1、1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系第1课时 空间向量的坐标 必备知识自主学习1.空间中向量的坐标在空间向量的基底e1，e2，e3中单位正 交基底若e1，e2，e3都是_，而且这三个向量_，就称这组基底为单位正交基底单位正 交分解在_下向量的分解称为向量的单位正交分解向量p 的坐标若向量p可单位正交分解为pxe1ye2ze3，则称有序实数组_为向量p的坐标，记作：p_坐标分量向量p的坐标中，_都称为p的坐标分量单位向量两两垂直单位正交基底（x，y，z）（x，y，z）x，y，z零向量的坐标如何表示？提示：0()0，0，0.2空间向量的运算与坐标的关系若 a()x1，y1，z1，b()x2，
2、y2，z2，u，vR.线性运算uavb()ux1vx2，uy1vy2，uz1vz2数量积运算abx1x2y1y2z1z2模长公式|a aa x21 y21 z21夹角公式cos a，b ab|a|b121212222222111222x xy yz zxyzxyz若a()x1，y1，z1，b()x2，y2，z2，则ab如何计算？提示：ab()x1x2，y1y2，z1z2.3空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直若a()x1，y1，z1，b()x2，y2，z2a0时 ab b=a()x2，y2，z2()x1，y1，z1 x2x1y2y1z2z1 平行 a的每个坐标分量都不为零时 ab x2x1 y
3、2y1 z2z1 垂直 ab ab=0 x1x2+y1y2+z1z2=0 当a或b为零向量时，垂直的充要条件还成立吗？提示：仍然成立1辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)若axe1ye2ze3，则a的坐标一定是(x，y，z).()(2)设a(a1，a2，a3)，则a(a1，a2，a3).()(3)若a(2，0，1)，b(2，3，0)，则ab.()提示：(1).不一定，当e1，e2，e3是单位正交基底时，坐标是(x，y，z)，否则不是(2).由空间向量的线性运算法则可知(3).因为ab40，故两向量不垂直2(教材例题改编)已知向量a(1，1，2)及b(4，2，0)，则ab等于()A(3，1
4、，2)B(5，5，2)C(3，1，2)D(5，5，2)【解析】选A.由向量a(1，1，2)，b(4，2，0)，所以ab(3，1，2).3已知a(0，3，3)，b(1，1，0)，则两向量的夹角等于_.【解析】因为ab3，|a 3 2，|b 2，于是cos a，b33 2 2 12，故夹角为60.答案：60 关键能力合作学习类型一 空间中向量的坐标及运算(数学运算)1.已知e1，e2，e3是单位正交基底，下列说法正确的是()A若p2e1e23e3，则p(2，1，3)B若qe12e2，则q(1，2)C若re13e2e3，则r(1，3，1)D若s3e2，则s(0，0，3)2若a(2，3，1)，b(2，
5、0，3)，c(0，2，2)，则a(bc)的值为()A4 B15 C3 D73已知向量a(3，2，5)，b(1，x，1)，且ab2，则x的值为()A3 B4 C5 D6【解析】1.选C.由空间中向量的坐标的概念可知，p(2，1，3)，q(1，2，0)，r(1，3，1)，s(0，3，0).2选C.因为bc(2，2，5)，所以a(bc)4653.3选C.因为ab312x5(1)2，所以x5.关于空间向量坐标运算的两类问题(1)直接计算问题首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算(2)由条件求向量或参数首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程组求出其坐标或参数【补
6、偿训练】已知a(1，2，1)，ab(1，2，1)，则b等于()A(2，4，2)B(2，4，2)C(2，0，2)D(2，1，3)【解析】选 A.依题意，得 ba(1，2，1)a(1，2，1)2(1，2，1)(2，4，2).类型二 空间向量的坐标与向量的平行、垂直问题(逻辑推理)【典例】已知a()1，2，4，b()2，1，3，c()2，x，y.(1)若ac，求x，y的值；(2)是否存在x，yR，使得ca且cb，如果存在，求出c的坐标，如果不能，说明理由【思路导引】利用空间向量平行、垂直的充要条件求解【解析】(1)因为a()1，2，4 的每一个坐标分量均不为零，所以ac21 x2 y4 x4，y8.
