项和数列an中，Sna1a2an叫做数列的前n项和2.数列的表示方法列表法列表格表示n与an的对应关系图象法把点(n，an)画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项用公式表示递推公式使用初始值a1和an1f (an)或a1，a2和an1f (an，an1)等表示数列的方法3.an与Sn的关系若数列an的前n项和为Sn，则an4数列的分类分类标准类型满足条件项数有
2、穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列an1an其中nN*递减数列an1an，即(n1)2(n1)n2n，整理，得2n10，即(2n1)(*)因为n1，所以(2n1)3，要使不等式(*)恒成立，只需3.5数列an中，ann211n(nN*)，则此数列最大项的值是_答案30解析ann211n2，nN*，当n5或n6时，an取最大值30.6已知数列an的前n项和Snn21，则an_.答案解析当n1时，a1S12，当n2时，anSnSn1n21(n1)212n1，a12不满足上式故an7已知整数数列an满足：an1(1)若a18，则a5_.(2)若a46，则a3_.答案(1)6(2
3、)1或12解析(1)a18，a284，a342，a421，a5516.(2)a3为偶数时，a4a36，得a312.a3为奇数时，a45a316，得a31，故a31或12. 由an与Sn的关系求通项公式例1(1)设Sn为数列an的前n项和，若2Sn3an3，则a4等于()A27 B81 C93 D243答案B解析根据2Sn3an3，可得2Sn13an13，两式相减得2an13an13an，即an13an，当n1时，2S13a13，解得a13，所以数列an是以3为首项，3为公比的等比数列，所以a4a1q33481.故选B.(2)已知数列an的前n项和Sn2n23n，则an_.答案4n5解析a1S1
4、231，当n2时，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5，由于a1也适合此等式，an4n5.(3)已知数列an满足a12a23a3nan2n，则an_.答案解析当n1时，由已知，可得a1212，a12a23a3nan2n，故a12a23a3(n1)an12n1(n2)，由，得nan2n2n12n1，an(n2)显然当n1时不满足上式，an本例(2)中，若Sn2n23n1，则an_.答案思维升华已知Sn求an的常用方法是利用an一定要检验a1的情况跟踪训练1(1)已知数列an的前n项和Sn3n1，则an_.答案解析当n1时，a1S1314；当n2时，anSnSn1(3n1)(3
5、n11)23n1.当n1时，23112a1，所以an(2)设数列an满足a13a232a33n1an，则an_.答案解析因为a13a232a33n1an，则当n2时，a13a232a33n2an1，由，得3n1an，所以an(n2)由题意，知a1符合上式，所以an.(3)(2018全国)记Sn为数列an的前n项和若Sn2an1，则S6_.答案63解析Sn2an1，当n2时，Sn12an11，anSnSn12an2an1(n2)，即an2an1(n2)当n1时，a1S12a11，得a11.数列an是首项a11，公比q2的等比数列，Sn12n，S612663. 由数列的递推关系求通项公式命题点1累
6、加法例2设数列an中，a12，an1ann1，则an_.答案解析由条件知an1ann1，则当n2时，an(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1)a1(234n)2，又a12也符合上式，所以an.命题点2累乘法例3设数列an中，a12，an1an，则an_.答案解析an1an，a12，an0，.当n2时，ana12.a12也符合上式，则an.思维升华 已知数列的递推关系求通项公式的典型方法(1)当出现an1anf(n)时，用累加法求解(2)当出现f(n)时，用累乘法求解跟踪训练2(1)(2019龙岩质检)若数列an满足a11，an1an12n，则an_.答案2nn2解析因为数列an满足
7、a11，an1an12n，所以当n2时，a2a1121，a3a2122，a4a3123，anan112n1，以上各式相加得ana1n1(2122232n1)，则an2nn2(n2)又a11也符合上式，所以an2nn2.(2)已知数列an满足a1，an1an，求通项公式an.解由已知得，分别令n1,2,3，(n1)，代入上式得n1个等式累乘，即，所以，即n2时，an，又因为a1也满足该式，所以an. 数列的性质命题点1数列的单调性例4已知数列cn，cn，则当n_时，cn最大答案5解析cn1cn，当n4时，cn1cn，当n5时，cn1cn，因此c1c2c3c4c6c7，n5时，cn取得最大值命题点
