1、7 向量应用举例考 纲 定 位重 难 突 破1.了解直线法向量的概念2.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题及一些实际问题 3.进一步体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具.重点：向量方法在几何、物理中的应用难点：1.法向量的理解2.平面向量在应用中如何灵活选择表达方式.01 课前 自主梳理02 课堂 合作探究03 课后 巩固提升课时作业 自主梳理1直线的法向量(1)直线 l：axbyc0(a2b20)的一个方向向量是，它的一个法向量是(2)直线 l：ykxb 的一个方向向量是，它的一个法向量是所以，一条直线的法向量有个，它们都是向量(b，a)(a，b)(1，k)(k，1)无
2、数共线2点到直线的距离公式设点 M(x0，y0)为平面内任一点，则点 M 到直线 l：axbyc0(a2b20)的距离d.3两平行线间距离直线 l1：axbyc10 与直线 l2：axbyc20(a2b20 且 c1c2)的距离d.|ax0by0c|a2b2|c1c2|a2b2双基自测1直线 2xy10 的法向量是()A(2，1)B(2,1)C(1,2)D(1,2)解析：由法向量的定义知 A2，B1，一个法向量为(A，B)(2，1)答案：A2在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的对角线 OB 的两端点分别为 O(0,0)，B(1,1)，则AB AC _.解析：如图所示，AB(0,1)，AC(
3、1,1)，AB AC(0,1)(1,1)1.答案：13点 P(1,0)到直线 y3x2 的距离 d_.解析：直线为 3xy20，点 P(1,0)到该直线的距离 d|32|3212 102.答案：102探究一 向量在解析几何中的应用典例 1 已知圆 C：(x3)2(y3)24 及点 A(1,1)，M 是圆 C 上的任意一点，点 N在线段 MA 的延长线上，且MA 2AN，求点 N 的轨迹方程解析 设 M(x0，y0)，N(x，y)，则MA(1x0,1y0)，AN(x1，y1)，由MA 2AN，得1x02x1，1y02y1，x02x3，y02y3.又点 M 在已知圆 C 上，即(x03)2(y03
4、)24，(2x33)2(2y33)24，即 x2y21.适合题意的点的轨迹方程为 x2y21.在用向量法解决与解析几何有关的问题时，要注意正确写出点的坐标，并由已知条件转化为向量坐标，同时在求相关轨迹方程时，要判断是否每个点都符合题意 1已知点 P(0，3)，点 A 在 x 轴上，点 Q 在 y 轴的正半轴上，点 M 满足PAAM 0，AM 32MQ，当点 A 在 x 轴上移动时，求动点 M 的轨迹方程解析：设 M(x，y)，A(a,0)，Q(0，b)(b0)，则PA(a,3)，AM(xa，y)，MQ(x，by)由PAAM 0，得 a(xa)3y0.由AM 32MQ，得(xa，y)32(x，b
5、y)(32x，32(yb)，xa32xy32y32b，ax2by3.把 ax2代入，得x2(xx2)3y0，整理得 y14x2(x0)动点 M 的轨迹方程为 y14x2(x0)探究二 向量在平面几何中的应用典例 2 已知正方形 ABCD 中，E，F 分别是 CD，AD 的中点，BE，CF 交于点 P.求证：(1)BECF；(2)APAB.解析 建立如图所示的平面直角坐标系，设 AB2，则 A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0,1)(1)BE(1,2)，CF(2，1)BE CF(1)(2)2(1)0，BE CF，即 BECF.(2)设点 P 坐标为(x，y)，则FP(x
6、，y1)，FC(2,1)，FPFC，x2(y1)，即 x2y2，同理，则BPBE，得 y2x4，由x2y2，y2x4，得x65，y85，点 P 坐标为65，85.|AP|6528522|AB|，即 APAB.利用向量证明几何问题有两种途径：(1)基向量法：通常先选取一组基底(模及两者之间的夹角已知的向量)，然后将问题中出现的向量用基底表示，再利用向量的运算法则、运算律运算，最后把运算结果还原为几何关系(2)坐标法：利用平面向量的坐标表示，可以将平面几何中长度、垂直、平行等问题很容易地转化为代数运算的问题，运用此种方法必须建立适当的坐标系，实现向量的坐标化2已知 RtABC，C90，设 ACm，
7、BCn.(1)若 D 为斜边 AB 的中点，求证：CD12AB；(2)若 E 为 CD 的中点，连接 AE 并延长交 BC 于 F.求 AF 的长度(用 m，n 表示)解析：以 C 为坐标原点，以边 CB，CA 所在的直线为 x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则 A(0，m)，B(n,0)(1)D 为 AB 的中点，D(n2，m2)，|CD|12 n2m2，|AB|m2n2.|CD|12|AB|，即 CD12AB.(2)E 为 CD 的中点，E(n4，m4)设 F(x,0)，则AE(n4，34m)，AF(x，m)A、E、F 共线，AF AE，即(x，m)(n4，34m)，xn4，m
