1、山东省枣庄市第三中学2021届高三数学上学期第一次月考（9月）试题（含解析）一单选题1. 下列函数与函数相等的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题先求函数的定义域为，函数的值域为，函数的定义域为，并判断与函数不同，排除ABD，再判断与的定义域、值域、对应关系都相同，最后得到答案.【详解】解：因为函数的定义域为，而函数的定义域为，故A选项错误；因为函数的值域为，而函数的值域为，故B选项错误；因为函数的定义域为，而函数的定义域为，故D选项错误；因为与的定义域、值域、对应关系都相同，故C选项正确.故选：C【点睛】本题考查函数的定义、判断函数是否为同一函数，是基础题.2. 函
2、数的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数成立的条件建立不等式关系进行求解即可【详解】解：要使函数有意义，则，得，即或，即函数的定义域为，故选：【点睛】本题主要考查函数定义域的求解，结合函数成立的条件建立不等式是解决本题的关键属于基础题3. 若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由两角差的正切公式计算【详解】由题意故选：A【点睛】本题考查两角差的正切公式，属于基础题4. 函数（，）的部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，
3、由五点法作图求出的值，可得函数的解析式【详解】根据函数，的部分图象，可得，再根据五点法作图，可得，故，故选：A【点睛】本题主要考查根据三角函数的图象求函数的解析式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5. 为得到函数的图象，只需将的图象( )A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】A【解析】【分析】先将转化为，再利用三角函数图象变换的知识，得出正确选项.【详解】，所以向左平移个单位长度，得到函数的图象.故选：A【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，考查诱导公式，属于基础题.6. 定义在R上的函数是奇函数，为偶函数，若，则（ ）
4、A. B. 0C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性，对称性求出函数的周期是8，结合周期性，对称性进行转化求解即可【详解】解：为偶函数，即函数的图象关于对称，是奇函数，且，函数的周期是8，故选：B【点睛】本题主要考查函数值的计算，结合函数奇偶性和对称性求出函数的周期性，以及利用周期性进行转化是解决本题的关键，属于中档题7. 已知函数，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先判断函数的单调性，再根据指数函数、对数函数的性质得到，即可得解；【详解】解：因为，定义域为，在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，所以在定义域上单调递增，由， 所以即
5、故选：A【点睛】本题考查指数函数、对数函数的性质的应用，属于基础题.8. 已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为A. 11B. 9C. 7D. 5【答案】B【解析】【分析】根据已知可得为正奇数，且12，结合x为f（x）的零点，x为yf（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得的最大值【详解】x为f（x）的零点，x为yf（x）图象的对称轴，即，（nN）即2n+1，（nN）即为正奇数，f（x）在（，）上单调，则，即T，解得：12，当11时，k，kZ，|，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当9时，k，kZ，|，此时f（x）在（，）单调，满足题
6、意；故的最大值为9，故选B【点睛】本题将三角函数的单调性与对称性结合在一起进行考查,题目新颖,是一道考查能力的好题.注意本题求解中用到的两个结论：的单调区间长度是最小正周期的一半;若的图像关于直线对称,则或.二多选题9. 下列函数，最小正周期为的偶函数有（ ）A. B. C. D. 【答案】BD【解析】【分析】对选项逐一分析函数的奇偶性和最小正周期，由此选出正确选项.【详解】对于A选项，函数为奇函数，不符合题意.对于B选项，函数是最小正周期为的偶函数，符合题意.对于C选项，函数的最小正周期为，不符合题意.对于D选项，函数，是最小正周期为的偶函数，符合题意.故选：BD【点睛】本小题主要考查三角函
7、数的奇偶性和周期性，属于基础题.10. 已知函数，则和满足（ ）A. B. C. D. 【答案】ABC【解析】【分析】直接代入计算即可判断A；判断的单调性，可得成立,计算的值可判断B；分别计算以及可判断C；直接计算可判断D.【详解】解:选项A:.故A正确;选项B:为增函数，则成立，故B正确;选项C: ，故C正确;选项D:,故D错误.故选：ABC【点睛】本题主要考查了函数解析式以及函数值的计算，考查了学生的计算能力，属于中档题.11. 若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】将指数式化为对数式，利用对数运算，对每个选项进行逐一求解，即可选择.【详解】由，得，则，故正确的
8、有：故选：.【点睛】本题考查指数式和对数式的转化，以及对数的运算，属综合基础题.12. 已知函数，下列是关于函数的零点个数的判断，其中正确的是（ ）A. 当时，有个零点B. 当时，有个零点C. 当时，有个零点D. 当时，有个零点【答案】CD【解析】分析】分别画出当与时的图像,再分析,即的根的情况即可.【详解】当时, 的图像为此时即有两种情况.又有两根也有两根,故有4个零点.当时,的图像为此时即只有一种情况,此时仅有一个零点.故当时,有个零点.当时,有个零点故选CD【点睛】本题主要考查函数的图像与零点的分布问题,需要画出图像进行两次分析即可.属于中等题型.三填空题13. 的内角的对边分别为，已知
9、，则的面积为_【答案】.【解析】【分析】首先利用正弦定理将题中的式子化为，化简求得，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到，可以断定为锐角，从而求得，进一步求得，利用三角形面积公式求得结果.【详解】因为，结合正弦定理可得，可得，因为，结合余弦定理，可得，所以为锐角，且，从而求得，所以的面积为，故答案是.【点睛】本题主要考查余弦定理及正弦定理的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住、等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.14. 已知，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】【分析
