1、专项突破四提能力数学探究1.数列与全(特)称命题交汇已知数列an满足:a1=a,an+1=an2+1an(nN*),则下列判断正确的是()A.a0,n2,使得an0,n2,使得an0,mN*,总有am0,mN*,总有am+n=an2.三角函数与二次函数交汇如图4 - 1所示,函数f (x)=sin(x+)(0,|4x.当0,2时,不等式f (sin )+cos 20的解集为()A.(76,116)B.(43,53) C.(3,23)D.(6,56)4.函数、极值与数列交汇定义在0,+)上的函数f (x)满足:当0xSk+1且Sk+10,an+1=an2+1an(nN*),所以an0,所以an+
2、12an21an=2,当且仅当an=2时等号成立,因此A不正确.(2)对于B,因为an+1an=12+1an2,由(1)可得,n2时,an2,所以an+1an1,即an+1an,因此B不正确.(3)易知C不正确.(4)对于D,由a1=a0,an+1=an2+1an(nN*),得a2=a2+1a,令a2+1a=a,解得a=2,则an=2,因此D正确.故选D.【解后反思】本题的亮点在于将数列与全称、特称命题交汇考查,主要考查了数列的递推关系、通项公式及方程与不等式的解法等,考查了逻辑推理能力与运算求解能力.2.C把y=0代入y= - 32x2+12x+1得x=1或x= - 23.由图象可知x10,
3、所以B(13,1).所以f (x)的最小正周期T=2=4(13+23)=4,解得=2.把B(13,1)的坐标代入f (x)的解析式得sin(6+)=1,所以6+=2+2k,kZ,所以=3+2k,kZ.因为|0,所以函数g(x)在R上为增函数. 因为f (12)= - 12,所以g(12)=f (12) - 2(12)2+1=0.又f (sin )+cos 20, 所以g(sin )=f (sin ) - 2sin2+1=f (sin )+cos 20=g(12),所以sin 12, 因为02,所以60的解集为(6,56).故选D.4.A当0x2时,f (x)=2x - x2=1 - (x -
4、1)2,可得f (x)的极大值点a1=1,极大值b1=1,当2x4,即0x - 22时,可得f (x)=3f (x - 2)=31 - (x - 3)2,可得a2=3,b2=3,当4x6,即0x - 42时,可得f (x)=9f (x - 4)=91 - (x - 5)2,可得a3=5,b3=9,即有a20=39,b20=319.记S20=a1b1+a2b2+a20b20,则S20=11+33+59+39319,3S20=13+39+527+39320, - 得 - 2S20=1+2(3+9+27+319) - 39320=1+23(1-319)1-3 - 39320,化简可得S20=1932
5、0+1,故选A.5.D由题意知,ADPD,MCPC.因为APD=CPM,所以RtPDARtPCM.又M为BC的中点,所以ADMC=PDPC=2,即PD=2PC,即PD2=4PC2.在平面DCC1D1中,以DC的中点为坐标原点,以DC所在直线为x轴,DC的垂直平分线为y轴,以DC的方向为x轴的正方向,DD1的方向为y轴的正方向建立平面直角坐标系,则D( - 32,0),C(32,0).设P(x ,y )( - 32x 32,0y t),则(x +32)2+(y )2=4(x - 32)2+4(y )2,整理得(y )2= - (x )2+5x - 94,易知当x =32时,y 取得最大值3.若0
6、3,则(SPCD)max=332.又A1 到平面PCD的距离为3,所以V(t)=32t,03.所以V(t)为非奇非偶函数,故A错误;函数V(t)在(0,+)上不是单调函数,故B错误;V(2)=332,故C错误;V(3)=332,故D正确.故选D.6.8设AB=a,AC=b,AD=c,将四面体补形成长方体,根据题意易知a2+b2+c2=16,SABC+SACD+SADB=12(ab+bc+ac),aba2+b22(当且仅当a=b时取等号),bcb2+c22(当且仅当b=c时取等号),aca2+c22(当且仅当a=c时取等号),以上三个式子相加得ab+bc+aca2+b2+c2=16(当且仅当a=
7、b=c时取等号),所以面积和的最大值为8.7.5052设An(x0,y0),可得x02 - y02=n2 019.双曲线En:x2 - y2=n2 019(nN*,n2 019)的渐近线方程为x - y=0,x+y=0.已知点An在En的两条渐近线上的射影分别为Bn,Cn,不妨设Bn在第一象限内,可得|AnBn|=|x0-y0|2,|AnCn|=|x0+y0|2,易知双曲线En的两条渐近线互相垂直,可得AnBnAnCn,则AnBnCn的面积an=12|AnBn|AnCn|=12|x0-y0|2|x0+y0|2=x02-y024=n8 076,则a1+a2+a3+a2 019=18 076122
8、 0192 020=5052.【解后反思】本题的亮点在于将数列与双曲线交汇考查,主要考查双曲线的渐近线方程及等差数列的前n项和公式,考查运算求解能力.本题在求解|AnBn|AcCn|时也可以用以下结论:双曲线x2a2 - y2b2=1(a0,b0)上任意一点到两条渐近线的距离的乘积是一个定值,定值为a2b2a2+b2.8.20Sn=12(an+1an),令n=1,得a1=12(a1+1a1),由an0,得a1=1.当n2时,Sn=12(Sn - Sn - 1+1Sn-Sn-1),即Sn2 - Sn-12=1.因此,数列Sn2是首项为1,公差为1的等差数列,所以Sn2=n,即Sn=n.由n+n-
