1、 20202021学年（下）高一数学暑假综合复习题（三）一选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知向量i(1,0)，j(0,1)，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论：存在唯一的一对实数x，y，使得a(x，y)；若x1，x2，y1，y2R，a(x1，y1)(x2，y2)，则x1x2，且y1y2；若x，yR，a(x，y)，且a0，则a的始点是原点O；若x，yR，a0，且a的终点坐标是(x，y)，则a(x，y)其中正确结论的个数是() A1 B2 C3 D42下列概率模型中，古典概型的个数为()从区间1,10内任取一个数，求取到1
2、的概率；从110中任意取一个整数，求取到1的概率；在一个正方形ABCD内画一点P，求点P刚好与点A重合的概率；向上抛掷一枚质地不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率A1 B2 C3 D43设z，则|z|() A2 B C D14已知平面向量a(2,4)，b(1,2)，若ca(ab)b，则|c|等于()A4 B2 C8 D85设，A，B，C是AB的中点，当A，B分别在平面，内运动时，得到无数个AB的中点C，那么所有的动点C()A不共面 B当且仅当A，B分别在两条直线上移动时才共面C当且仅当A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D不论A，B如何移动，都共面6在120个零件中，一级品24个，二级品
3、36个，三级品60个，用比例分配的分层随机抽样方法从中抽取样本量为20的样本，则每个个体被抽取的可能性是()A B C D7一船从某河一岸驶向另一岸，船速为v1、水速为v2，已知船垂直到达对岸，则()A|v1|v2| C|v1|v2| D|v1|v2|8一个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长分别为3,4,5，则它的外接球的表面积是()A20 B25 C50 D2009已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，CC12，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为()A1 B C D210.袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列事件的概率为的是()A颜
4、色相同 B颜色不全相同 C颜色全不相同 D无红球11.正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持APBD1，则动点P的轨迹是()A线段B1C B线段BC1CBB1中点与CC1中点连成的线段 DBC中点与B1C1中点连成的线段12.我校八角形校徽由两个正方形叠加变形而成，喻意“方方正正做人”，又寄托南开人”面向四面八方，胸怀博大，广纳新知，锐意进取”之精神，如图，在抽象自“南开校徽”的多边形中，已知其由一个正方形与以该正方形中心为中心逆时针旋转后的正方形组合而成，已知向量，则向量（ ） A BC D二填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在题中
5、的横线上)13一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如213,134等)，若a，b，c1,2,3,4，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“有缘数”的概率是_.14设向量a与b的夹角为，且a(3,3)，2ba(1,1)，则cos_.15已知复数z1cosi，z2sini，则z1z2的实部最大值为_，虚部最大值为_.16设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA，cosB，b3，则c_.三解答题(本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知复数z1i(1i)3.
6、(1)求|z1|； (2)若|z|1，求|zz1|的最大值18(本小题满分12分)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsinBasinA(ca)sinC.(1)求B； (2)若3sinC2sinA，且ABC的面积为6，求b.19(本小题满分12分)根据某市所在地区的收入水平、消费水平等情况，拟将家庭年收入低于1.5万元的家庭确定为“贫困户”，家庭年收入在6.5,7.5)万元的家庭确定为“小康户”，家庭年收入在7.5,8.5万元的家庭确定为“富裕户”，该市扶贫办为了打好精准脱贫攻坚战，在所辖某县的100万户家庭中随机抽取200户家庭，对其2019年的全年收入进行调查，抽查结果的
