1、单元质检十二概率(B)(时间:45分钟满分:100分)单元质检卷第24页一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.若随机变量XB(100,p),X的均值E(X)=24,则p的值是()A.25B.35C.625D.1925答案:C解析:XB(100,p),E(X)=100p.又E(X)=24,24=100p,即p=24100=625.2.两名教师对一篇初评为“优秀”的作文复评,若批改成绩都是两位正整数,且十位数字都是5,则两名教师批改成绩之差的绝对值不超过2的概率为()A.0.44B.0.56C.0.41D.0.39答案:A解析:用(x,y)表示两名教师的批改成绩,则(x,y)的所有
2、可能情况为1010=100(种).当x=50时,y可取50,51,52,共3种可能;当x=51时,y可取50,51,52,53,共4种可能;当x=52,53,54,55,56,57时,y的取法均有5种,共30种可能;当x=58时,y可取56,57,58,59,共4种可能;当x=59时,y可取57,58,59,共3种可能.综上可得,两名教师批改成绩之差的绝对值不超过2的情况有44种.由古典概型概率公式可得,所求概率P=44100=0.44.3.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次,命中率分别为0.6和0.7,在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率为()A.2144B.1522C.2150
3、D.925答案:A解析:(方法一)设“目标被击中”为事件B,“甲、乙同时击中目标”为事件A,则P(A)=0.60.7=0.42,P(B)=0.60.7+0.40.7+0.60.3=0.88,得P(A|B)=P(AB)P(B)=P(A)P(B)=0.420.88=2144.(方法二)记“甲击中目标”为事件A,“乙击中目标”为事件B,“目标被击中”为事件C,则P(C)=1-P(A)P(B)=1-(1-0.6)(1-0.7)=0.88.故在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率为0.60.70.88=2144.故选A.4.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一,它是由五块等腰直角三角形、一块正方形
4、和一块平行四边形共七块板组成的.一个用七巧板拼成的正方形如图所示,若在此正方形中任取一点,则此点取自阴影部分的概率是()A.14B.18C.38D.316答案:B解析:不妨设小正方形的边长为1,则最小的两个等腰直角三角形的边长为1,1,2,左上角的等腰直角三角形的边长为2,2,2,两个最大的等腰直角三角形的边长为2,2,22,即大正方形的边长为22,所以所求概率P=1-122+1+1+228=18.5.(2019河北石家庄一模)设XN(1,2),其正态分布密度曲线如图所示,且P(X3)=0.022 8,那么向正方形OABC中随机投掷20 000个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值为()附:随
5、机变量服从正态分布N(1,2),则P(-+)=0.682 6,P(-2+2)=0.954 4A.12 076B.13 174C.14 056D.7 539答案:B解析:由题意,得P(X-1)=P(X3)=0.0228;P(-1X3)=1-0.02282=0.9544.P(-2+2)=0.9544,1-2=-1,故=1,P(0X1)=12P(0X2)=0.3413,故估计落入阴影部分的点的个数为20000(1-0.3413)=13174,故选B.6.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,D(X)=2.4,P(X=4)P
6、(X=6),则p=()A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3答案:B解析:由题意,得D(X)=np(1-p)=10p(1-p)=2.4,p(1-p)=0.24,由P(X=4)P(X=6)知C104p4(1-p)6(1-p)2,p0.5,p=0.6(其中p=0.4舍去).二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.(2019辽宁庄河高级中学一模)若10件产品包含2件次品,今在其中任取两件,则在已知两件中有一件不是次品的条件下,另一件是次品的概率为.答案:411解析:设事件A=两件中有一件不是次品,事件B=两件中恰有一件是次品,则P(B|A)=P(AB)P(A)=P(B)P(A)=C2
7、1C81C102C82+C21C81C102=411.8.甲、乙等5名志愿者被随机地分到A,B,C,D四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.设随机变量X为这5名志愿者中参加A岗位服务的人数,则X的均值为.答案:54解析:根据题意,5名志愿者被随机分配到A,B,C,D四个不同岗位,每个岗位至少一人,共有C52A44=240(种),而X=1,2,则P(X=1)=C51C42A33240=180240=34,P(X=2)=C52A33240=60240=14,故E(X)=134+214=54.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)根据国家环境空气质量规定:居民区中的PM2.5(
