1、8.8抛物线1抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线2抛物线的标准方程和几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点坐标O(0,0)对称轴x轴y轴焦点坐标FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下焦半径x0x0y0y0通径长2p概念方法微思考1若抛物线定义中定点F在定直线l上时，动点的轨迹是什么图形？提示过点F且与l垂直的直线2直线与抛物线只有一个交点是直
2、线与抛物线相切的什么条件？提示直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点，但不是相切，所以直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线()(2)方程yax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x.()(3)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x22ay(a0)的通径长为2a.()题组二教材改编2过抛物线y24x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，
3、如果x1x26，则PQ等于()A9 B8 C7 D6答案B解析抛物线y24x的焦点为F(1,0)，准线方程为x1.根据题意可得，PQPFQFx11x21x1x228.3若抛物线y24x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x4y70的距离之和的最小值是()A2 B. C. D3答案A解析由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y24x及直线方程3x4y70可得直线与抛物线相离点P到准线l的距离与点P到直线3x4y70的距离之和的最小值为点F(1,0)到直线3x4y70的距离，即2.故选A.4已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P
4、(2，4)，则该抛物线的标准方程为_答案y28x或x2y解析设抛物线方程为y2mx(m0)或x2my(m0)将P(2，4)代入，分别得方程为y28x或x2y.题组三易错自纠5已知抛物线C与双曲线x2y21有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是()Ay22x By22xCy24x Dy24x答案D解析由已知可知双曲线的焦点为(，0)，(，0)设抛物线方程为y22px(p0)，则，所以p2，所以抛物线方程为y24x.故选D.6(多选)顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点A，则点A到此抛物线的焦点的距离可以是()A. B. C. D.答案AB解析若抛物线的焦点在x轴上，则设抛物线的方程为y
5、2ax(a0)，由点A在抛物线上，得2a，即a，得y2x，由抛物线的定义可知，点A到焦点的距离等于点A到准线的距离，所以点A到抛物线焦点的距离为xA1；若抛物线的焦点在y轴上，则设抛物线的方程为x2by(b0)，由点A在抛物线上，得1b，即b4，得x24y，由抛物线的定义可知，点A到焦点的距离等于点A到准线的距离，所以点A到抛物线焦点的距离为yA11.7设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_答案1,1解析Q(2,0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l的方程为yk(x2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2(4k28)
6、x4k20，由(4k28)24k24k264(1k2)0，解得1k1. 抛物线的定义和标准方程命题点1定义及应用例1设P是抛物线y24x上的一个动点，F是抛物线y24x的焦点，若B(3,2)，则PBPF的最小值为_答案4解析如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则P1QP1F.则有PBPFP1BP1QBQ4，即PBPF的最小值为4.本例中的B点坐标改为(3,4)，则PBPF的最小值为_答案2解析由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部PBPF的最小值即为B，F两点间的距离，F(1,0)，PBPFBF2，即PBPF的最小值为2.若将本例中的条件改为已知抛物线方程为y24x，直线l的方
7、程为xy50，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1d2的最小值为_答案31解析由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)点P到y轴的距离d1PF1，所以d1d2d2PF1.易知d2PF的最小值为点F到直线l的距离，故d2PF的最小值为3，所以d1d2的最小值为31.命题点2求标准方程例2(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线3x4y120与坐标轴的交点的抛物线的标准方程为()Ax212y或y216x Bx212y或y216xCx29y或y212x Dx29y或y212x答案A解析对于直线方程3x4y120，令x0，得y3；令y0，得x4，所以抛物线的焦点为(0，
8、3)或(4,0)当焦点为(0，3)时，设抛物线方程为x22py(p0)，则3，所以p6，此时抛物线的标准方程为x212y；当焦点为(4,0)时，设抛物线方程为y22px(p0)，则4，所以p8，此时抛物线的标准方程为y216x.故所求抛物线的标准方程为x212y或y216x.(2)设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M在C上，MF5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的标准方程为()Ay24x或y28x By22x或y28xCy24x或y216x Dy22x或y216x答案C解析由题意知，F，抛物线的准线方程为x，则由抛物线的定义知，xM5，设以MF为直径的圆的圆心为，所以圆的方程
