1、第六章数列第一讲数列的概念与简单表示法1.下列说法中,正确的是()A.一个数列中的数是不可以重复的B.所有数列的前n项和都能用公式表达C.任何一个数列不是递增数列,就是递减数列D.如果数列an的前n项和为Sn,则nN*,都有an+1=Sn+1 - Sn2.改编题给出下面四个结论:数列n+1n的第k项为1+1k;数列的项数是无限的;数列的通项公式的表达式是唯一的;数列1,3,5,7可以表示为1,3,5,7.其中说法正确的有()A.B.C.D.3.2020十堰模拟图6 - 1 - 1是希尔宾斯基(SieRpinski)三角形,在所给的四个三角形图案中,阴影小三角形的个数构成数列an的前4项,则an
2、的通项公式可以是()A.an=3n - 1 B.an=2n - 1C.an=3n D.an=2n - 14.2019武汉市武昌区高三调考已知数列an的前n项和Sn=n2 - 1,则a1+a3+a5+a7+a9=()A.40 B.44 C.45 D.495.2019陕西榆林一中模拟在数列an中,a1=1,an=1+(-1)nan-1(n2),则a5等于()A.32 B.53C.85 D.236.陕西高考,5分原命题为“若an+an+12an,nN*,则an为递减数列”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是()A.真,真,真B.假,假,真C.真,真,假D.假,假,假7.改编
3、题已知数列an中,a1=3,a2=6,an+2=an+1 - an,则a2 019等于()A.6 B. - 6C.3D. - 38.2016浙江,13,6分理设数列an的前n项和为Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,nN*,则a1=,S5=.考法1利用an与Sn的关系求通项公式1 2020山东菏泽模拟设数列an的前n项和为Sn,已知2Sn=3n+3.则数列an的通项公式为.用n - 1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用公式an=S1,n=1,Sn-Sn-1,n2求出an.由2Sn=3n+3可得a1=S1=12(3+3)=3,(求首项)当n2时,2Sn - 1=3n - 1+3,结合2Sn
4、=3n+3可得an=Sn - Sn - 1=12(3n+3) - 12(3n - 1+3)=3n - 1.(求通项)而a1=331 - 1,不满足上式,(检验首项a1)所以an=3,n=1,3n-1,n2.2改编题设Sn是数列an的前n项和,且a1= - 1,an+1=12Sn+1Sn,则数列an的通项公式为.利用an+1=Sn+1 - Sn及an+1=12Sn+1Sn消去an+1,得到Sn+1与Sn的关系式,求出Sn,再由公式an=S1,n=1,Sn-Sn-1,n2求出an.因为an+1=12Sn+1Sn,an+1=Sn+1 - Sn,所以Sn+1 - Sn=12Sn+1Sn,两边同时除以S
5、n+1Sn,得1Sn+1-1Sn= - 12,又a1=S1= - 1,所以1Sn是以 - 1为首项, - 12为公差的等差数列.所以1Sn= - 1 - 12(n - 1)= - 12n - 12,故Sn= - 2n+1.当n2时,an=Sn - Sn - 1= - 2n+1 - ( - 2n)=2n(n+1).当n=1时,a1= - 121(1+1)=1,不满足上式,所以an=-1(n=1),2n(n+1)(n2).1.2018全国卷,14,5分理记Sn为数列an的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=.考法2数列的性质及其应用3(1)已知数列an的通项公式为an=3n+k2n,若数列an为
6、递减数列,则实数k的取值范围为A.(3,+) B.(2,+)C.(1,+) D.(0,+)(2)已知数列an的通项公式为an=9n(n+1)10n,则数列中的最大项为.(1)递减数列an+1 - an0转化为含参数的不等式求解(2)(1)因为an+1 - an=3n+3+k2n+1-3n+k2n=3-3n-k2n+1,由数列an为递减数列知,对任意nN*,an+1 - an=3-3n-k2n+13 - 3n对任意nN*恒成立,所以k(0,+).故选D.(2)解法一an+1 - an=9n+1(n+2)10n+1-9n(n+1)10n=9n10n8-n10,当n0,即an+1an;当n=8时,a