8、PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称可入肺颗粒物)年平均浓度不得超过35微克/立方米,PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据,数据统计如下:组别PM2.5/(微克/立方米)频数/天频率第一组0,15)40.1第二组15,30)120.3第三组30,45)80.2第四组45,60)80.2第五组60,75)40.1第六组75,9040.1(1)写出该样本的众数和中位数(不必写出计算过程);(2)求该样本的平均数,并根据样本估计总体的思想,从PM2.5的年平均浓度考虑,判断该居民
9、区的环境是否需要改进?说明理由;(3)将频率视为概率,监测去年的某2天,记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为,求的分布列及均值E()和方差D().解:(1)众数为22.5微克/立方米,中位数为37.5微克/立方米.(2)去年该居民区PM2.5的年平均浓度为7.50.1+22.50.3+37.50.2+52.50.2+67.50.1+82.50.1=40.5(微克/立方米).40.535,去年该居民区PM2.5的年平均浓度不符合环境空气质量标准,故该居民区的环境需要改进.(3)记事件A表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”,则P(A)=
10、910.随机变量的可能取值为0,1,2,且B2,910.P(=k)=C2k910k1-9102-k(k=0,1,2),即012P11001810081100E()=01100+118100+281100=1.8,或E()=np=2910=1.8,D()=np(1-p)=2910110=0.18.10.(15分)为了解学生寒假期间学习情况,学校对某班男、女学生学习时间进行调查,学习时间按整小时统计,调查结果绘制成折线图如下:女生统计图男生统计图(1)已知该校有400名学生,试估计全校学生中,每天学习不足4小时的人数;(2)若从学习时间不少于4小时的学生中选取4人,设选取的男生人数为X,求随机变量
11、X的分布列及均值E(X);(3)试比较男生学习时间的方差s12与女生学习时间的方差s22的大小.(只需写出结论)解:(1)由折线图可得共抽取了20人,其中男生中学习时间不足4小时的有8人,女生中学习时间不足4小时的有4人.故可估计全校学生中每天学习时间不足4小时的人数为4001220=240.(2)学习时间不少于4小时的学生共8人,其中男生人数为4,故X的所有可能取值为0,1,2,3,4.由题意可得P(X=0)=C44C84=170,P(X=1)=C41C43C84=1670=835,P(X=2)=C42C42C84=3670=1835,P(X=3)=C43C41C84=1670=835,P(
12、X=4)=C44C84=170.所以随机变量X的分布列为X01234P1708351835835170均值E(X)=0170+1835+21835+3835+4170=2.(3)由折线图可得s12s22.11.(15分)(2019全国,理21)为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施
13、以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为和,一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列;(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,pi(i=0,1,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假设=0.5,=0.8.证明:pi+1-pi(i=0,1,2,7)为等比数列;求p4
14、,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.解:(1)X的所有可能取值为-1,0,1.P(X=-1)=(1-),P(X=0)=+(1-)(1-),P(X=1)=(1-).所以X的分布列为X-101P(1-)+(1-)(1-)(1-)(2)证明:由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1.因此pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1,故0.1(pi+1-pi)=0.4(pi-pi-1),即pi+1-pi=4(pi-pi-1).又因为p1-p0=p10,所以pi+1-pi(i=0,1,2,7)为公比为4,首项为p1的等比数列.由可得p8=p8-p7+p7-p6+p1-p0+p0=(p8-p7)+(p7-p6)+(p1-p0)=48-13p1.由于p8=1,故p1=348-1,所以p4=(p4-p3)+(p3-p2)+(p2-p1)+(p1-p0)=44-13p1=1257.p4表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时,认为甲药更有效的概率为p4=12570.0039,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试验方案合理.
