1、考点规范练15导数与函数的单调性、极值、最值考点规范练A册第9页基础巩固1.(2019河北张家口期末)已知a为实数,f(x)=ax3+3x+2,若f(-1)=-3,则函数f(x)的单调递增区间为()A.(-2,2)B.-22,22C.(0,2)D.-2,22答案:B解析:f(x)=ax3+3x+2,f(x)=3ax2+3.又f(-1)=-3,f(-1)=3a+3=-3,解得a=-2.f(x)=-6x2+3.由f(x)0,得-22x1时,f(x)0,当0x0,因此f(x)有极大值-1.3.已知f(x)=14x2+sin2+x,f(x)为f(x)的导函数,则f(x)的图象是()答案:A解析:f(x
2、)=14x2+sin2+x=14x2+cosx,f(x)=12x-sinx,它是一个奇函数,其图象关于原点对称,故排除B,D.又f(x)=12-cosx,当-3x12,f(x)0,bR)的一个极值点,则ln a与b-1的大小关系是()A.ln ab-1B.ln a0),则g(a)=1a-3=1-3aa,g(a)在区间0,13内递增,在区间13,+内递减,故g(a)max=g13=1-ln30.故lnab-1.5.(2019河北张家口期末)已知函数f(x)=sin x-aln x在区间0,4内单调递增,则实数a的取值范围是.答案:(-,0解析:因为函数f(x)=sinx-alnx在区间0,4内单
3、调递增,所以f(x)=cosx-ax0在区间0,4内恒成立,即axcosx在区间0,4内恒成立.令g(x)=xcosx,则g(x)=cosx-xsinx.因为g(x)=-2sinx-xcosx0,所以g(x)0在区间0,4内恒成立.所以函数g(x)在区间0,4内单调递增,所以g(x)g(0)=0.所以a0.6.(2019河北唐山联考)若函数f(x)=x2-12ln x+1在其定义域内的一个子区间(a-1,a+1)内存在极值,则实数a的取值范围是.答案:1,32解析:由题意,可知函数f(x)的定义域为(0,+),f(x)=2x-12x=4x2-12x,令f(x)=0,得x=12或x=-12(舍去
4、).由已知,得a-10,a-112,解得1a0解得0x1,由g(x)1,即函数g(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,+)内单调递减.当a0时,令g(x)=0,得x=1或x=12a,若12a12,则由g(x)0解得x1或0x12a,由g(x)0解得12ax1,即0a0解得x12a或0x1,由g(x)0解得1x12a,即函数g(x)在区间(0,1),12a,+内单调递增,在区间1,12a内单调递减;若12a=1,即a=12,则在区间(0,+)内恒有g(x)0,即函数g(x)在区间(0,+)内单调递增.综上可得:当a=0时,函数g(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,+)内单调递减
5、;当0a12时,函数g(x)在区间0,12a内单调递增,在区间12a,1内单调递减,在区间(1,+)内单调递增.8.已知函数f(x)=ax2+bx+cex(a0)的导函数y=f(x)的两个零点为-3和0.(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)的极小值为-e3,求f(x)的极大值及f(x)在区间-5,+)内的最大值.解:(1)因为f(x)=ax2+bx+cex,所以f(x)=-ax2+(2a-b)x+b-cex,设g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c.因为a0,所以由题意知:当-3x0,即f(x)0;当x0时,g(x)0,即f(x)5=f(0),所以函数f(x)在区间-5,+)内的最
6、大值是5e5.9.已知函数f(x)=ln ax-x-ax(a0).(1)求函数f(x)的单调区间及最值;(2)求证:对于任意正整数n,均有1+12+13+1nlnenn!(e为自然对数的底数).(1)解由题意f(x)=x-ax2,当a0时,函数f(x)的定义域为(0,+),此时函数f(x)在区间(0,a)内是减函数,在区间(a,+)内是增函数,故fmin(x)=f(a)=lna2,无最大值.当a0时,函数f(x)的定义域为(-,0),此时函数f(x)在区间(-,a)内是减函数,在区间(a,0)内是增函数,故fmin(x)=f(a)=lna2,无最大值.(2)证明取a=1,由(1)知f(x)=l
7、nx-x-1xf(1)=0,故1x1-lnx=lnex,取x=1,2,3,n,则1+12+13+1nlnenn!.10.设函数f(x)=3x2+axex(aR).(1)若f(x)在x=0处取得极值,确定a的值,并求此时曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)若f(x)在区间3,+)内为减函数,求a的取值范围.解:(1)对f(x)求导得f(x)=(6x+a)ex-(3x2+ax)ex(ex)2=-3x2+(6-a)x+aex.因为f(x)在x=0处取得极值,所以f(0)=0,即a=0.当a=0时,f(x)=3x2ex,f(x)=-3x2+6xex,故f(1)=3e,f(1)=3e,