8、34m，即 xn3，即 F(n3，0)，AF(n3，m)|AF|13n29m2.探究三 向量在物理中的应用典例 3 在日常生活中，有时要用两根同样长的绳子挂一个物体，如图所示，如果绳子能承受的最大拉力为 F，物体受到的重力为 G，两绳子之间的夹角为(0，)(1)求绳子受到的拉力 F1；(2)当 逐渐增大时，|F1|的大小怎样变化，为什么？(3)为何值时，|F1|最小？(4)已知|F|500 N，|G|500 3 N，为使绳子不会断，试求 的取值范围？解析(1)由题意，得|F1|cos 2|F2|cos 2|G|，且|F1|F2|，所以|F1|G|2cos 2.(2)由 0，)，得20，2)，c
9、os 2(0,1，当 逐渐增大时，cos 2逐渐减小，则|G|2cos 2逐渐增大，即|F1|增大，所以当角度 增大时，|F1|也增大(3)由(2)，知当 最小时，|F1|最小，故当 0 时，|F1|最小，且最小值为|F1|G|2.(4)因为|F1|G|2cos 2|F|，所以 cos 2|G|2|F|500 32500 32.又由20，2)，得20，6，故 0，31用向量解决物理问题首先要建立数学模型，把物理问题转化为数学问题，其次要注意物理中的矢量与数学中向量的区别与联系 2速度、加速度、位移、力的合成和分解，实质上就是向量的加减法运算，求解时常用向量求和的平行四边形法则和三角形法则 3在
10、数学中，向量数量积的运算是由物理中力对物体所做的功抽象出来的，这也是向量在物理中的主要应用之一 3.如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度 d500 m，一艘船从 A 点出发航行到河对岸，船航行速度的大小为|v1|10 km/h，水流速度的大小为|v2|4 km/h，设 v1 和 v2 的夹角为(0180)(1)当 cos 多大时，船能垂直到达对岸？(2)当船垂直到达对岸时，航行所需时间是否最短？为什么？解析：(1)船垂直到达对岸，即 vv1v2 与 v2 垂直，即(v1v2)v20.所以 v1v2v220，即|v1|v2|cos|v2|20.所以 40 cos 160，解得 cos 25.(2
11、)设船航行到对岸所需的时间为 t，则 td|v1|sin 0.510sin 120sin.故当 90时，船的航行时间最短，而当船垂直到达对岸，所需时间并不是最短向量在几何应用中的误区典例 在ABC 中，已知向量AB 与AC 满足AB|AB|AC|AC|BC 0 且 AB AC|AB|AC|12，则ABC 的形状为_解析 因为向量 AB|AB|，AC|AC|分别表示与向量AB，AC 同向的单位向量，所以以 AB|AB|，AC|AC|为邻边的平行四边形是菱形根据平行四边形法则作AD AB|AB|AC|AC|(如图所示)，则 AD 是BAC 的平分线因为非零向量满足AB|AB|AC|AC|BC 0，
12、所以BAC 的平分线 AD 垂直于 BC，所以 ABAC，又 cosBACAB AC|AB|AC|12，且BAC(0，)，所以BAC3，所以ABC 为等边三角形答案 等边三角形错因与防范(1)解答本题常会给出错误的答案为“直角三角形”，原因在于未能正确分析挖掘题设中的条件，直接根据数量积为零，就判断ABC 为直角三角形(2)为杜绝上述可能发生的错误，应该：注意知识的积累向量线性运算和数量积的几何意义是解决向量问题的依据，如本例中 AB|AB|，AC|AC|的含义，邻边相等的平行四边形是菱形，菱形的对角线平分对角树立数形结合意识推导图形的形状时要以题目条件为依据全面进行推导，回答应力求准确，如本
13、例求解时，以图形辅助解题，较为形象直观随堂训练 1已知作用在点 A 的三个力 F1(3,4)，F2(2，5)，F3(3,1)且 A(1,1)，则合力 FF1F2F3 的终点坐标为()A(9,1)B(1,9)C(9,0)D(0,9)解析：FF1F2F3(8,0)，又起点坐标为 A(1,1)，终点坐标为(9,1)答案：A2平面上有四个互不相同的点 A，B，C，D，已知(DB DC 2DA)(AB AC)0，则ABC 的形状是()A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D无法确定解析：由(DB DC 2DA)(AB AC)0，得(DB DA)(DC DA)(AB AC)0，所以(AB AC)(AB
14、AC)0，所以|AB|2|AC|20，所以|AB|AC|，故ABC 是等腰三角形答案：B3若直线 l 的方向向量 a(3,4)，且已知 l 过定点 P(2，1)，则直线 l 的方程为_解析：方向向量 a(3,4)，k43.方程为 y143(x2)，即 4x3y110.答案：4x3y1104如图，已知 O 为坐标原点，向量OA(3cos x,3sin x)，OB(3cos x，sin x)，OC(3，0)，x(0，2)(1)求证：(OA OB)OC；(2)若ABC 是等腰三角形，求 x 的值解析：(1)证明：OA OB(0,2sin x)，(OA OB)OC 0 32sin x00，(OA OB)OC.(2)若ABC 是等腰三角形，则 ABBC，(2sin x)2(3cos x 3)2sin2x，即 2cos2x 3cos x0，解得 cos x0 或 cos x 32，x(0，2)，cos x 32，x6.课时作业