7、(2)因为ca且cb，所以ca0，cb0，所以22x4y0，4x3y0，所以x11，y5.即存在x11，y5，使得ca且cb，此时c()2，11，5.1空间向量平行与垂直问题的常见题型：(1)平行与垂直的判断；(2)利用平行与垂直求参数或解决其他问题2解空间向量平行与垂直问题时要注意：(1)适当引入参数，建立关于参数的方程；(2)最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的已知a(2，4，x)，b(1，y，2)，(1)若ab，则y_；(2)若|a|6，且ab，则y_【解析】(1)由题意得向量a，b的每一个坐标分量均不为零，所以ab21 4y x2 x4，y2.(2)依题意得24y2x0，416x23
8、6，解得x4，y52或x4，y32答案：(1)2(2)32 或52类型三 利用空间向量的坐标运算求向量的模与夹角(数学运算)角度 1 空间向量的模的计算【典例】已知a(1t，1t，t)，b(2，t，t)，求|ba|的最小值【思路导引】先利用公式求模，再转化成二次函数求最小值【解析】ba(1t，2t1，0)，因为|ba|2(1t)2(2t1)25t22t25t15295 95，所以|ba|min3 55.本例若把条件改为“a(1x，2x3，33x)”，求|a 取最小值时x的值【解析】因为a(1x，2x3，33x)，所以|a （1x）2（2x3）2（33x）214x87257.故当x87 时，|a
9、 有最小值角度 2 空间向量夹角的计算【典例】设向量 a(3，5，4)，b(2，1，8)，求(1)a 与 b 所成角的余弦值(2)确定、所满足的关系式，使 ab 与向量(0，0，1)垂直【思路导引】(1)利用两向量的夹角公式求解；(2)利用两向量垂直的充要条件求解【解析】(1)ab(3，5，4)(2，1，8)32514821.|a|3252（4）2 5 2，|b|221282 69，所以cos a，b ab|a|b|215 2 69 7 138230.(2)因为(ab)(0，0，1)(32，5，48)(0，0，1)48，故只要、满足480，即20，可使ab与向量(0，0，1)垂直空间向量的模长
10、公式与夹角公式是利用空间向量解决立体几何问题的重要公式，一定要记清公式特点，并能灵活运用1已知 a(1，0，1)，b(2，1，1)，c(3，1，0)，则|ab2c|等于()A3 10 B2 10C 10D5【解析】选 A.ab2c(9，3，0)，|ab2c|3 10.2已知a，b2，a()1，2，3k，b()4，2k，0，则k_.【解析】因为a，b2，所以 abab0,所以()1，2，3k()4，2k，00，化简得 44k0，所以 k1.答案：13已知a(n，n1，2n)，b(1，n，n)，则|ba|的最小值是()A12B 22 C2 D不存在【解析】选B.因为ba(1n，12n，n)，所以|
11、ba|2(1n)2(12n)2n26n12212，当n12 时，|ba|的最小值为 22.课堂检测素养达标1已知向量a(3，2，1)，b(2，4，0)，则4a2b等于()A(16，0，4)B(8，16，4)C(8，16，4)D(8，0，4)【解析】选D.4a2b4(3，2，1)2(2，4，0)(12，8，4)(4，8，0)(8，0，4).2已知a(2，3，1)，b(2，0，4)，c(4，6，2)，则下列结论正确的是()Aac，bc Bab，acCac，ab D以上都不对【解析】选C.因为c(4，6，2)2a，所以ac.又ab0，故ab.3(教材练习改编)已知向量a(2，3，5)，b(1，1，7)，则向量ba的相反向量的坐标是_【解析】因为ba(3，4，12)，所以向量ba的相反向量的坐标为(3，4，12).答案：(3，4，12)4若向量a(1，1，x)，b(1，2，1)，c(1，1，1)，且满足条件(ca)(2b)2，则x_【解析】由题意，得ca(0，0，1x)，2b(2，4，2)，故(ca)(2b)2(1x)2，解得x2.答案：25已知a(2，4，0)，b(1，3，0)，则a，b_【解析】cos a，b ab|a|b 2122 5 10 22，所以a，b135.答案：135