8、2数列的周期性例5(2019兰州模拟)已知数列an中，a11，a22，且anan2an1(nN*)，则a2 020的值为()A2 B1 C. D.答案B解析因为anan2an1(nN*)，由a11，a22，得a32，由a22，a32，得a41，由a32，a41，得a5，由a41，a5，得a6，由a5，a6，得a71，由a6，a71，得a82，由此推理可得数列an是周期为6的数列，所以a2 020a41，故选B.命题点3数列的最值例6已知等差数列an的前n项和为Sn，且Sm12，Sm0，Sm13(m2)，则nSn的最小值为()A3 B5 C6 D9答案D解析由Sm12，Sm0，Sm13(m2)可
9、知am2，am13，设等差数列an的公差为d，则d1，Sm0，a1am2，则ann3，Sn，nSn.设f (x)，x0，f(x)x25x，x0，f (x)的极小值点为x，nN*，且f (3)9，f (4)8，f (n)min9.思维升华应用数列单调性的关键是判断单调性，判断数列单调性的常用方法有两个：(1)利用数列对应的函数的单调性判断；(2)对数列的前后项作差(或作商)，利用比较法判断跟踪训练3(1)若数列an满足a11，a23，anan2an1(n3)，记数列an的前n项积为Tn，则下列说法错误的是()ATn无最大值 Ban有最大值CT2 0209 Da2 0201答案A解析因为a11，a
10、23，anan2an1(n3)，所以a33，a41，a5，a6，a71，a83，因此数列an为周期数列，an6an，an有最大值3，a2 020a41，因为T11，T23，T39，T49，T53，T61，T71，T83，所以Tn为周期数列，Tn6Tn，Tn有最大值9，T2 020T49，故选A.(2)(2019宁夏石嘴山市第三中学模拟)已知数列an满足a11，且点(an，2an1)(nN*)在直线xy10上若对任意的nN*，恒成立，则实数的取值范围为_答案解析数列an满足a11，且点(an，2an1)(nN*)在直线xy10上，可得anan110，即an1an1，可得ann，对任意的nN*，恒
11、成立，即为min，由f (n)，得f (n)f (n1)0，即f (n)an，SnS6.请写出一个满足条件的数列an的通项公式an_.答案n6(nN*)(答案不唯一)解析nN*，an1an，则数列an是递增的，nN*，SnS6，即S6最小，只要前6项均为负数，或前5项为负数，第6项为0，即可，所以，满足条件的数列an的一个通项公式ann6(nN*)(答案不唯一)11已知在数列an中，a11，前n项和Snan.(1)求a2，a3；(2)求an的通项公式解(1)由S2a2，得3(a1a2)4a2，解得a23a13；由S3a3，得3(a1a2a3)5a3，解得a3(a1a2)6.(2)由题设知a11
12、.当n1时，有anSnSn1anan1，整理，得anan1.于是a11，a2a1，a3a2，an1an2，anan1，将以上n个等式两端分别相乘，整理，得an，经检验n1时，也满足上式综上，an的通项公式为an.12(2020南京模拟)已知数列an中，a11，其前n项和为Sn，且满足2Sn(n1)an(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)记bn3na，若数列bn为递增数列，求的取值范围解(1)2Sn(n1)an，2Sn1(n2)an1，2an1(n2)an1(n1)an，即nan1(n1)an，1，ann(nN*)(2)bn3nn2.bn1bn3n1(n1)2(3nn2)23n(2n1)
13、数列bn为递增数列，23n(2n1)0，即为递增数列，c12，即的取值范围为(，2)13已知数列an的前n项和为Sn，若3Sn2an3n，则a2 020等于()A22 0201 B32 0206C.2 020 D.2 020答案A解析由题意可得，3Sn2an3n，3Sn12an13(n1)，两式作差可得3an12an12an3，即an12an3，an112(an1)，结合3S12a133a1可得a13，a112，则数列an1是首项为2，公比为2的等比数列，据此有a2 0201(2)(2)2 01922 020，a2 02022 0201.故选A.14已知正项数列an单调递增，则使得不等式(1a
14、i)21对任意ai(i1,2，k)都成立的的取值范围是()A. B. C. D.答案D解析由(1ai)21，得11ai1，即0ai0，00，所以有an1ann，因此a2a11，a3a22，anan1n1，以上各式相加得ana112(n1)，所以an12(n1)，因此a642 016.16已知数列an是递增的等比数列且a1a49，a2a38，设Sn是数列an的前n项和，数列的前n项和为Tn，若不等式Tn对任意的nN*恒成立，求实数的最大值解数列an是递增的等比数列，且a1a49，a2a38，a1a4a2a3，a1，a4是方程x29x80的两个根，且a1a4.解方程x29x80，得a11，a48，q38，解得q2，ana1qn12n1.Sn2n1，令bn，数列bn的前n项和Tn11在正整数集上单调递增，TnT1，Tn，且对一切nN*成立，实数的最大值是.
