1、浙江省云峰联盟 2022 届高三 10 月联考数学试卷参考答案一、选择题题号12345678910答案CDBCABDCAD二、填空题11、234；12、5，,1；13、5，10；14、41，11；15、2,1；16、3；17、57，5.三解答题：18已知函数2()2cos2 3sin cosf xxxx（1）求3f的值；（2）若11,0,253f，求cos 的值.【答案】(1)2；(2)4 33cos10【详解】解:（1）因为2()2cos2 3sin cos1 cos23sin 21 2sin 26f xxxxxxx ，所以2512sin12sin1 123366f .(7 分)（2）由11
2、,0,253f得34sin,cos6565，4 33coscoscoscossinsin66666610（7 分）下载最新免费模拟卷，到公众号：一枚试卷君19如图，在三棱锥 PABC中，侧面 PAC 是边长 2 的等边三角形，5BABC，点 F在线段 BC 上，且3FCBF，D 为 AC 的中点，E 为的 PD 中点.()求证：EF/平面 PAB；()若二面角 PACB的平面角的大小为 56，求直线 DF 与平面 PAC 所成角的正弦值.【答案】()证明见解析；()3 3737.【详解】解：()取 AD 的中点 M，连接 MF、EM，因为 E 为 PD 的中点，D 为 AC 的中点，所以/EM
3、 PA，3CMAM，又3FCBF，所以/MF AB，因为 EM 面 PAB，FM 面 PAB，,PA AB 面 PAB，所以/EM面 PAB，/FM面 PAB，又 EMFMM，,EM FM 面 EFM，所以面/EFM面 PAB，因为 EF 面 EFM，所以/EF平面 PAB；-6 分）()法一：连接 BD，因为侧面 PAC 是边长 2 的等边三角形，5BABC，所以 BDAC，PDAC，所以PDB为二面角 PACB的平面角，即56PDB，如图建立空间直角坐标系，则0,0,0D，1,0,0A，1,0,0C，330,22P，1 3,04 2F ，-9 分所以1 3,04 2DF，2,0,0CA，3
4、31,22CP，设面 PAC 的法向量为,nx y z，则2033022n CAxn CPxyz，令1y ，则3z，0 x，所以0,1,3n，-12 分设直线 DF 与平面 PAC 所成角为，所以2222313 372sin37133142DF nDFn 故直线 DF 与平面 PAC 所成角的正弦值为 3 3737；-15 分）法二：连接 BD，因为侧面 PAC 是边长 2 的等边三角形，5BABC，所以 BDAC，PDAC，所以PDB为二面角 PACB的平面角，即56PDB，-9 分延长 PD 至Q，则6DBQ，2DB，所以 B 到面 PAC 的距离为 1，又因为 F 是 BC的四等分点，所
5、以点 F 到面 PAC 的距离为 34，三角形 ABC 中可以求出374DF.-13所以直线 DF 与平面 PAC 所成角的正弦值为33 37437374.-15 分20已知数列 nb为等差数列,数列 na满足2lognnba,且451ab.（1）求数列 na nb的通项公式;（2）若数列 nc满足nnnca b,求 nc的前 n 项和nT.【答案】（1）*4,nbnnn,42nna,*nn,（2）33(5)2,(4)(5)582,72(5)8nnnnnTnn【详解】(1)数列 nb为等差数列.42425loglog0,11bab,则*4,nbnnn,422nbnna,*nn,-5 分）(2)
6、4(4)2nnnnca bn,设4(4)2nncn,nT 为数列 nc 的前 n 项和,则有:3214(3)2(2)2(1)2(4)2,(*)nnTn 30212(3)2(2)2(1)2(4)2,(*)nnTn -7 分(*)式(*)式,得:21321433321 2(3)2222(4)2(3)2(4)21 2nnnnnTnn 35(5)28nnTn.-10 分当4n 时,3(5)258nnnTTn ;-12 分当5n 时,33452(5)24(5)2248578nnnnTTTnn,-14 分即33(5)2,(4)(5)582,72(5)8nnnnnTnn-15 分21已知椭圆2222:10
7、xyCabab的左右顶点分别为1A，2A，左右焦点分别为1F，2F，离心率为12，点4,0B，2F 为线段1A B 的中点.（1）求椭圆C 的方程.（2）若过点 B 且斜率不为 0 的直线与椭圆C 的交于 M，N 两点，已知直线1A M 与2A N 相交于点G，试判断点G 是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由.【答案】（1）22143xy；（2）点G 在定直线上，直线为：1x .【详解】（1）点1,0Aa，2,0Fc，由题意可知42ac，即42ac，又因为椭圆的离心率12cea，即2ac，联立方程可得2a，1c ，则2223bac，所以椭圆C 的方程为22143xy.-
8、4 分（2）假设当点 M 为椭圆的上顶点时，直线 MN 的方程为344 30 xy，所以点8 3 3,55N，则联立直线1:322 30A Mlxy和直线2:3 326 30A Nlxy可得点3 31,2G ，同法可求当点 M 为椭圆的下顶点时，3 31,-2G 据此猜想点G 在直线1x 上，-7 分下面对猜想给予证明：设11,M x y，22,N xy，直线 MN 的方程为4yk x联立方程224143yk xxy可得2222343264120kxk xk，0，由韦达定理可得21223234kxxk，2122641234kx xk(*)，-10 分因为直线111:22A Mylyxx，222
9、:22A Nylyxx，联立两直线方程得12122222yyxxxx(其中 x 为G 点的横坐标)即证：1212322yyxx，即 122134242k xxk xx，即证1212410160 x xxx，将(*)代入上式可得22222224641210 32160163203403434kkkkkkk ，-14 分此式明显成立，原命题得证.所以点G 在定直线上1x 上-15 分）22已知函数 3233+3xfxmexxx.（1）若曲线 yf x在 0,0f处的切线斜率为 6，求实数 m 的值；（2）若函数 fx有 3 个不同的零点1x，2x，3x，求实数 m 的取值范围，并证明：1234xx
10、x.【答案】（1）1；（2）2222 10,eee，证明见解析.【详解】（1）对 fx 求导，得 23236xmexxxfx，依题意，660fm ，解得1m .-4 分（2）依题意，,x ，32xfxxmex，令 0fx，得2x 或0 xmex，要使 0fx有三个不等实根，需使0 xmex有两个异于 2 的不等实根，不妨设12xx，32x，令 xg xmex，则 1xgxme，当0m 时，0gx，g x 在,上单调递减，不可能有两个零点，不合题意；当0m 时，令 0gx，得lnxm，当,lnxm 时，0gx，当ln,xm 时，0gx，故 g x 在,ln m 上单调递减，在ln,m 上单调递增
11、，要使0 xmex有两个异于 2 的不等实根，须使 minln1 ln0g xgmm，即10me，此时有 00gm，110gme，12ln2ln0gmmm，由函数零点存在定理知 g x 有两个零点，即1201xx，又(2)0g有22me，实数 m 的取值范围是2222 10,eee.-10 分要证1234xxx，只需证122xx.1x，2x 是0 xmex的两个实根，且1201xx，1212xxxxee，即1212xxxex，有1122ln xxxx.令12xtx ，0,1t，则1ln1ttxt，2ln1txt，0,1t，要证式成立，只需证 lnln211ttttt，0,1t，即证21ln01ttt，0,1t.令 21ln1th ttt，0,1t，则 22101th tt t在()0,1 上恒成立，h t 在()0,1 上单调递增，有 10h th，21ln01ttt，则1234xxx得证.-15 分.（命题人：吴惠 15857511918；李长健 15867772369）
