1、第四讲定积分与微积分基本定理1.2020重庆南开中学模拟e1(1-1x)dx的值为()A.e-2B.eC.e+1D.e-12.2020安徽蚌埠市一检定积分-22(4-x2-sin x+x3)dx的值是()A.B.2C.2+2cos 2D.+2cos 23.下列表示曲线y=x2+2与直线y=x+2所围成的封闭图形的面积的式子中正确的是()A.S=01(x2-x)dxB.S=01(x-x2)dx C.S=01(y2-y)dyD.S=01(y-y)dy4.2020湖北四地七校联考已知a=2-13,b=(2log23)-12,c=140sin xdx,则实数a,b,c的大小关系是()A.acbB.ba
2、c C.abcD.cba5.计算:02(-2sin x)dx=.6.已知函数f(x)=xcos x,则-22x2+f(x)dx=.7.2020江西吉安市期中若12(1x+2mx)dx=3+ln 2,则实数m的值为.8.设函数f(x)=ax2+b(a0),若03f(x)dx=3f(x0),x00,则x0=.9.2019皖中名校第二次联考二次函数f(x)=x2-nx+m(n,mR)的图象如图3-4-1所示,则定积分01f(x)dx=()图3-4-1A.23B.56C.2D.310.设f(x)=1-x2,x-1,1),x2-1,x1,2,则-12f(x)dx的值为()A.2+43B.2+3 C.4+
3、43D.4+311.2020重庆巴蜀中学模拟若-11(ax2+bsin x)dx=1,则sin(a-6)=.12.2020河北衡水中学二调如图3-4-2,阴影部分是由曲线y=2x2和x2+y2=3及x轴围成的封闭图形,则阴影部分的面积为.图3-4-213.交汇题如图3-4-3,点A的坐标为(1,0),函数y=ax2的图象过点C(2,4),若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于.图3-4-314.2019安徽师大附中期中若f(x)+01f(x)dx=x,则01f(x)dx=.第四讲定积分与微积分基本定理1.Ae1(1 - 1x)dx=e11dx - e11xdx=xe1 -
4、ln xe1=e - 1 - 1+0=e - 2.故选A.2.B利用定积分的运算法则,将定积分 - 22(4 - x2 - sin x+x3)dx展开为 - 224 - x2dx+ - 22( - sin x)dx+ - 22x3dx, - 224 - x2dx表示以(0,0)为圆心,2为半径的半圆的面积, - 224 - x2dx=124=2.又 - 22( - sin x)dx=cos x - 22=cos 2 - cos( - 2)=0, - 22x3dx=14x4 - 22=1424 - ( - 2)4=0, - 22(4 - x2 - sin x+x3)dx=2.故选B.3.B依题意
5、,在同一平面直角坐标系下画出曲线y=x2+2与直线y=x+2的图象(图略),注意到它们的交点坐标分别为(0,2)与(1,3),结合图形及定积分的几何意义可知,所围成的封闭图形的面积可用定积分表示为01(x - x2)dx,故选B.4.C因为a=2 - 13=(12)13=(14)16,b=(2log23) - 12=3 - 12=(13)12=(127)16,所以ab,排除B,D;c=140sin xdx= - 14cos x 0= - 14(cos - cos 0)=12=(14)12,所以bc,所以abc,选C.5. - 2由定积分的概念及微积分基本定理,得02( - 2sin x)dx=
6、2cos x 02= - 2.6.163f (x)=xcos x为奇函数,2 - 2xcos xdx=0,2 - 2(x2+xcos x)dx=2 - 2x2dx=13x3 - 22=163.7.112(1x+2mx)dx =121xdx+122mxdx=ln x 12+mx212=3m+ln 2,由题意得ln 2+3m=3+ln 2,故m=1.8.3依题意得03f (x)dx=03(ax2+b)dx=(a3x3+bx)03=3(ax02+b),化简得3ax02=9a(a0),即x02=3(x00),由此解得x0=3.9.B由题图可知,1 - n+m=0,4 - 2n+m=0,解得n=3,m=
7、2.所以10f (x)dx=10(x2 - 3x+2)dx=(13x3 - 32x2+2x)|01=56.故选B.10.A2 - 1f (x)dx=1 - 11 - x2dx+21(x2 - 1)dx=1212+(13x3 - x)|12=2+43,故选A.11. - 32 - 11(ax2+bsin x)dx=a3x3 - 11+0=2a3=1,a=32,sin(a - 6)=sin(32 - 6)= - cos6= - 32.12.2-38记曲线y=2x2和圆x2+y2=3在第一象限内的交点为A,则A(32,32),作出射线OA,如图D 3 - 4 - 2,图D 3 - 4 - 2则射线O
8、A的方程为y=3x(x0),则射线OA与抛物线y=2x2所围成的面积S1=032(3x - 2x2)dx=(32x 2 - 23x3)032=3234-23338=38.记圆x2+y2=3与x轴正半轴交于点B.易知扇形AOB的圆心角为3,则扇形AOB的面积S2=1233=2,所以阴影部分的面积S=S2 - S1=2-38.13.512因为函数y=ax2的图象过点C(2,4),所以a=1,即y=x2,又点A的坐标为(1,0),所以S矩形ABCD=4,阴影部分的面积S1=4 - 12x2dx=53,所以在矩形ABCD内随机取一点,此点取自阴影部分的概率P=S1S矩形ABCD=512.14.1401f (x)dx是一个常数,设为c,则有f (x)=x - c,所以x - c+01(x - c)dx=x,解得c=14.故01f (x)dx=14.
