1、考点规范练66不等式选讲考点规范练B册第50页基础巩固1.(2019宁夏石嘴山三中高三一模)已知函数f(x)=|x-a|+2|x-1|.(1)当a=2时,求关于x的不等式f(x)5的解集;(2)若关于x的不等式f(x)-|x-1|a-2|有解,求a的取值范围.解:(1)当a=2时,不等式为|x-2|+2|x-1|5,若x1,则-3x+45,即x-13;若1x5,舍去;若x2,则3x-45,即x3.综上,不等式的解集为-,-13(3,+).(2)f(x)-|x-1|=|x-a|+|x-1|1-a|当且仅当(x-a)(x-1)0时等号成立,题意等价于|1-a|a-2|,a32,a的取值范围为-,3
2、2.2.已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)1的解集;(2)若x(0,1)时不等式f(x)x成立,求a的取值范围.解:(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)=-2,x-1,2x,-1x1的解集为xx12.(2)当x(0,1)时|x+1|-|ax-1|x成立等价于当x(0,1)时|ax-1|0,则|ax-1|1的解集为x0x2a,所以2a1,故0a2.综上,a的取值范围为(0,2.3.已知函数f(x)=|x-1|-|x+2|.(1)若不等式f(x)|m-1|有解,求实数m的最大值M;(2)在(1)的条件下,若正实数a,b满足3a2+b
3、2=M,求证:3a+b4.(1)解若不等式f(x)|m-1|有解,只需f(x)的最大值f(x)max|m-1|即可.因为|x-1|-|x+2|(x-1)-(x+2)|=3,所以|m-1|3,解得-2m4,所以实数m的最大值M=4.(2)证明根据(1)知正实数a,b满足3a2+b2=4.由柯西不等式可知(3a2+b2)(3+1)(3a+b)2,所以(3a+b)216.因为a,b均为正实数,所以3a+b4(当且仅当a=b=1时取“=”).4.设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.(1)当a=1时,求不等式f(x)0的解集;(2)若f(x)1,求a的取值范围.解:(1)当a=1时,f(x)=2
4、x+4,x-1,2,-12.可得f(x)0的解集为x|-2x3.(2)f(x)1等价于|x+a|+|x-2|4.而|x+a|+|x-2|a+2|,且当x=2时等号成立.故f(x)1等价于|a+2|4.由|a+2|4可得a-6或a2.所以a的取值范围是(-,-62,+).5.(2019广西桂林高三一模)已知函数f(x)=x-12+x+12,M是不等式f(x)2的解集.(1)求M;(2)证明:当a,bM时,|a+b|1+ab|.(1)解f(x)=-2x,x-12,1,-12x12,2x,x12.当x-12时,由f(x)2得-1x-12;当-12x12时,f(x)2成立;当x12时,由f(x)2得1
5、2x1.所以f(x)2的解集M=x|-1x1.(2)证明由(1)知,当a,bM时,-1a1,-1b1.从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)0,所以|a+b|0,y=f(x)的图象与x轴围成的封闭图形面积为S,求S的最小值.解:(1)因为|ax+1|+|ax-1|(ax+1)-(ax-1)|=2,等号当且仅当(ax+1)(ax-1)0时成立,所以f(x)的最小值为2-2a-4=-2a-2.依题意可得-2a-20,所以a-1.(2)因为a0,f(x)=|ax+1|+|ax-1|-2a-4,f(x)=-2ax-2a-4,x-1a,-2a-2,-1ax1
6、a,2ax-2a-4,x1a.所以y=f(x)的图象与x轴围成的封闭图形为等腰梯形ABCD,且顶点为A-1-2a,0,B1+2a,0,C1a,-2a-2,D-1a,-2a-2.从而S=21+3a(a+1)=2a+3a+8,因为a+3a23,等号当且仅当a=3时成立,所以当a=3时,S取得最小值43+8.7.已知函数f(x)=|x+2|-2|x-1|.(1)解不等式f(x)-2;(2)对任意xa,+),都有f(x)x-a成立,求实数a的取值范围.解:(1)f(x)=|x+2|-2|x-1|-2.当x-2时,x-4-2,即x2,故x;当-2x1时,3x-2,即x-23,故-23x1;当x1时,-x+4-2,即x6,故1x6;综上,不等式f(x)-2的解集为x-23x6.(2)f(x)=x-4,x-2,3x,-2x5;(2)若f(x)a|x+3|,求a的最小值.解:(1)当a=-2时,f(x)=1-3x,x1.由f(x)的单调性及f-43=f(2)=5,得f(x)5的解集为xx2.(2)由f(x)a|x+3|得a|x+1|x-1|+|x+3|.由|x-1|+|x+3|2|x+1|得|x+1|x-1|+|x+3|12,即a12(当且仅当x1或x-3时等号成立).故a的最小值为12.