7、n+1 - an=0,即an+1=an;当n8时,an+1 - an0,即an+1an.则a1a2a3a10a11,故数列an中的最大项为第8项和第9项,且a8=a9=989108=99108.解法二设数列an中的第n项最大,则anan-1,anan+1,即9n(n+1)10n9n-1n10n-1,9n(n+1)10n9n+1(n+2)10n+1,解得8n9.又nN*,则n=8或n=9.故数列an中的最大项为第8项和第9项,且a8=a9=99108.42020武汉市部分学校质量监测在数列an中,a1= - 14,an=1 - 1an-1(n2,nN*),则a2 019的值为A. - 14B.5
8、C.45D.54因为在数列an中,a1= - 14,an=1 - 1an-1(n2,nN*),所以a2=1 - 1-14=5,a3=1 - 15=45,a4=1 - 145= - 14,所以an是以3为周期的周期数列,所以a2019=a6733=a3=45.C2.2019浙江杭州模拟已知数列an满足an=(13-a)n+2,n8,an-7,n8,若对任意的nN*,都有anan+1,则实数a的取值范围是()A.(0,13) B.(0,12)C.12,1) D.(13,12)考法3已知递推关系求数列的通项公式5已知数列an满足a1=2,an - an - 1=n(n2,nN*),则an=.利用递推
9、公式an - an - 1=n(n2),写出n - 1个式子并相加,再利用等差数列的前n - 1项和的公式,即可求出an.(累加法)由题意可知,a2 - a1=2,a3 - a2=3,an - an - 1=n(n2),以上式子累加,得an - a1=2+3+n.(累加时注意开始的一项与最后一项)因为a1=2,所以an=2+(2+3+n)(用公式求2+3+n时,注意项数为n - 1)=2+(n-1)(2+n)2=n2+n+22(n2).因为a1=2满足上式,所以an=n2+n+22.6已知在数列an中,an+1=nn+2an(nN*),且a1=4,则数列an的通项公式an=.利用递推公式an+
10、1=nn+2an,得an+1an=nn+2,写出(n - 1)个式子并相乘,即可求出an.(累乘法)由an+1=nn+2an,得an+1an=nn+2,故a2a1=13,a3a2=24,anan-1=n-1 n+1(n2),以上式子累乘得,ana1=1324n-3n-1n-2nn-1n+1= 2n(n+1).(累乘时注意开始的一项与最后一项)因为a1=4,所以an=8n(n+1)(n2).因为a1=4满足上式,所以an=8 n(n+1).7已知在数列an中,a1=3,且点Pn(an,an+1)(nN*)在直线4x - y+1=0上,则数列an的通项公式为.把点Pn(an,an+1)的坐标代入直
11、线方程4x - y+1=0,得出数列an的递推公式,再利用构造法构造出等比数列,即可利用等比数列的通项公式求得结果. (利用待定系数法构造)因为点Pn(an,an+1)(nN*)在直线4x - y+1=0上,所以4an - an+1+1=0.(将点的坐标代入直线方程得递推公式)所以an+1+13=4(an+13).(令an+1+=4(an+),与4an - an+1+1=0对比得)因为a1=3,所以a1+13=103.故数列an+13是首项为103,公比为4的等比数列.(注意数列an+13的首项不是a1,而是a1+13)所以an+13=1034n - 1,故数列an的通项公式为an=1034n
12、 - 1 - 13.8已知数列an满足a1=2,an+1=2an2+an(nN*),则an=.将an+1=2an2+an两边同时取倒数整理可得1an为等差数列先求出1an,再求an(取倒数)因为an+1=2an2+an,所以1an+1-1an=12.(两边同时取倒数,构造出具有等差数列特征的式子)因为a1=2,即1a1=12,所以数列1an是首项为12,公差为12的等差数列,(注意数列1an的首项不是a1,而是1a1)所以1an=12+(n - 1)12=n2,故an=2n.3.(1)各项均不为0的数列an满足an+1(an+an+2)2=an+2an(nN*),且a3=2a8=15,则数列a