7、频率分布直方图如图所示(1)求这200户家庭的全年收入的样本均值和方差s2；(2)用样本的频率分布估计总体分布，估计该县100万户家庭中“贫困户”的数量20(本小题满分12分)如图，在正三棱柱(底面为正三角形，侧棱垂直底面)ABCA1B1C1中，F，F1分别是AC，A1C1的中点求证：(1)平面AB1F1平面C1BF；(2)平面AB1F1平面ACC1A1.21(本小题满分12分)在人流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3个黄色、3个白色的乒乓球(各球的体积、质地完全相同)，旁边立着一块小黑板写着摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸
8、球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱(1)求摸出的3个球都为白球的概率；(2)求摸出的3个球为2个黄球，1个白球的概率；(3)假定一天中有100人参与摸球游戏，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月(按30天计)能赚多少钱22(本小题满分12分)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD，PAD是等边三角形，F为AD的中点，PDBF.(1)求证：ADPB；(2)若E在线段BC上，且ECBC，能否在棱PC上找到一点G，使平面DEG平面ABCD？若存在，求出三棱锥DCEG的体积；若不存在，请说明理由20202021学年（下）高一数学暑假综合复习题（三）一选择
9、题(本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知向量i(1,0)，j(0,1)，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论：存在唯一的一对实数x，y，使得a(x，y)；若x1，x2，y1，y2R，a(x1，y1)(x2，y2)，则x1x2，且y1y2；若x，yR，a(x，y)，且a0，则a的始点是原点O；若x，yR，a0，且a的终点坐标是(x，y)，则a(x，y)其中正确结论的个数是()A1 B2 C3 D4(1)由平面向量基本定理，知正确；例如，a(1,0)(1,3)，但11，故错误；因为向量可以平移，所以a(x，y)与a的始点是不是原点无关
10、，故错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a(x，y)是以a的起点是原点为前提的，故错误2下列概率模型中，古典概型的个数为()从区间1,10内任取一个数，求取到1的概率；从110中任意取一个整数，求取到1的概率；在一个正方形ABCD内画一点P，求点P刚好与点A重合的概率；向上抛掷一枚质地不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率A1 B2 C3 D4答案A解析古典概型的特征是样本空间中样本点的个数是有限的，并且每个样本点发生的可能性相等，故是古典概型；由于硬币质地不均匀，样本点发生的可能性不一定相等，故不是古典概型；和中的样本空间中的样本点的个数不是有限的，故不是古典概型故选A.3设z，则|z|()A2
11、 B C D1答案C解析zi，|z| .故选C.4已知平面向量a(2,4)，b(1,2)，若ca(ab)b，则|c|等于()A4 B2 C8 D8答案D解析易得ab2(1)426，所以c(2,4)6(1，2)(8，8)，所以|c|8.5设，A，B，C是AB的中点，当A，B分别在平面，内运动时，得到无数个AB的中点C，那么所有的动点C()A不共面B当且仅当A，B分别在两条直线上移动时才共面C当且仅当A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D不论A，B如何移动，都共面答案D解析如图所示，A，B分别是A，B两点在，上运动后的两点，此时AB的中点变成AB的中点C，当AABB时，易得CC，当AA与B
12、B异面时，连接AB，取AB的中点E.连接CE，CE，AA，BB，CC，则CEAA，CE.CEBB，CE.又，CE.CECEE，平面CCE平面.CC.所以不论A，B如何移动，所有的动点C都在过C点且与，平行的平面上6在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个，用比例分配的分层随机抽样方法从中抽取样本量为20的样本，则每个个体被抽取的可能性是()A B C D答案D解析在比例分配的分层随机抽样方法中，每个个体被抽取的可能性都相等，且为，所以每个个体被抽取的可能性是.7一船从某河一岸驶向另一岸，船速为v1、水速为v2，已知船垂直到达对岸，则()A|v1|v2|C|v1|v2| D|v
13、1|v2|答案B解析速度是向量，要使船垂直到达对岸，则向量v1在水流方向上的分量与向量v2大小相等，方向相反，由此即得|v1|v2|.8一个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长分别为3,4,5，则它的外接球的表面积是()A20 B25 C50 D200答案C解析因为这个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，所以此三棱锥可视为一个长方体的一个角(如图所示)，而且此长方体的外接球就是此三棱锥的外接球设此三棱锥的外接球的半径为r，则有(2r)232425250，即4r250，故它的外接球的表面积是S4r250.9已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，CC12，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED
14、的距离为()A1 B C D2答案A解析如图，连接AC交BD于点O.在CC1A中，易证OEAC1.又OE平面BDE，AC1平面BDE，AC1平面BDE，直线AC1与平面BED的距离为点A到平面BED的距离连接AE.在三棱锥EABD中，VEABDSABDEC22.在三棱锥ABDE中，BD2，BE，DE，SEBD22.设点A到平面BED的距离为h，则VABDESEBDh2hh，解得h1，故选A.10.袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列事件的概率为的是()A颜色相同 B颜色不全相同C颜色全不相同 D无红球答案B解析有放回地取球3次，共27种可能结果，其中颜色相同
15、的结果有3种，其概率为；颜色不全相同的结果有24种，其概率为；颜色全不相同的结果有6种，其概率为；无红球的结果有8种，其概率为.故选ACD.11.正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持APBD1，则动点P的轨迹是()A线段B1CB线段BC1CBB1中点与CC1中点连成的线段DBC中点与B1C1中点连成的线段答案A解析如图所示，易知BD1平面AB1C，故当点P在平面AB1C内时，总保持APBD1，又点P在侧面BCC1B1内，且B1C为平面AB1C和平面BCC1B1的交线，故点P一定位于线段B1C上12.我校八角形校徽由两个正方形叠加变形而成，喻意“方方
16、正正做人”，又寄托南开人”面向四面八方，胸怀博大，广纳新知，锐意进取”之精神，如图，在抽象自“南开校徽”的多边形中，已知其由一个正方形与以该正方形中心为中心逆时针旋转后的正方形组合而成，已知向量，则向量（ ）A BCD【答案】D【解析】根据对称性可得线段的长度关系以及点共线，再由向量的加法法则可求解.根据题意可得，由该图形是由正方形中心为中心逆时针旋转后与原正方形组合而成，如图由对称性可得, 由对称性可得点共线，点共线.所以 ， 所以 故选：D二填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在题中的横线上)13一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当有两个数字的和等
17、于第三个数字时称为“有缘数”(如213,134等)，若a，b，c1,2,3,4，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“有缘数”的概率是_.答案解析由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321，共6个；同理，由1,2,4组成的三位自然数为6个，由1,3,4组成的三位自然数为6个，由2,3,4组成的三位自然数为6个，共有24个，这24个数出现的可能性是相等的由1,2,3或1,3,4组成的三位自然数为“有缘数”，共12个，所以三位数为“有缘数”的概率为.14设向量a与b的夹角为，且a(3,3)，2ba(1,1)，则cos_.答案解析2ba2b(3,3)(1,1)，2b
18、(1,1)(3,3)(2,4)，b(1,2)cos.15已知复数z1cosi，z2sini，则z1z2的实部最大值为_，虚部最大值为_.(本题第一空2分，第二空3分)答案解析z1z2(cosi)(sini)(cossin1)i(cossin)，实部cossin11sin2，最大值为，虚部cossincos，最大值为.16设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA，cosB，b3，则c_.答案解析cosA，cosB，sinA，sinB.sin(AB)sinAcosBcosAsinB.又sinCsin(C)sin(AB)，sinC，由正弦定理，得，c.三解答题(本题共6小题，共70
19、分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知复数z1i(1i)3.(1)求|z1|；(2)若|z|1，求|zz1|的最大值解(1)z1i(1i)3i(1i)(2i)22i，|z1|2.(2)解法一：设z与z1对应的点分别为Z，Z1，|z|1，点Z在以原点为圆心，1为半径的圆上，z122i，Z1(2，2)，|zz1|为点Z1到圆上一点的距离，|zz1|max|ZZ1|max121.解法二：|z|1，可设zcosisin(R)，|zz1|cosisin22i| .当sin1时，|zz1|取得最大值，最大值为 21.18(本小题满分12分)在ABC中，角A，B，C所对的边分
20、别为a，b，c，且bsinBasinA(ca)sinC.(1)求B；(2)若3sinC2sinA，且ABC的面积为6，求b.解(1)由bsinBasinA(ca)sinC及正弦定理，得b2a2(ca)c，即a2c2b2ac.由余弦定理，得cosB.因为B(0，)，所以B.(2)由(1)得B，所以ABC的面积为acsinBac6，得ac24.由3sinC2sinA及正弦定理，得3c2a，所以a6，c4.由余弦定理，得b2a2c22accosB36162428，所以b2.19(本小题满分12分)根据某市所在地区的收入水平、消费水平等情况，拟将家庭年收入低于1.5万元的家庭确定为“贫困户”，家庭年收
