1、类型一三角函数与解三角形类解答题一、利用正、余弦定理求值问题例1(2019课标全国理,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.(1)求A;(2)若2a+b=2c,求sin C.精解精析(1)(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C,sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C,由正弦定理得b2+c2-a2=bc.(2分)由余弦定理得cos A=b2+c2-a22bc=12.0A180,A=60.(4分)(2)解法一:2a+b=2c,由正弦定理得2sin A+sin B=2si
2、n C,由(1)知A=60,B=120-C,*(6分)2sin A+sin(120-C)=2sin C,*即62+32cos C+12sin C=2sin C,(8分)可得cos(C+60)=-22.由于0C120,sin(C+60)=22.(10分)故sin C=sin(C+60-60)=sin(C+60)cos 60-cos(C+60)sin 60=6+24.(12分)解法二:2a+b=2c,由正弦定理得2sin A+sin B=2sin C.(5分)又sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,A=60,232+32cos C+12sin C=2sin C.
3、(6分)整理可得3sin C-6=3cos C,即3sin C-3cos C=23sin(C-30)=6.*(8分)sin(C-30)=22,C=75或165.A=60且A+C180,C=75,(10分)sin C=sin 75=sin(30+45)*=sin 30cos 45+cos 30sin 45=6+24.(12分)答题脉络边角互化整体思想的运用三角形中求角时注意隐含的角的范围边角互化*利用(1)的结果减少变量*利用三角恒等变换化简运用辅助角公式化为一个函数,选余弦的原因是在第一、二象限内余弦函数图象是单调函数充分利用角的范围是三角问题求解的关键用已知角表示所求角是求解三角函数值的常用
4、方法,再利用三角恒等变换求解边角互化利用三角形内角和消去一个变量*运用辅助角公式化为一个函数由三角函数值求角时,一般会出现两种情况根据(1)的结果,及三角形的内角和舍去一种情况是由三角函数值求角的关键*用特殊角表示所求,利用三角恒等变换求值第一步,审题作图.将已知条件标注到图中,观察已知和所求中涉及几个边,几个角.第二步,选择定理.一般地,已知和所求有两边两角时用正弦定理,已知和所求有三边一角时用余弦定理.第三步,边角互化.边角互化是求角或边时常用的方法:1.求角:三角等式是一次式,若是边的等式用正弦定理先边化角,再利用三角恒等变换求解;三角等式是二次齐次式,若是角的等式可以用正弦定理先角化边
5、,再利用余弦定理求解,也可以直接利用三角恒等变换求解.2.求边:通常利用正、余弦定理将角化边,利用三角恒等变换求解.第四步,化简方程.1.利用辅助角公式;2.运用公式:利用同角基本关系式,三角恒等变换公式化简求值;3.变角:若所求角不是特殊角,则可以分解为两个特殊角的和或差.第五步,解方程.利用三角问题的隐含条件:三角形的任一内角都不能超过180,由三角函数值求角,在这个条件下缩小角的范围.(2018课标全国,17,12分)在平面四边形ABCD中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5.(1)求cosADB;(2)若DC=22,求BC.解析(1)在ABD中,由正弦定理得BDsinA=ABs
6、inADB.结合题设知,5sin45=2sinADB,所以sinADB=25.由题设知,ADB90,所以cosADB=1-225=235.(2)由题设及(1)知,cosBDC=sinADB=25.在BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BDDCcosBDC=25+8-252225=25.所以BC=5.二、通过解三角形求范围问题例2(2019课标全国,18,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asinA+C2=bsin A.(1)求B;(2)若ABC为锐角三角形,且c=1,求ABC面积的取值范围.精解精析(1)asin A+C2=bsin A,由正弦定理得sin
7、AsinA+C2=sin Bsin A.(1分)sin A0*,sin A+C2=sin B.由A+B+C=,可得sin A+C2=cosB2.(3分)故cos B2=2sin B2cos B2.*cos B20,sinB2=12.(5分)B(0,),B2=6.B=3.(6分)(2)由(1)及题意知ABC的面积SABC=34a,*由正弦定理得(7分) a=csinAsinC=sin23-CsinC=32tanC+12.*ABC为锐角三角形,A,C0,2,由(1)知A+C=23,6C2,(9分)故12a2,(11分)从而38SABC32.因此,ABC面积的取值范围是38,32.(12分)答题脉络
8、因为要求的是角,所以可利用正弦定理边化角*应用等式的性质化简,注意满足的条件利用内角和定理和诱导公式转化角*利用二倍角公式转化应用等式性质化简由三角函数值求角时要注意角的范围*(1)的结果可以作为(2)的条件*结合已知条件,选择恰当的面积公式是解题的关键*要求面积的范围,可以先求a的范围注意锐角三角形满足条件的应用得到a的范围是解决此问题的核心利用等式的性质得出面积的范围.1.与三角形面积有关的问题主要有两种:一是解三角形求出有关量,利用公式求面积;二是将面积作为已知条件之一,与正弦定理和余弦定理一起求三角形中的其他量.解题时主要应用三角形面积公式S=12absin C=12bcsin A=1
9、2acsin B,此公式既与边长的乘积有关,又与角的三角函数值有关,因此可以将正弦定理和余弦定理综合起来求解问题.2.解与三角形中边角有关的量的取值范围时,主要是利用已知条件和有关定理,将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来,结合三角形边角取值范围等求解即可.注意(1)涉及求范围的问题一定要弄清已知变量的范围,利用已知的范围进行求解,已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化.(2)注意题目中的隐含条件,如A+B+C=,0A,|b-c|a0,cos B=3sin B,tan B=33.由0B3且a2-3a+3+3a2,解得32a2,ABC面积S=32asin 6=34a338,32
10、.三、三角函数综合应用例3(2018北京,16,13分)已知函数f(x)=sin2x+3sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)若f(x)在区间-3,m上的最大值为32,求m的最小值.精解精析(1)由已知, f(x)=12(1-cos 2x)+32sin 2x(2分)=32sin 2x-12cos 2x+12=sin2x-6+12,所以f(x)的最小正周期T=22=.(4分)由(1)及题意得,当f(x)=32时,sin2x-6=1.x-3,m,2x-6-56,2m-6,(8分)结合正弦函数的图象(图略)得2m-62,解得m3,m的最小值为3.(13分)答题脉络化简f(x)求周
11、期正确求出2x-6的取值范围第一步,化简f(x).将函数解析式转化为f(x)=Asin(x+)+b的形式.第二步,求f(x)性质,或已知性质求参数.(2019浙江联考)已知函数f(x)=sin2x+3sin xsinx+2.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求函数的单调增区间;(3)求函数f(x)在区间0,23上的取值范围.解析(1)f(x)=sin2x+3sin xsinx+2=1-cos2x2+32sin 2x=sin2x-6+12,所以f(x)的最小正周期T=.(2)由-2+2k2x-62+2k,kZ,得-6+kx3+k,kZ.所以f(x)的单调递增区间是-6+k,3+k,kZ.(3)由x0,23得2x-6-6,76,所以sin2x-6-12,1,所以f(x)0,32.