9、12nn+n+1,得2(n+1 - n)=2n+1+n22n2(122 - 121)+(2 - 1)=2(122 - 1)20,S=1S1+(1S2+1S121)Sk+1且Sk+1Sk+2等价于ak+10,所以3(k+1)-160,解得k=4.方案二:选条件.设bn的公比为q,则q3=b5b2= - 27,即q= - 3,所以bn= - ( - 3)n - 1,从而a5=b1= - 1,a4=b4=27,记an的公差为d,则d= - 28.因为SkSk+1且Sk+1Sk+2等价于ak+10,所以d=ak+2 - ak+10,与d= - 28矛盾,所以满足题意的k不存在.方案三:选条件.设bn的
10、公比为q,则q3=b5b2= - 27,即q= - 3,所以bn= - ( - 3)n - 1,从而a5=b1= - 1.由an是等差数列得S5=5(a1+a5)2= - 25,解得a1= - 9,所以an=2n - 11.因为SkSk+1且Sk+1Sk+2等价于ak+10,所以2(k+1)-110,解得k=4.10.由于函数f (x)的最小正周期不小于3,所以23,所以16,N*.若选择,即f (x)的图象关于直线x=56对称,则有56+6=k+2(kZ),解得=65k+25(kZ),由于16,N*,kZ,所以k=3,=4.此时,f (x)=4sin(4x+6)+a.由x0,12,得4x+6
11、6,2,因此当4x+6=2,即x=12时,f (x)取得最大值4+a,令4+a=3,解得a= - 1,不符合题意.故不存在正实数a,使得函数f (x)在0,12上有最大值3.若选择,即f (x)的图象关于点(518,0)对称,则有518+6=k(kZ),解得=185k - 35(kZ),由于16,N*,kZ,所以k=1,=3.此时,f (x)=4sin(3x+6)+a.由x0,12,得3x+66,512,因此当3x+6=512,即x=12时,f (x)取得最大值4sin512+a=6+2+a,令6+2+a=3,解得a=3 - 6 - 2,不符合题意.故不存在正实数a,使得函数f (x)在0,1
12、2上有最大值3.若选择,即f (x)在 - 4,4上单调递增,则有-4+62k-2,4+62k+2(kZ),解得-8k+83,8k+43,由于16,N*,kZ,所以=1.此时,f (x)=4sin(x+6)+a.由x0,12,得x+66,4,因此当x+6=4,即x=12时,f (x)取得最大值22+a,令22+a=3,解得a=3 - 22,符合题意.故存在正实数a=3 - 22,使得函数f (x)在0,12上有最大值3.11.若选择条件,则由正弦定理得sin AsinA+C2=sin Bsin A,因为sin A0,所以sin A+C2=sin B.由A+B+C=,可得sin +C2=cos
13、B2,故cos B2=2sin B2cos B2.因为cos B20,故sin B2=12,又B(0,),因此B=3.若选择条件,则在ABC中,由正弦定理asinA=bsinB,可得bsin A=asin B,又bsin A=acos(B - 6),所以asin B=acos(B - 6),即sin B=cos(B - 6),所以sin B=32cos B+12sin B,可得tan B=3.又B(0,),所以B=3.若选择条件,因为a2+c2 - b2=abcos A+a2cos B,所以由余弦定理得2accos B=abcos A+a2cos B,又a0,所以2ccos B=bcos A+
14、acos B.由正弦定理得2sin Ccos B=sin Bcos A+sin Acos B=sin(A+B)=sin C,又C(0,),所以sin C0,所以cos B=12.因为B(0,),所以B=3.若选择结论,因为b=13,所以由余弦定理得13=a2+c2 - 2accos B=a2+c2 - ac=(a+c)2 - 3ac,所以(a+c)2=13+3ac13+3(a+c2)2,解得a+c213(当且仅当a=c=13时,等号成立).又a+cb=13,所以21315,xN.(2)记“选择的3个月恰好是1个13次服务、2个14次服务”为事件A,则P(A)=C21C82C103=715.(3
15、)对于方案一,设管理软件服务公司的月收费总额为1元,由条形统计图可得1的所有可能取值为7 400,7 600,7 800,8 000,8 200. P(1=7 400)=0.1,P(1=7 600)=0.4,P(1=7 800)=0.1,P(1=8 000)=0.2,P(1=8 200)=0.2, 所以1的分布列为17 4007 6007 8008 0008 200P0.10.40.10.20.2所以E(1)=7 4000.1+7 6000.4+7 8000.1+8 0000.2+8 2000.2=7 800.对于方案二,设管理软件服务公司的月收费总额为2元,由条形统计图可得2的所有可能取值为7 600,8 100,8 600.P(2=7 600)=0.6,P(2=8 100)=0.2,P(2=8 600)=0.2, 所以2的分布列为27 6008 1008 600P0.60.20.2E(2)=7 6000.6+8 1000.2+8 6000.2=7 900.因为E(1)E(2),所以从节约成本的角度考虑,该工厂选择方案一更合适.【素养落地】试题要求考生对现实问题进行分析,用数学的语言表达问题,构建函数模型,体现了数学建模、数据分析、数学运算等核心素养.
