1、-1-3 微积分-2-3 微积分 YU XIDAO YIN预习导引 H U DONG KE TANG互动课堂 激趣诱思 新知预习 牛顿(Isaac Newton,16421727),英国物理学家、数学家、天文学家,经典物理学理论体系的建立者.生平 1642 年出生于英格兰林肯郡伍尔索普村的一个农民家庭,1727 年卒于伦敦.中学时爱读书,对自然现象有强烈的好奇心,但学习成绩并不出众.1661 年以减费生的身份进入剑桥大学三一学院.在名师 I.巴罗的教导下,牛顿学习了算术、三角、欧几里得的原本,读了 J.开普勒的光学、笛卡儿的几何学和哲学原理、伽利略的两大世界体系对话、R.胡克的显微图集及早期的
2、哲学学报等.-3-3 微积分 YU XIDAO YIN预习导引 H U DONG KE TANG互动课堂 激趣诱思 新知预习 1665 年伦敦大疫,学校停课,牛顿返回故乡.在家乡居住的两年中,牛顿创立了级数近似法以及一般的二项式展开定理,创立了微分(正流数术)法,研究了颜色理论和积分(反流数术)法,因此他成为微积分发明人之一.牛顿还开始研究重力问题,并把重力理论推广到月球的运行轨道上去.这两年是牛顿一生的重大科学思想孕育、萌发和形成的时期.1667 年,牛顿重返剑桥上学.1668 年 3 月 1 日选为三一学院的正院侣.1669 年 3 月 16 日接替巴罗教授,任卢卡斯讲座教授.写下了光学讲
3、稿、算术和代数讲稿、自然哲学的数学原理(简称原理)的一部分及宇宙体系等手稿.1672 年选为皇家学会会员,1703 年为该学会主席.1699 年任造币厂厂长,对英国造币及改革币制有功.1705 年封为爵士.1715 年,牛顿已经 73 岁的高龄,在和莱布尼茨为微积分发明权争论的时候,他接受对方解一道数学难题的挑战.经过造币厂工作一天的劳累,牛顿在睡觉以前解出了这道难题,找到了寻求与已知曲线族正交的曲线族的一般方法.晚年研究宗教.牛顿逝世后,以国葬礼葬于伦敦威斯特敏斯特教堂.-4-3 微积分 YU XIDAO YIN预习导引 H U DONG KE TANG互动课堂 激趣诱思 新知预习 1.微积
4、分学是微分学和积分学的总称.它是一种数学思想,“无限细分”就是微分,“无限求和”就是积分.17 世纪后半叶,在许多数学家工作的基础上,牛顿和莱布尼茨分别独立地创立了微积分学.2.从牛顿的读书笔记可以看出,就数学思想的形成而言,笛卡儿的几何学和沃利斯的无穷算数对他影响最深,正是这两部著作引导牛顿走上了创立微积分的道路.3.1664 年秋,牛顿开始研究微积分问题.1665 年 11 月发明“正流数术”(微分法),次年 5 月又建立了“反流数术”(积分法).1666 年 10月,牛顿将前两年的研究成果整理成一篇总结性论文,现在称为流数简论.这是历史上第一篇系统的微积分文献.-5-3 微积分 YU X
5、IDAO YIN预习导引 H U DONG KE TANG互动课堂 激趣诱思 新知预习 4.牛顿在他的微积分文献流数简论中以速度形式引进了“流数”(微商)的概念,提出了微积分的基本问题,建立了“微积分基本定理”.微积分基本定理揭示了“导数和积分之间的内在联系”.5.1687 年,牛顿出版了他的力学名著自然哲学的数学原理,在这本书中最早表述了牛顿创立的微积分学说,使得该书成为数学史上的划时代著作.-6-3 微积分 YU XI DAO YIN预习导引 H U DONG KE TANG互动课堂 一 二 三 重难点拨 思悟升华 一、微积分创立的历史背景【例 1】结合史料,谈谈微积分创立的时代背景和历史
6、意义.答案:微积分作为变量数学的开端,诞生于 17 世纪下半叶,绝不是偶然的,确有其历史的必然性.经历了文艺复兴运动的欧洲,社会生产力得到空前的解放和提高.大量的实际问题推动着力学、天文学的发展.例如,航海事业需要确定船只在大海中的位置,就要求精确地测定地球的经纬度和制造准确的时钟,于是促进了对天体运动的深入研究;船舶的改进,必须探讨流体以及物体在流体中的运动规律;而在战争中,要求炮弹打得准确,则导致弹道学或抛物体运动的研究.人们从大量这类课题的研究中,总结出力学的一些基本规律,诸如:开普勒关于行星运动的定律;伽利略提出落体定律和惯性定律;牛顿总结出力学运动三大定律等.-7-3 微积分 YU
7、XI DAO YIN预习导引 H U DONG KE TANG互动课堂 一 二 三 重难点拨 思悟升华 在各种各样力学运动的研究中,最基本的核心问题有两个:一是已知路程求速度;一是已知速度求路程.在等速运动的情况下,只用初等数学就可以解决这两个问题:速度=路程时间;路程=速度时间.但是,17 世纪人们面对着种种变速运动,初等数学就无能为力了.速度成为变量,初等数学或常量数学无法描述变速运动中时间、位置和速度之间的复杂关系,这一矛盾要求数学研究突破常量的传统范围,寻求能够描述和研究变速运动的新工具变量数学.微积分就是变量数学的基础内容.-8-3 微积分 YU XI DAO YIN预习导引 H U