21、入在6.5,7.5)万元的家庭确定为“小康户”，家庭年收入在7.5,8.5万元的家庭确定为“富裕户”，该市扶贫办为了打好精准脱贫攻坚战，在所辖某县的100万户家庭中随机抽取200户家庭，对其2019年的全年收入进行调查，抽查结果的频率分布直方图如图所示(1)求这200户家庭的全年收入的样本均值和方差s2；(2)用样本的频率分布估计总体分布，估计该县100万户家庭中“贫困户”的数量解(1)这200户家庭的全年收入的样本均值10.0620.1030.1440.3150.3060.0670.0280.014，方差s2(3)20.06(2)20.10(1)20.14020.31120.30220.06
22、320.02420.011.96.(2)由频率分布直方图可知，样本中“贫困户”的频率为0.06，所以估计该县100万户家庭中“贫困户”的数量为1000.066(万户)20(本小题满分12分)如图，在正三棱柱(底面为正三角形，侧棱垂直底面)ABCA1B1C1中，F，F1分别是AC，A1C1的中点求证：(1)平面AB1F1平面C1BF；(2)平面AB1F1平面ACC1A1.证明(1)如图所示，连接FF1，在正三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1AC，BB1CC1.F，F1分别是AC，A1C1的中点，C1F1AFAC，FF1CC1BB1，四边形AFC1F1和四边形BFF1B1均为平行四边形，B1F1
23、BF，AF1C1F.B1F1平面C1BF，BF平面C1BF，B1F1平面C1BF.同理AF1平面C1BF，又B1F1AF1F1，平面AB1F1平面C1BF.(2)在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面A1B1C1，又B1F1平面A1B1C1，B1F1AA1.又B1F1A1C1，A1C1AA1A1，B1F1平面ACC1A1，而B1F1平面AB1F1，平面AB1F1平面ACC1A1.21(本小题满分12分)在人流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3个黄色、3个白色的乒乓球(各球的体积、质地完全相同)，旁边立着一块小黑板写着摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得
24、同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱(1)求摸出的3个球都为白球的概率；(2)求摸出的3个球为2个黄球，1个白球的概率；(3)假定一天中有100人参与摸球游戏，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月(按30天计)能赚多少钱解把3个黄色乒乓球分别标记为A，B，C,3个白色乒乓球分别标记为1,2,3.从6个球中随机摸出3个球的样本空间ABC，AB1，AB2，AB3，AC1，AC2，AC3，BC1，BC2，BC3，A12，A13，A23，B12，B13，B23，C12，C13，C23,123，共20个样本点，这20个样本点发生的可能性是相等的(1)设事
25、件E摸出的3个球都为白球，则事件E包含的样本点有1个，即摸出123，则P(E)0.05.(2)设事件F摸出的3个球为2个黄球，1个白球，则事件F包含的样本点有9个，P(F)0.45.(3)设事件G摸出的3个球为同一颜色摸出的3个球都为白球或摸出的3个球都为黄球，则事件G包含的样本点有2个，故P(G)0.1.假定一天中有100人参与摸球游戏，由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件“摊主送给摸球者5元钱”发生10次，事件“摸球者付给摊主1元钱”发生90次，故可估计该摊主一天可赚90110540(元)，每月可赚1200元22(本小题满分12分)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形
26、，BAD，PAD是等边三角形，F为AD的中点，PDBF.(1)求证：ADPB；(2)若E在线段BC上，且ECBC，能否在棱PC上找到一点G，使平面DEG平面ABCD？若存在，求出三棱锥DCEG的体积；若不存在，请说明理由解(1)证明：连接PF，PAD是等边三角形，PFAD.底面ABCD是菱形，BAD，BFAD.又PFBFF，AD平面BFP，又PB平面BFP，ADPB.(2)能在棱PC上找到一点G，使平面DEG平面ABCD.由(1)知ADBF，PDBF，ADPDD，BF平面PAD.又BF平面ABCD，平面ABCD平面PAD，又平面ABCD平面PADAD，且PFAD，PF平面ABCD.连接CF交DE于点H，过H作HGPF交PC于G，连接DG，EG.GH平面ABCD.又GH平面DEG，平面DEG平面ABCD.ADBC，DFHECH，GHPF，VDCEGVGCDESCDEGHDCCEsinGH.
