1、第七讲解三角形的综合应用ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理双基自测 知识点一实际问题中的常用术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角方位角的范围是0360方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)度坡角坡面与水平面的夹角设坡角为，坡度为i，则itan 坡度坡面的垂直高度h和水平宽度l的比知识点二实际测量中的常见问题求AB图形需要测量的元素解法求竖直高度底部可达A
2、CBBCa解直角三角形ABatan 底部不可达ACBADBCDa解两个直角三角形AB求水平距离山两侧ACBACbBCa用余弦定理AB河两岸ACBABCCBa用正弦定理AB河对岸ADCBDCBCDACDCDa在ADC中，AC在BDC中，BC在ABC中，应用余弦定理求AB坡度坡面与水平面所成二面角的正切值题组一走出误区1(多选题)下列命题不正确的是(AB)A从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为180B俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为0，C方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系D方位角大小的范围是0,2)，方向角大小的范围一般是0，)题组二走进教材
3、2(必修5P14例5改编)(2020宁夏银川一中月考)如图，设A，B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是m米，BAC，ACB，则A，B两点间的距离为(C)ABCD解析ABC()，由正弦定理得AB，故选C3(必修5P19T4改编)(2020河北唐山一中期中)如下图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于(C)A240(1) mB180(1) mC120(1) mD30(1) m解析设A在地面的射影为O，则OAB907515，ABC105，而BAC753045，ACB3
4、0，AB，AB60() m.在ABC中，由正弦定理得.BC120(1) m.故选C题组三考题再现4(2015湖北)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行使600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD_100_m.解析依题意可知BAC30，ABC105.在ABC中，由ABCBACACB180，所以ACB45，因为AB600 m，由正弦定理可得，即BC300 m在RtBCD中，因为CBD30，BC300m，所以tan 30，所以CD100m.KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考
5、点突破互动探究 考点一三角形的实际应用多维探究角度1测量距离问题例1如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在岸边定一基线CD，现已测出CDa和ACD60，BCD30，BDC105，ADC60，试求AB的长分析欲求AB只需解ABC，因为ACB30，所以需求AC、BC.从而需解ACD、BCD.解析在ACD中，已知CDa，ACD60，ADC60，所以ACa.在BCD中，由BCD30，BDC105知DBC45，由正弦定理可得，BCa.在ABC中，已经求得AC和BC，又因为ACB30，所以利用余弦定理可以求得A、B两点之间的距离为ABa.名师点拨距离问题的常见类型及解法(1)类型：测量距离问题常分
6、为三种类型：山两侧、河两岸、河对岸(2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将实际问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解注意：基线的选取要恰当准确；选取的三角形及正、余弦定理要恰当若图中涉及到多个三角形，则先解可解三角形，借助公共边、公共角再解其它三角形从而求解角度2测量高度问题例2(2020郑州模拟)如图，一栋建筑物AB的高为(3010)米，在该建筑的正东方向有一个通信塔CD，在它们之间的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别是15和60，在楼顶A处测得塔顶C的仰角是30，则
7、通信塔CD的高为_60_米解析在RtABM中，AM20.如图过点A作ANCD于点N，在RtACN中，因为CAN30，所以ACN60.又在RtCMD中，CMD60，所以MCD30，所以ACM30，在AMC中，AMC105，所以，所以AC6020，所以CN3010，所以CDDNCNABCN3010301060.故填60.名师点拨求解高度问题的三个关注点(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是关键(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错
8、(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题易错提醒：解三角形实际问题时注意各个角的含义，根据这些角把需要的三角形的内角表示出来而容易出现的错误是把角的含义弄错，把这些角与要求解的三角形的内角之间的关系弄错角度3角度问题例3如图，在海岸A处发现北偏东45方向，距A处(1)海里的B处有一艘走私船在A处北偏西75方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30方向逃窜问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间分析根据题意在图中标注已知条件，先使用余弦定理求BC，再使用正弦定理求角度解析设缉
9、私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则CD10t海里，BD10t海里，在ABC中，由余弦定理，有BC2AB2AC22ABACcos A(1)2222(1)2cos 1206，解得BC.又，sin ABC，ABC45，故B点在C点的正东方向上，CBD9030120，在BCD中，由正弦定理，得，sin BCD.BCD30，缉私船沿北偏东60的方向行驶又在BCD中，CBD120，BCD30，D30，BDBC，即10t，解得t小时15分钟缉私船应沿北偏东60的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟名师点拨角度问题的解题方法首先应明确方向角的含义，在解应用题时，分析题意，分
10、清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点提醒：方向角是相对于某点而言的，因此确定方向角时，首先要弄清是哪一点的方向角变式训练1(1)(角度1)如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得PAB90，PAQPBAPBQ60，则P，Q两点间的距离为_900_m.(2)(角度2)(2020衡水模拟)如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30，塔底C与A
11、的连线同河岸成15角，小王向前走了600 m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60角，则电视塔CD的高度为_300_m_.(3)(角度3)(2020宜昌模拟)甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60的方向，相距a海里的B处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍，甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏东_30_(填角度)的方向前进解析(1)由已知，得QABPABPAQ30.又PBAPBQ60，AQB30，ABBQ.又PB为公共边，PABPQB，PQPA.在RtPAB中，APABtan 60900，故PQ900，P，Q两点间的距离为900 m.(2)在ACM中，MCA601545，AMC180601
12、20，由正弦定理得，即，解得AC300.在RtACD中，因为tan DAC，所以DCACtan DAC300300(m)(3)设两船在C处相遇，则由题意ABC18060120，且，由正弦定理得，所以sin BAC.又因为0BAC0，0,0)，x4，0的图象且最高点为B(1,4)，在y轴右侧的观光道曲线段是以CO为直径的半圆弧(1)试确定A，和的值；(2)现要在y轴右侧的半圆中修建一条步行道CDO，在点C与半圆弧上的一点D之间设计为直线段(造价为2万元/米)，点D到点O之间设计为沿半圆弧的弧形(造价为1万元/米)设DCO(弧度)，试用来表示修建步行道CDO的造价预算，并求该造价预算的最大值(注：
13、只考虑步行道的长度，不考虑步行道的宽度)解析(1)因为函数图象的最高点为B(1,4)，所以A4，由1(4)3，可得T12.因为T12，所以，所以44sin (1)，所以sin ()1，又00，即g()在(0，)上单调递增；当(，)时，g()0，即g()在(，)上单调递减所以g()在时取得极大值也是最大值6，即修建步行道CDO的造价预算的最大值为(6)万元名师点拨三角形在实际中的应用问题有很多是求距离最短、用时最少、速度最大等最值问题，这需要建立有关量的函数关系式，通过求函数最值的方法来解决函数思想在解三角形实际问题中的应用，经常与正弦定理、余弦定理相结合，此类问题综合性较强，能力要求较高，要有
14、一定的分析问题、解决问题的能力变式训练3某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由解析(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则S.故当t时，Smin10，v30.即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小(2)设小艇与轮船在B处相遇则v2t2400900t222030tcos (9030)，故v2900.0v30，900900，即0，解得t.又t时，v30，故v30时，t取得最小值，且最小值等于.此时，在OAB中，有OAOBAB20.故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/小时