1、 我们已经学习了空间向量，下列几个问题是怎么定义的吗？(1)什么叫向量？(2)什么是向量的长度(或模)?(3)什么叫零向量、单位向量、相反向量、相等向量？(4)向量的表示方法有哪些？复习回顾:思考:在空间中，上述问题又是如何定义的呢？1空间向量定义 在空间，把具有和的量叫做空间向量长度 向量的叫做向量的长度或.表示法几何表示法空间向量用表示字母表示法大小方向大小有向线段模用一个字母表示，如图，此向量的起点是 A，终点是 B，可记作 a，也可记作AB，其模记为|a|或|AB|.2.几类特殊向量(1)零向量：的向量叫做零向量，记为0.(2)单位向量：的向量称为单位向量(3)相等向量：方向且模的向量
2、称为相等向量在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量(4)相反向量：与向量a长度而方向的向量，称为a的相反向量，记为a.长度为0模为1相同相等相等相反复习回顾平面向量的加减运算及其运算律1.平面向量的加法法则：三角形法则或平行四边形法则2.减法法则：方向指向被减向量。abOABOABC3平面向量的运算律：交换律结合律abba)()(cbacba问题1：对于两个向量来说空间向量和平面向量有没有区别？平面向量可在同一平面内平移，而空间向量也可在空间中平移。平移后的向量与原向量是同一向量。由此得出：空间任意两个向量都可转化为共面向量。还能得到什么结论？换句话说空间任意两个向量的加减运算.?
3、对于任意的空间中的两个向量，平面向量的结论都适用 这样我们就能够定义空间向量的加法和减法运算 3空间向量的加减法与运算律空间向量的加减法类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：OB OA AB；CAOA OC.加法运算律(1)交换律：ab；(2)结合律：(ab)c.ababba(ac)b1.如图所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，ABa，AD b，AA1 c，则D1B 等于()Aabc BabcCabcDabc解析：D1B D1D DA ABcba.答案：C4.如图所示，已知平行六面体 ABCDABCD，化简下列表达式(1)ABBB DADD BC；(2)AC ACAD
4、 AA.解析：(1)AB BB DADD BC AB BB ADDD BCAB(BB DD)(ADBC)AB.(2)AC AC AD AA CC AD DDAD AD.给出下列命题：两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；若空间向量 a，b 满足|a|b|，则 ab；在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，必有ACA1C1；若空间向量 m，n，p 满足 mn，np，则 mp；空间中任意两个单位向量必相等其中不正确的命题的个数是()A1 B2C3D4 解题过程 题号正误原因分析当两向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个向量相等不一定起点相同，终点相同向量相等的定义，模相等
5、，而且方向相同由向量平行(共线)的性质可知空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，向量AC 与A1C1方向相同，模也相等，必有AC A1C1答案：C1.下列说法中正确的是()A若|a|b|，则 a、b 的长度相同，方向相同或相反B若向量 a 是向量 b 的相反向量，则|a|b|C空间向量的减法满足结合律D在四边形 ABCD 中，一定有ABAD AC答案：B如图所示，已知长方体 ABCDA1B1C1D1，化简下列向量表达式：(1)AA1 CB；(2)AB1 B1C1 C1D1；(3)12 AD 12 AB12A1A.解题过程(1)A
6、A1 CB AA1 BC AA1 A1D1 AD1.(2)AB1 B1C1 C1D1 AD1.(3)设 M 是线段 AC1 的中点，则12AD 12AB12A1A 12AD 12AB12AA112(AD ABAA1)12AC1.题后感悟 如何化简向量表达式？(1)化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则进行化简(2)在化简过程中遇到减法时，可灵活应用相反向量转化成加法，也可按减法法则进行运算，加减法之间可以相互转化(3)化简中常用的化简形式为ABBC AC，ABAC CB.2.已知空间四边形 ABCD，点 M、N 分别是边 AB、CD的中点，化简ACAD AB.解析：如图所示，因为点
7、 M、N 分别是边 AB、CD 的中点，所以ACAD AB2AN2AM2MN.证明平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处相互平分 规范作答 证明：如图所示，平行六面体ABCDABCD，设点O是AC的中点，则AO 12AC 12(ABAD AA).设 P、M、N 分别是 BD、CA、DB的中点则APABBPAB12BDAB12(BABCBB)AB12(ABAD AA)12(ABAD AA).同理可证：AM 12(ABAD AA)，AN12(ABAD AA).由此可知 O，P，M，N 四点重合故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平分.题后感悟 利用向量解决立体几何中的问题的一般思路：1
8、空间向量与平面向量的关系空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量如图所示，已知空间向量 a，b，我们可以在任意平面 内，以任意点 O 为起点，作向量OA a，OB b.2空间向量加法运算的理解(1)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量因此，求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量(2)若首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则这些向量的和为0.(3)两个向量相加的三角形法则、平行四边形法则在空间中仍成立3熟练应用三角形法则和平行四边形法则(1)利用三角形法则进行加法运算时，注意“首尾相连”和向量的方向是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点进行减法运算时，注意“共起点”，差向量的方向是从减向量的终点指向被减向量的终点(2)平行四边形法则一般用来进行向量的加法运算注意：平行四边形的两条对角线所表示的向量恰为两邻边表示向量的和与差(3)三角形法则也可推广为多边形法则：即在空间中，把有限个向量顺次首尾相连，则从第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量即表示这有限个向量的和向量 提醒 空间向量的概念与运算法则同平面向量完全一致