10、】根据幂函数的图像和性质，把不等式化为求出解集即可【详解】根据幂函数是定义域上的偶函数，且在上单调递减，等价于，解得或，实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查了幂函数的图像和性质的应用，考查了不等式的解法，属于中档题15. 已知，则_.【答案】【解析】【分析】先平方，再利用1的代换化为齐次式，即可解得结果.【详解】故答案为：【点睛】本题考查同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属基础题.16. 年月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰
11、变而减少”这一规律已知样本中碳的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足（表示碳原有的质量），则经过年后，碳的质量变为原来的_；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳的质量是原来的至，据此推测良渚古城存在的时期距今约在_年到年之间（参考数据：）【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】（1）根据衰变规律，令，代入求得；（2）令，解方程求得即可.【详解】当时， 经过年后，碳的质量变为原来的令，则 良渚古城存在的时期距今约在年到年之间故答案为；【点睛】本题考查根据给定函数模型求解实际问题，考查对于函数模型中变量的理解，属于基础题.四解答题17. 在，三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答.已知
12、的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，_，求的面积S.【答案】答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】若选，首先根据同角三角函数的基本关系求出，再根据两角和的正弦公式求出，由正弦定理求出边，最后由面积公式求出三角形的面积.若选，由正弦定理将角化边结合余弦定理求出边，最后由面积公式求出三角形的面积.若选，由余弦定理求出边，由同角三角函数的基本关系求出，最后由面积公式求出三角形的面积.【详解】解：选，由正弦定理得，.选，由正弦定理得.，.又，.选 ， 由余弦定理得，即，解得或（舍去）.，的面积.故答案为：选为；选为；选为.【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式解三角形，属于基础
13、题.18. 已知函数的定义域为,且对一切,都有,当时,.(1)判断的单调性并加以证明;(2)若,解不等式.【答案】(1)在上增函数,证明见解析;(2).【解析】【分析】（1）利用定义即可证明在上为增函数；（2）由题意可得，进而将不等式转化为，再利用（1）解得即可.【详解】(1)在上为增函数,证明如下:任取,且,则.又因为当时,而,所以,所以,所以在上为增函数.(2)由定义域可得,解得,由已知可得,所以,所求不等式可转化为.由单调性可得,解得,综上,不等式解集为.【点睛】本题考查了函数奇偶性的判定以及应用问题，考查抽象函数解不等式问题，属于基础题.19. 已知函数.（1）求的定义域与最小正周期；
14、（2）讨论在区间上的单调性.【答案】（1）定义域为，最小正周期；（2）函数的减区间为，增区间为.【解析】【分析】（1）根据正切函数的定义域即可求出函数的定义域，化简函数为即可求出周期；（2）根据正弦型函数的单调性求出单调区间，结合定义域即可求出.【详解】（1）.，即函数的定义域为，则，则函数的周期；（2）由，得，即函数的增区间为，当时，增区间为，此时，由，得，即函数的减区间为，当时，减区间为，此时，即在区间上，函数的减区间为，增区间为.【点睛】本题主要考查了正切函数的定义域，正弦型函数的周期，单调区间，考查了三角恒等变形，属于中档题.20. 若二次函数满足且.（1）求的解析式；（2）是否存在实
15、数，使函数的最小值为2？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设，由得，即，代入中，化简整理即可得到值，从而得到函数解析式.（2）由（1）可得,讨论对称轴和区间的关系，利用函数单调性求得最值，即可得到所求的值.【详解】（1）设，由，（2）由（1）可得当时，在上单增，,解得；当时，在上单减，在上单增，解得，又，故.当时，在上单减,，解得，不合题意.综上，存在实数符合题意.【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，考查已知二次函数在区间的最值求参数问题，考查分析能力和计算能力，属于基础题.21. 2020年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽
16、车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本5000万元，生产（百辆），需另投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价8万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（1）求出2020年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（2）2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.【答案】（1）；（2）生产30百辆时，该企业获得利润最大为4000万元.【解析】【分析】（1）直接由题意写出2020年的利润L（x）（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（2）分段利用配方法及基本不等式求最值，取两段函数最大值的最大者得结论【详解】（1）由题意得，（2）当时，；当时，当且仅当时，等号成立，2020年生产30百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润4000万元.【点睛】本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用配方法求最值及利用基本不等式求最值，属于中档题22. 已知函数，其中常数.（1）若在上单调递增，求的取值范围；（2）令，将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，区间（且）满足：在上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】(1)因为，根据题意有(2) ，或，即的零点相离间隔依次为和，故若在上至少含有30个零点，则的最小值为【考点定位】考查三角函数的图象与性质，三角函数图象的平移变换，属中档题
