1、2015-2016学年天津市红桥区高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1i是虚数单位，复数=( )ABCD2命题“对R，x23x+50”的否定是( )Ax0R，x023x0+50Bx0R，x023x0+50CxR，x23x+50Dx0R，x023x0+503某程序框图如图所示，则输出的结果S等于( )A26B57C60D614设a=log0.32，b=log32，c=20.3，则这三个数的大小关系是( )AbcaBacbCabcDcba5已知=（1，2），=（0，1），=（k，2），若（+2），则k=( )A2B2C8D86在等差数列an
2、中，已知a1+a4+a7=9，a3+a6+a9=21，则数列an的前9项和S9=( )A11B13C45D1177将函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( )Ax=Bx=Cx=Dx=8如图，在三角形ABC中，已知AB=2，AC=3，BAC=，点D为BC的三等分点则的取值范围为( )ABCD二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分9设全集U=1，2，3，4，5，6，集合A=1，3，5，B=2，3，则A（UB）=_10cos=_11若数列an是各项均为正数的等比数列，且a22=a3，a3a2=6a1则an的
3、公比q=_12在ABC中，AC=，BC=2，B=60，则ABC的面积等于_13已知f（x）是定义在R上的奇函数，对任意xR，都有f（x+4）=f（x），若f（1）=2，则f=_14如图，ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BDAC 过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F若AB=AC，AE=3，BD=4则线段AF的长为_三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（13分）已知集合A=x|（x2）x（3a+1）0，B=x|2axa2+1（）当a=2时，求AB；（）求使BA的实数a的取值范围16（13分）（）设函数f（x）=，计算f（f（4
4、）的值；（）计算：log525+lg；（）计算：17（13分）已知cos=，（）求sin2的值；（）求的值；（）求 的值18（13分）已知函数f（x）=sin2x+cos2x（0）的最小正周期为4，（）求的值及函数f（x）的单调递减区间；（）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标向右平行移动个单位长度，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在上的最大值和最小值19（14分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（a0），满足f（0）=2，f（x+1）f（x）=2x1（）求函数f（x）的解析式；（）当x1，2时，求函数的最大值和最小值（）若函数g（x）=f（x）mx的两个零点分别在区
5、间（1，2）和（2，4）内，求m的取值范围20（14分）已知：，aR且a1（）若函数f（x）为奇函数，求实数a的值；（）求函数f（x）的定义域；（）若函数f（x）在10，+）上是单调增函数，求a的取值范围2015-2016学年天津市红桥区高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1i是虚数单位，复数=( )ABCD【考点】复数代数形式的乘除运算 【专题】数系的扩充和复数【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出【解答】解：复数=，故选：C【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2命题“对R，
6、x23x+50”的否定是( )Ax0R，x023x0+50Bx0R，x023x0+50CxR，x23x+50Dx0R，x023x0+50【考点】命题的否定 【专题】计算题；规律型；简易逻辑【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“对R，x23x+50”的否定是：x0R，x023x0+50故选：B【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题3某程序框图如图所示，则输出的结果S等于( )A26B57C60D61【考点】程序框图 【专题】计算题；图表型；分类讨论；试验法；算法和程序框图【分析】分析程序中各变量、各语
7、句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出S值模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示： k S 是否继续循环 循环前1 1/第一圈2 4 是第二圈3 11 是第三圈4 26 是第四圈5 57 否故最终的输出结果为：57故选：B【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，属于基础题4设a=log0.32，b=log32，c=20.3，则这三个数的大小关系是( )AbcaBacbCabcDcba【考点】对数值大小的比较 【专题】转化思想；数学模型
8、法；函数的性质及应用【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出【解答】解：a=log0.320，0b=log321，c=20.31，cba故选：D【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5已知=（1，2），=（0，1），=（k，2），若（+2），则k=( )A2B2C8D8【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 【专题】平面向量及应用【分析】由向量的坐标运算易得的坐标，进而由可得它们的数量积为0，可得关于k的方程，解之可得答案【解答】解：=（1，2），=（0，1），=（1，4），又因为，所以=k8=0，解得k=8，故选C【点评】本题考查平面向量数