8、 DONG KE TANG互动课堂 一 二 三 重难点拨 思悟升华 微积分创立的历史意义:提供了定量处理与运动、变化等有关的多种现实问题的强有力方法;解析几何与微积分的建立,标志着数学由初等数学(常量数学)时期向变量数学时期的重要转变;以极限方法为主要特征的微积分方法蕴含着基本却又十分重要的数学思想;微积分的建立,开辟了全新的、广阔的数学领域,其后数学分析大厦逐步建立;微积分的建立,使得数学的基本格局发生了变化,在这之前,数学主要有代数(包括算术)与几何两大领域,而微积分的建立,形成了代数、几何与分析三足鼎立的局面.-9-3 微积分 YU XI DAO YIN预习导引 H U DONG KE
9、TANG互动课堂 一 二 三 重难点拨 思悟升华 牛顿与莱布尼茨是怎样发明微积分的,是灵感在一夜之间的闪现还是前人长期努力的结晶?结合史料加以说明.答案:从微积分成为一门学科来说,是在 17 世纪.但是,微分和积分的思想在古代就已经产生了.公元前 3 世纪,古希腊的阿基米德在研究解决抛物线弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中,就隐含着近代积分学的思想.作为微分学基础的极限理论来说,早在古代已有比较清楚的论述.比如我国的庄周所著的庄子一书的“天下篇”中,记有“一尺之棰,日取其半,万世不竭”.刘徽在他的“割圆术”中提到“割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆周
10、合体而无所失矣.”这些都是朴素的、也是很典型的极限的思想.-10-3 微积分 YU XI DAO YIN预习导引 H U DONG KE TANG互动课堂 一 二 三 重难点拨 思悟升华 到了17世纪,有许多科学问题需要解决,这些问题也就成了促使微积分产生的要素.归结起来,大约有四种主要类型的问题:第一类是研究运动的时候直接出现的,也就是求即时速度的问题.第二类问题是求曲线切线的问题.第三类问题是求函数的最大值和最小值问题.第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力等求积问题.17 世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为
11、解决上述几类问题做了大量的研究工作,如法国的费马、笛卡儿、罗伯瓦、笛沙格;英国的巴罗、瓦里士;德国的开普勒;意大利的卡瓦列里等人都提出许多很有建树的理论.为微积分的创立作出了贡献.-11-3 微积分 YU XI DAO YIN预习导引 H U DONG KE TANG互动课堂 一 二 三 重难点拨 思悟升华 17 世纪下半叶,在前人工作的基础上,英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作,虽然这只是十分初步的工作.他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起,一个是切线问题(微分学的中心问题),一个是求积问题(积分学的中心问题).牛顿和莱布尼茨建
12、立微积分的出发点是直观的无穷小量,因此这门学科早期也称为无穷小分析,这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源.牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑,莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的.-12-3 微积分 YU XI DAO YIN预习导引 H U DONG KE TANG互动课堂 一 二 三 重难点拨 思悟升华 牛顿在 1671 年写了流数法与无穷级数,这本书直到 1736年才出版,它在这本书里指出,变量是由点、线、面的连续运动产生的,否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合.他把连续变量叫做流动量,把这些流动量的导数叫做流数.牛顿在流数术中所提出的中心问题是:已知连续运动的路径,求给定时
