1、素养提升3高考中数列解答题的提分策略12019全国卷,19,12分理已知数列an和bn满足a1=1,b1=0,4an+1=3an - bn+4,4bn+1=3bn - an - 4.(1)证明:an+bn是等比数列,an - bn是等差数列;(2)求an和bn的通项公式.(1)将已知条件中与an,bn有关的两式相加,根据等比数列的定义证明an+bn是等比数列;将已知条件中与an,bn有关的两式相减,根据等差数列的定义证明an - bn是等差数列.(2)根据等比数列和等差数列的通项公式分别求出an+bn与an - bn的通项公式;将an+bn与an - bn的通项公式相加减后除以2,分别求出an
2、和bn的通项公式.(1)由题意可知a1+b1=1,a1 - b1=1.因为4an+1+4bn+1=3an - bn+4+3bn - an - 4=2an+2bn,即an+1+bn+1an+bn=12,所以数列an+bn是首项为1,公比为12的等比数列.因为4an+1 - 4bn+1=3an - bn+4 - (3bn - an - 4)=4an - 4bn+8,即(an+1 - bn+1) - (an - bn)=2,所以数列an - bn是首项为1,公差为2的等差数列.(2)由(1)知,an+bn=12n-1,an - bn=2n - 1.所以an=12(an+bn)+(an - bn)=1
3、2n+n - 12,bn=12(an+bn) - (an - bn)=12n - n+12.感悟升华阅卷现场得分点第(1)问采点得分说明根据条件求出an+1+bn+1an+bn=12得2分;写出结论得1分;根据条件求出(an+1 - bn+1) - (an - bn)=2得2分;写出结论得1分.6分第(2)问采点得分说明求出数列an+bn的通项公式得1分;求出数列an - bn的通项公式得1分;由an=12(an+bn)+(an - bn)求得数列an的通项公式得2分;由bn=12(an+bn) - (an - bn)求得数列bn的通项公式得2分.6分满分策略1.解答数列类大题的关键熟练把握等
4、差数列与等比数列的定义、通项公式、前n项和公式及相应的性质是解数列问题的关键.2.化归与转化思想的运用当给定的数列不是等差数列或等比数列时,应利用化归思想或构造思想,将给定的数列转化为等差数列或等比数列求解.3.解数列求和题的技巧重点要掌握等差数列、等比数列的求和公式以及常用的“错位相减法”“裂项相消法”等方法.解决问题的关键在于数列的通项公式,要根据通项公式的特征准确选择相应的方法.2 2017全国卷,17,12分设数列an满足a1+3a2+(2n - 1)an=2n.(1)求an的通项公式;(2)求数列an2n+1的前n项和.(1)a1+3a2+(2n - 1)an=2n数列(2n - 1
5、)an的前n项和利用通项与前n项和的关系求解(1)因为a1+3a2+(2n - 1)an=2n,故当n2时,a1+3a2+(2n - 3)an - 1=2(n - 1).1分(得分点1) - 得(2n - 1)an=2,所以an=22n-1.4分(得分点2)又当n=1时,a1=2满足上式,5分(得分点3)所以an的通项公式为an=22n-1.6分(得分点4)(2)记数列an2n+1的前n项和为Sn,由(1)知an2n+1=2(2n-1)(2n+1)=12n-1- 12n+1,8分(得分点5)则Sn=(1 - 13)+(13 -15)+(12n-1- 12n+1)10分(得分点6)=1 - 12
6、n+1=2n2n+1.12分(得分点7)感悟升华素养探源素养考查途径数学运算裂项相消法求和.逻辑推理观察已知式子的特点,利用前n项和与通项的关系求解通项;根据an2n+1=2(2n-1)(2n+1)的特点裂项求和.得分要点(1)得步骤分:抓住得分点的解题步骤,“步步为赢”.第(1)问中,由an满足的关系式,通过消项求得an,并验证当n=1时成立,从而写出结果.第(2)问中观察数列通项公式的结构特征,利用裂项相消法求得数列的前n项和Sn.(2)得关键分:an - 1满足的关系式;验证n=1;对通项裂项.这些都是必不可少的过程,有则给分,无则没分.(3)得计算分:解题过程中计算准确是得满分的根本保
7、证.如得分点2,5,7.答题模板求数列通项与前n项和的步骤第一步:由等差(等比)数列的定义求通项,或者由递推公式求通项.第二步:根据前n项和的表达式或通项的特征,选择适当的方法求和.第三步:明确、规范地表述结论.3 2018浙江,20,15分已知等比数列an的公比q1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列bn满足b1=1,数列(bn+1-bn)an的前n项和为2n2+n.(1)求q的值;(2)求数列bn的通项公式.(1)由可知,a3+a5=2(a4+2),代入可求出a4及a3+a5,进而可求出公比q;(2)由及“an=Sn - Sn - 1”可求出数列(bn+1 -
8、bn)an的通项公式,由(1)可先求出an,然后可求出bn+1 - bn的通项公式,再用叠加法及错位相减法即可求出bn的通项公式.(1)由a4+2是a3,a5的等差中项,得a3+a5=2a4+4,所以a3+a4+a5=3a4+4=28,解得a4=8.(3分)由a3+a5=20,得8(1q+q)=20,解得q=2或q=12.(5分)因为q1,所以q=2.(6分)(2)设cn=(bn+1 - bn)an,数列cn的前n项和为Sn.由cn=S1,n=1,Sn-Sn-1,n2,解得cn=4n - 1.(8分)由(1)可知an=2n - 1,所以bn+1 - bn=(4n - 1)(12)n - 1,(
9、9分)故bn - bn - 1=(4n - 5)(12)n - 2,n2,bn - b1=(bn - bn - 1)+(bn - 1 - bn - 2)+(b3 - b2)+(b2 - b1)=(4n - 5)(12)n - 2+(4n - 9)(12)n - 3+712+3.(11分)设Tn=3+712+11(12)2+(4n - 5)(12)n - 2,n2,则12Tn=312+7(12)2+(4n - 9)(12)n - 2+(4n - 5)(12)n - 1,(13分)所以12Tn=3+412+4(12)2+4(12)n - 2 - (4n - 5)(12)n - 1,因此Tn=14
10、- (4n+3)(12)n - 2,n2,(14分)又b1=1,所以bn=15 - (4n+3)(12)n - 2.(15分)感悟升华命题探源本题主要考查等差中项,等比数列的通项公式,数列的通项与前n项和的关系等,同时考查了方程、转化与化归等思想方法,以及数学运算、逻辑推理等核心素养.失分探源(1)高考复习中将“边缘化”知识遗忘.如将“等差中项”这一概念遗忘,以致无法找到解题的切入点.(2)没有运用方程思想解决问题.如没有将a3+a5=2a4+4代入中求出a4及a3+a5等.(3)没有掌握好公式“an=Sn - Sn - 1”及其蕴含的思想方法,以致无法求出(bn+1 - bn)an的通项公式.(4)求出bn+1 - bn=(4n - 1)(12)n - 1后,不能运用叠加法求出bn.(5)没有掌握好错位相减法,以致求出bn - b1的表达式后无法化简.(6)计算错误.如在用错位相减法求bn - b1的过程中出现错误.(7)在最后一步直接把Tn当作bn,导致错误.