8、从而f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y-3e=3e(x-1),化简得3x-ey=0.(2)由(1)知f(x)=-3x2+(6-a)x+aex.令g(x)=-3x2+(6-a)x+a,由g(x)=0解得x1=6-a-a2+366,x2=6-a+a2+366.当xx1时,g(x)0,即f(x)0,故f(x)为减函数;当x1x0,即f(x)0,故f(x)为增函数;当xx2时,g(x)0,即f(x)0,且当x(0,+)时,2f(x)xf(x)3f(x)恒成立,其中f(x)为f(x)的导函数,则()A.116f(1)f(2)18B.18f(1)f(2)14C.14f(1)f(2)13D.13f(
9、1)f(2)12答案:B解析:令g(x)=f(x)x2,x(0,+),则g(x)=xf(x)-2f(x)x3.x(0,+),2f(x)xf(x)3f(x)恒成立,00,函数g(x)在x(0,+)内单调递增,f(1)10,f(1)f(2)14.令h(x)=f(x)x3,x(0,+),则h(x)=xf(x)-3f(x)x4,x(0,+),2f(x)xf(x)3f(x)恒成立,h(x)=xf(x)-3f(x)x4f(2)8,又f(x)0,18f(1)f(2).综上可得18f(1)f(2)x恒成立,求a的取值范围.(1)证明f(x)=2xlnx-x2-1x(lnx)2=x(lnx)22lnx-x2-1
10、x2(x0,x1).令g(x)=2lnx-x2-1x2,则g(x)=2(x+1)(x-1)x3.当0x1时,g(x)g(1)=0.于是f(x)=x(lnx)2g(x)0,故f(x)在区间(0,1)内为增函数.当x1时,g(x)0,g(x)是增函数,g(x)g(1)=0,于是f(x)=x(lnx)2g(x)0,故f(x)在区间(1,+)内为增函数.(2)解af(x)-x=a(x2-1)lnx-x=xlnxa(x2-1)x-lnx.令h(x)=a(x2-1)x-lnx(x0),则h(x)=ax2-x+ax2.令(x)=ax2-x+a,当a0,且=1-4a20,即a12时,此时(x)=ax2-x+a
11、0在区间(0,1),(1,+)内恒成立,所以当a12时h(x)0,故h(x)区间在(0,1),(1,+)内为增函数,若0x1时,h(x)0;若x1时,h(x)h(1)=0,所以af(x)-x=xlnxh(x)0,所以当x0,x1时都有af(x)x成立,当0a12时,h(x)0,解得1-1-4a22ax1+1-4a22a,所以h(x)在区间1,1+1-4a22a内是减函数,h(x)h(1)=0.故af(x)-x=xlnxh(x)0,不符合题意.当a0时,x(0,1)(1,+),都有h(x)0,故h(x)在区间(0,1),(1,+)内为减函数,同理可知,在区间(0,1),(1,+)内af(x)-x
12、=xlnxh(x)0,不符合题意.综上所述,a的取值范围是a12.14.已知函数f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x.(1)若a=0,证明:当-1x0时,f(x)0时,f(x)0.(2)若x=0是f(x)的极大值点,求a.(1)证明当a=0时,f(x)=(2+x)ln(1+x)-2x,f(x)=ln(1+x)-x1+x,设函数g(x)=f(x)=ln(1+x)-x1+x,则g(x)=x(1+x)2,当-1x0时,g(x)0时,g(x)0.故当x-1时,g(x)g(0)=0,且仅当x=0时,g(x)=0,从而f(x)0,且仅当x=0时,f(x)=0.所以f(x)在(-1,+)单调递增
13、.又f(0)=0,故当-1x0时,f(x)0时,f(x)0.(2)解若a0,由(1)知,当x0时,f(x)(2+x)ln(1+x)-2x0=f(0),这与x=0是f(x)的极大值点矛盾.若a0,设函数h(x)=f(x)2+x+ax2=ln(1+x)-2x2+x+ax2.由于当|x|0,故h(x)与f(x)符号相同.又h(0)=f(0)=0,故x=0是f(x)的极大值点当且仅当x=0是h(x)的极大值点.h(x)=11+x-2(2+x+ax2)-2x(1+2ax)(2+x+ax2)2=x2(a2x2+4ax+6a+1)(x+1)(ax2+x+2)2.如果6a+10,则当0x-6a+14a,且|x
14、|0,故x=0不是h(x)的极大值点.如果6a+10,则a2x2+4ax+6a+1=0存在根x10,故当x(x1,0),且|x|min1,1|a|时,h(x)0;当x(0,1)时,h(x)0,f(x)=2x+1x2-3x=2x3-3x+1x2=2x2(x-1)x-3-12x+3+12,当3-12x1时,f(x)0,当0x1时,f(x)0.f(x)的减区间是3-12,1,增区间是0,3-12和(1,+).(2)若f(x)有两个极值点x1,x2,则需f(x)=2x+1x2+ax=2x3+ax+1x2有两个不相等的正零点.令g(x)=2x3+ax+1(x0),故需g(x)有两个不相等的正零点,则g(
15、x)=6x2+a.当a0时,g(x)0,g(x)不可能有两个不相等的正零点,故f(x)不可能有两个极值点.当a0时,g(x)=6x2+a=6x2-a6=6x+-a6x-a6,当0x-a6时,g(x)-a6时,g(x)0.故g(x)在0,-a6上单调递减,在-a6,+上单调递增.需g(x)min=g-a6=2a3-a6+10,解得a-3342.a3-272-6,a3-272-154,-1a-a60,g(-3a)=-54a3-3a2+1=-3a2(18a+1)+10,故g(x)在区间0,-a6内和-a6,+内各有一个零点,g(x)有两个不相等的正零点,f(x)有两个极值点.综上,a的取值范围是-,-3342.