13、刻的速度(微分法);已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法).-13-3 微积分 YU XI DAO YIN预习导引 H U DONG KE TANG互动课堂 一 二 三 重难点拨 思悟升华 1684 年,莱布尼茨发表了世界上最早公开发表的关于微分学的文献,这篇文章有一个很长而且很古怪的名字一种求极大值极小值和切线的新方法,它也适用于分式和无理量,以及这种新方法的奇妙类型的计算.就是这样一篇说理也颇含糊的文章,却有划时代的意义,它已含有现代的微分符号和基本微分法则.1686 年,莱布尼茨发表了第一篇积分学的论文.莱布尼茨是历史上最伟大的符号学者之一,他所创设的微积分符号,远远优于牛顿的符
14、号,这对微积分的发展有极大的影响.现在我们使用的微积分通用符号就是莱布尼茨当时精心选用的.微积分的创立,极大地推动了数学的发展,过去很多初等数学束手无策的问题,运用微积分往往迎刃而解,显示出微积分的非凡威力.由此可见,一门科学的创立绝不是某一个人的业绩,它必定是经过多少人的努力后,在积累了大量成果的基础上,最后由某个人或几个人总结完成的,微积分也是这样.-14-3 微积分 YU XI DAO YIN预习导引 H U DONG KE TANG互动课堂 一 二 三 重难点拨 思悟升华 二、微积分基本定理及其应用【例 2】牛顿在流数简论中提出了微积分的基本问题,并在此基础上建立了微积分基本定理.几乎
15、与此同时,德国数学家莱布尼茨在其数学笔记中,创立了积分符号 和微分符号 dy,dx,并明确指出了积分和微分是互逆过程.因而,后人把微积分基本定理也称作“牛顿莱布尼茨定理”.微积分基本定理揭示了导数和积分之间的内在联系,同时它也提供了计算积分的一种有效方法.根据你对微积分理论的理解,解决下面的问题:一物体做变速直线运动,其速度函数图像如图所示,求该物体在126 s 间的运动路程.-15-3 微积分 YU XI DAO YIN预习导引 H U DONG KE TANG互动课堂 一 二 三 重难点拨 思悟升华 答案:根据定积分的意义可知,若已知做变速直线运动物体的 vt 函数,则物体在时间区间t1,
16、t2内的路程 s=12v(t)dt,其中 v(t)0.由题图可知v(t)=2,0,1,2,1,3,13 t+1,t3,6.由变速直线运动的路程公式,可得s=126v(t)dt=1212tdt+132dt+36 13 t+1 dt=t2|121+2t|13+16 2+t|36=12.25(m),即物体在126 s 间的运动路程为 12.25 m.-16-3 微积分 YU XI DAO YIN预习导引 H U DONG KE TANG互动课堂 一 二 三 重难点拨 思悟升华 自地面垂直向上发射火箭,已知火箭的质量为 m.求:(1)当火箭距离地面的高度为 h 时,火箭克服重力所做的功;(2)当火箭距
17、离地面的高度 h+时,求火箭克服重力做功的极限.要做到这点,火箭的初速度应为多少?-17-3 微积分 YU XI DAO YIN预习导引 H U DONG KE TANG互动课堂 一 二 三 重难点拨 思悟升华 答案:(1)根据万有引力定律,当火箭距离地面的高度为 x 时,引力f(x)=G(+)2,其中 M,R 分别为地球的质量和半径,G 为万有引力常数.于是火箭所做的功为W=0f(x)dx=0G(+)2dx=GMm 0(R+x)-2dx=-GMm(R+x)-1|0=GMm 1-1+,当 x=0 时,f(x)=mg,因此 G2=mg,即 GM=R2g.故 W=mgR2 1-1+.-18-3 微
18、积分 YU XI DAO YIN预习导引 H U DONG KE TANG互动课堂 一 二 三 重难点拨 思悟升华(2)limW=limmgR2 1-1+=mgR.由于所做的功是由最初火箭的动能转化而来,故 mgR=12 02,从而有 v0=2.将 g=9.8(m/s2),R=6.37106(m)代入,得v0=1.12104(m/s),这就是第二宇宙速度.-19-3 微积分 YU XI DAO YIN预习导引 H U DONG KE TANG互动课堂 一 二 三 重难点拨 思悟升华 三、微积分在实际问题中的应用微积分的发展与应用几乎影响了现代生活的所有领域.它与大部分科学分支,特别是物理学,关
19、系密切,而经济学亦经常会用到微积分.几乎所有现代技术,如建筑、航空等都以微积分作为基本数学工具.下面就举例说明微积分在实际问题中的应用.【例 3】(1)统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量 y(L)关于行驶速度 x(km/h)的函数解析式可以表示为y=1128 000 x3-380 x+8(0 x120).已知甲、乙两地相距 100 km,当汽车以 40 km/h 的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?-20-3 微积分 YU XI DAO YIN预习导引 H U DONG KE TANG互动课堂 一 二 三