13、n的通项公式为.(2)已知数列an中,a1=56,an+1=13an+(12)n+1,则an=.(3)2015江苏,11,5分设数列an满足a1=1,且an+1 - an=n+1(nN*),则数列1an前10项的和为.1.D对于选项A,数列中的数是可以重复的,故A错误;对于选项B,不是所有的数列都有通项公式,如由质数组成的无穷数列,故B错误;对于选项C,数列还可以是常数列、摇摆数列等,故C错误.易知D正确,选D.2.B根据数列的表示方法可知,求数列的第k项就是将k代入通项公式,经验证知正确;数列的项数可能是有限的,也可能是无限的,并且数列的通项公式的表达式不是唯一的,故不正确;集合中的元素具有
14、无序性,而数列中每一个数的位置都是确定的,故不正确.所以只有正确,选B.3.A题图中的阴影小三角形的个数构成数列an的前4项,分别为a1=1,a2=3,a3=33=32,a4=323=33,因此an的通项公式可以是an=3n - 1.故选A.4.B解法一因为Sn=n2 - 1,所以当n2时,an=Sn - Sn - 1=n2 - 1 - (n - 1)2+1=2n - 1,又a1=S1=0,所以an=0,n=1,2n - 1,n2,所以a1+a3+a5+a7+a9=0+5+9+13+17=44.故选B.解法二因为Sn=n2 - 1,所以当n2时,an=Sn - Sn - 1=n2 - 1 -
15、(n - 1)2+1=2n - 1,又a1=S1=0,所以an=0,n=1,2n - 1,n2,所以an从第二项起是等差数列,且a2=3,公差d=2,所以a1+a3+a5+a7+a9=0+4a6=4(26 - 1)=44,故选B.5.D由题可知,a2=1+( - 1)2a1=2,a3=1+( - 1)3a2=12,a4=1+( - 1)4a3=3,a5=1+( - 1)5a4=23.故选D.6.A从原命题的真假入手,an+an+12anan+1an+1,所以数列an为递减数列,由当n8时an=an - 7及指数函数的性质,可知0a1,由题意知a13.若13a8时,an=(13 - a)n+2单
16、调递减,且当n8时,an=an - 7单调递减,所以(13 - a)9+2a8 - 7,解得a12,所以12a1.若0a8时,an=(13 - a)n+2单调递增,不符合题意,舍去.综上可知,实数a的取值范围是12,1),故选C.3.(1)an=1n+2因为an+1(an+an+2)2=an+2an,所以an+1an+an+1an+2=2an+2an.因为anan+1an+20,所以1an+2+1an=2an+1,所以数列1an为等差数列.设数列1an的公差为d,则1a8=1a3+(8 - 3)d.因为a3=2a8=15,所以d=1,又1a1=1a3 - 2d=3,所以数列1an是以3为首项,
17、1为公差的等差数列.所以1an=3+(n - 1)1=n+2,故数列an的通项公式为an=1n+2.(2)32n - 23n解法一将an+1=13an+(12)n+1两边同时乘以2n+1,得2n+1an+1=23(2nan)+1.令bn=2nan,则bn+1=23bn+1,将上式变形,得bn+1 - 3=23(bn - 3).所以数列bn - 3是首项为b1 - 3=256 - 3= - 43,公比为23的等比数列.所以bn - 3= - 43(23)n - 1,即bn=3 - 2(23)n.于是an=bn2n=32n - 23n.解法二将an+1=13an+(12)n+1两边同时乘以3n+1
18、,得3n+1an+1=3nan+(32)n+1.令bn=3nan,则bn+1=bn+(32)n+1,所以bn - bn - 1=(32)n,bn - 1 - bn - 2=(32)n - 1,b2 - b1=(32)2.将以上各式累加,得bn - b1=(32)2+(32)n - 1+(32)n.又b1=3a1=356=52=1+32,所以bn=1+32+(32)2+(32)n - 1+(32)n=11 - (32)n+11 - 32=2(32)n+1 - 2,即bn=2(32)n+1 - 2.故an=bn3n=32n - 23n.(3)2011由a1=1,且an+1 - an=n+1(nN*)得,an=a1+(a2 - a1)+(a3 - a2)+(an - an - 1)=1+2+3+n=n(n+1)2,则1an=2n(n+1)=2(1n - 1n+1),故数列1an前10项的和S10=2(1 - 12+12 - 13+110 - 111)=2(1 - 111)=2011.