9、为22，又因为圆过点(0,2)，所以yM4，又因为点M在C上，所以162p，解得p2或p8，所以抛物线C的标准方程为y24x或y216x，故选C.思维升华(1)与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程跟踪训练1(1)设P是抛物线y24x上的一个动点，则点P到点A(1，1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值为_答案解析如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)
10、，准线是x1，由抛物线的定义知点P到直线x1的距离等于点P到F的距离于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为.(2)(2019衡水中学调研)若抛物线y22px(p0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为()Ay24xBy236xCy24x或y236xDy28x或y232x答案C解析因为抛物线y22px(p0)上一点到抛物线的对称轴的距离为6，所以若设该点为P，则P(x0，6)因为P到抛物线的焦点F的距离为10，所以由抛物线的定义得x010.因为P
11、在抛物线上，所以362px0.由解得p2，x09或p18，x01，则抛物线的方程为y24x或y236x. 抛物线的几何性质例3(1)(2019广西四校联考)已知抛物线y22px(p0)上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为()A4 B9 C10 D18答案C解析抛物线y22px的焦点为，准线方程为x.由题意可得49，解得p10，所以该抛物线的焦点到准线的距离为10.(2)设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A. B. C. D.答案D解析由已知得焦点坐标为F，因此直线AB的方程为y，即4x
12、4y30.方法一联立直线方程与抛物线方程化简得4y212y90，则yAyB3，yAyB，故|yAyB|6.因此SOABOF|yAyB|6.方法二联立直线方程与抛物线方程得x2x0，故xAxB.根据抛物线的定义有ABxAxBp12，同时原点到直线AB的距离为d，因此SOABABd.(3)(2020华中师大附中月考)如图，点F是抛物线y28x的焦点，点A，B分别在抛物线y28x及圆(x2)2y216的实线部分上运动，且AB始终平行于x轴，则ABF的周长的取值范围是_答案(8,12)解析设A(xA，yA)，B(xB，yB)抛物线的准线l：x2，焦点F(2,0)，由抛物线定义可得AFxA2，圆(x2)
13、2y216的圆心为点(2,0)，半径为4，FAB的周长为AFABBFxA2(xBxA)46xB，由抛物线y28x及圆(x2)2y216可得交点的横坐标为2，xB(2,6)，6xB(8,12)ABF的周长的取值范围是(8,12)思维升华在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此跟踪训练2(1)从抛物线y24x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且PM9，设抛物线的焦点为F，则直线PF的斜率为()A. B. C. D.答案C解析设P(x0，y0)，由抛物线y24x，可知其焦点F的坐标为(1,0)，故PMx01
14、9，解得x08，故P点坐标为(8,4)，所以kPF.(2)(2020湖北龙泉中学、钟祥一中、京山一中、沙洋中学四校联考)已知点A是抛物线yx2的对称轴与准线的交点，点F为该抛物线的焦点，点P在抛物线上且满足PFmPA，则m的最小值为_答案解析过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得PNPF，PFmPA，PNmPA，则m，设PA的倾斜角为，则sin m，当m取得最小值时，sin 最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA的方程为ykx1，代入x24y，可得x24(kx1)，即x24kx40，16k2160，k1，m的最小值为. 直线与抛物线例4(2019全国)已知抛物线C：y23x的焦点
15、为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若AFBF4，求l的方程；(2)若3，求AB.解设直线l：yxt，A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)由题设可得F，故AFBFx1x2，又AFBF4，所以x1x2.由可得9x212(t1)x4t20，令0，得t0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1y2p2.弦长ABx1x2p(为弦AB的倾斜角)以弦AB为直径的圆与准线相切通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦跟踪训练3(2020汉中模拟)已知点M为直线l1：x1上的动点，N(1,0)，过M作直线l1的垂线l，l交MN的中
16、垂线于点P，记点P的轨迹为C.(1)求曲线C的方程；(2)若直线l2：ykxm(k0)与圆E：(x3)2y26相切于点D，与曲线C交于A，B两点，且D为线段AB的中点，求直线l2的方程解(1)由已知可得，PNPM，即点P到定点N的距离等于它到直线l1的距离，故点P的轨迹是以N为焦点，l1为准线的抛物线，曲线C的方程为y24x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，由得k2x2(2km4)xm20，x1x2，x0，y0kx0m，即D，直线l2与圆E：(x3)2y26相切于点D，DE26，且DEl2，从而226，kDEk1，即整理可得22，即k，m0，故直线l2的方程为xy0或xy0.