20、重难点拨 思悟升华 答案:当 x=40 时,汽车从甲地到乙地行驶了10040=2.5 h,要耗油 1128 000 403-380 40+8 2.5=17.5(L),即当汽车以 40 km/h 的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油 17.5L.当速度为x km/h时,汽车从甲地到乙地行驶了100h,设耗油量为 h(x)L,依题意得 h(x)=1128 0003-380 x+8 100=11 280 x2+800 154(0 x120).h(x)=640 8002=3-8036402(0 x120).令 h(x)=0,得 x=80.-21-3 微积分 YU XI DAO YIN预习导引 H U D
21、ONG KE TANG互动课堂 一 二 三 重难点拨 思悟升华 当 x(0,80)时,h(x)0,h(x)是增函数.所以当 x=80 时,h(x)取到极小值 h(80)=11.25.因为 h(x)在(0,120上只有一个极值,所以它是最小值,即当汽车以 80 km/h 的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为 11.25L.-22-3 微积分 YU XI DAO YIN预习导引 H U DONG KE TANG互动课堂 一 二 三 重难点拨 思悟升华(2)如图,一桥拱的形状为抛物线,已知该抛物线拱的高为常数h,宽为常数 b,求证:抛物线拱的面积 S=23bh.-23-3 微积分 YU X
22、I DAO YIN预习导引 H U DONG KE TANG互动课堂 一 二 三 重难点拨 思悟升华 证明:如图建立平面直角坐标系,可设抛物线方程为 y=-ax2(a0),将抛物线上一点 2,-h 代入方程,则有-h=-a 2 2,解得 a=42,所以该抛物线的方程为 y=-42x2.设抛物线拱一半的面积为 s,则有S=2s=2 20-42 2 d 2 h+x=2 2 h+-432 3|02 =23bh.-24-3 微积分 YU XI DAO YIN预习导引 H U DONG KE TANG互动课堂 一 二 三 重难点拨 思悟升华 某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量 x(吨)与每吨产品的
23、价格 p(元/吨)之间的关系式为 p=24 200-15x2,且生产 x 吨的成本为R=50 000+200 x(元).问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大?最大利润是多少?(利润=收入-成本)-25-3 微积分 YU XI DAO YIN预习导引 H U DONG KE TANG互动课堂 一 二 三 重难点拨 思悟升华 答案:每月生产 x 吨时的利润为f(x)=24 200-15 2 x-(50 000+200 x)=-15x3+24 000 x-50 000(x0),由 f(x)=-35x2+24 000=0,解得 x=200 或 x=-200(舍去).因 f(x)在0,+)内只有一
24、个点 x=200 使 f(x)=0,故它就是最大值点,且最大值为f(200)=-152003+24 000200-50 000=3 150 000(元).故每月生产 200 吨产品时利润达到最大,最大利润为 315 万元.-26-3 微积分 YU XI DAO YIN预习导引 H U DONG KE TANG互动课堂 重难点拨 思悟升华 微积分是数学的一个基础学科,内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用.微积分是一种数学思想,“无限细分”就是微分,“无限求和”就是积分.17 世纪后半叶,牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过的准备工作,分别独立地建立了微积分学.微分学主要研究的是在函数自变量变化时如何确定函数值的瞬时变化率(或微分).换言之,计算导数的方法就叫微分学.微分学的另一个计算方法是牛顿法,该算法又叫应用几何法,主要通过函数曲线的切线来寻找点斜率.积分学是微分学的逆运算,即从导数推算出原函数,它为定义和计算面积、体积等提供了一套通用的方法.