9、量积和向量的垂直关系，属基础题6在等差数列an中，已知a1+a4+a7=9，a3+a6+a9=21，则数列an的前9项和S9=( )A11B13C45D117【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质 【专题】方程思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出【解答】解：设等差数列an的公差为d，a1+a4+a7=9，a3+a6+a9=21，解得d=2，a1=3S9=9（3）+=45故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7将函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
10、，再向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( )Ax=Bx=Cx=Dx=【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换 【专题】三角函数的图像与性质【分析】根据函数y=Asin（x+）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，可得结论【解答】解：将函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得函数y=sin（2x+）的图象，再向右平移个单位，那么所得图象对应的函数解析式为y=sin2（x）+=sin（2x）=cos2x，故最后所得函数的图象的一条对称轴方程为2x=k，即 x=，kz，结合所给的选项可得只有B满足条件，故选：B【点评】本题主要考查函数y=Asin（x
11、+）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于中档题8如图，在三角形ABC中，已知AB=2，AC=3，BAC=，点D为BC的三等分点则的取值范围为( )AB CD【考点】平面向量数量积的运算 【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用【分析】直接利用向量的运算法则和数量积运算把化为2cos，然后由1cos1求得答案【解答】解：=，=（）（）=2cos1cos1，2cos+（）故选：D【点评】本题考查平面向量的数量积运算，熟练掌握向量的运算法则和数量积运算是解题的关键，是中档题二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分9设全集U=1，2，3，4，5，6，集合A=1，3，5，B=2
12、，3，则A（UB）=1，5【考点】交、并、补集的混合运算 【专题】集合思想；综合法；集合【分析】进行集合的补集、交集运算即可【解答】解：UB=1，4，5，6；A（UB）=1，5故答案为：1，5【点评】考查列举法表示集合，全集的概念，以及补集、交集的运算10cos=【考点】运用诱导公式化简求值 【专题】计算题；函数思想；三角函数的求值【分析】直接利用诱导公式化简求解即可【解答】解：cos=cos（3）=cos=故答案为：【点评】本题考查诱导公式的应用特殊角的三角函数值的求法，是基础题11若数列an是各项均为正数的等比数列，且a22=a3，a3a2=6a1则an的公比q=3【考点】等比数列的性质
13、【专题】方程思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】利用等比数列的通项公式即可得出【解答】解：设等比数列an的公比为q0，a22=a3，a3a2=6a1，解得a1=1，q=3故答案为：3【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12在ABC中，AC=，BC=2，B=60，则ABC的面积等于【考点】余弦定理；三角形的面积公式 【专题】计算题；解三角形【分析】通过余弦定理求出AB的长，然后利用三角形的面积公式求解即可【解答】解：设AB=c，在ABC中，由余弦定理知AC2=AB2+BC22ABBCcosB，即7=c2+422ccos60，c22c3=0，又c0，c
14、=3SABC=ABBCsinB=BCh可知SABC=故答案为：【点评】本题考查三角形的面积求法，余弦定理的应用，考查计算能力13已知f（x）是定义在R上的奇函数，对任意xR，都有f（x+4）=f（x），若f（1）=2，则f=2【考点】函数的值 【专题】计算题；转化思想；数学模型法；函数的性质及应用【分析】根据已知中函数的奇偶性和周期性，可得f=f（1）=f（1）【解答】解：f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）=f（x），又对任意xR，都有f（x+4）=f（x），f（x）是周期为4的周期函数，故f=f（1）=f（1）=2，故答案为：2【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性和周期性，函数求值，难
15、度不大，属于基础题14如图，ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BDAC 过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F若AB=AC，AE=3，BD=4则线段AF的长为【考点】与圆有关的比例线段 【专题】综合题；选作题；转化思想；综合法【分析】由切割线定理得到AE2=EBED=EB（EB+BD），求出EB=5，由已知条件推导出四边形AEBC是平行四边形，从而得到AC=AB=BE=5，BC=AE=3，由AFCDFB，能求出CF的长【解答】解：AB=AC，AE=3，BD=4，梯形ABCD中，ACBD，BD=4，由切割线定理可知：AE2=EBED=EB（EB+BD），即45=BE（B
16、E+4），解得EB=5，ACBD，ACBE，过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，BAE=C，AB=AC，ABC=C，ABC=BAE，AEBC，四边形AEBC是平行四边形，EB=AC，AC=AB=BE=5，BC=AE=3，AFCDFB，=，即=，解得CF=故答案为：【点评】本题考查与圆有关的线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（13分）已知集合A=x|（x2）x（3a+1）0，B=x|2axa2+1（）当a=2时，求AB；（）求使BA的实数a的取值范围【考点】集合的包含关系判断及应用；
17、并集及其运算 【专题】分类讨论；分类法；集合【分析】由已知中集合A=x|（x2）（x3a1）0，集合B=x|（x2a）（xa21）0，我们先对a进行分类讨论后，求出集合A，B，再由BA，我们易构造出一个关于a的不等式组，解不等式组，即可得到实数a的取值范围【解答】（）解：当a=2时，A=x|5x2，B=x|4x5，AB=x|5x5（）B=x|2axa2+1当时，23a+1，A=x|3a+1x2，要使BA必须 此时a=1，当 时，A=，使 BA的a不存在；当 时，23a+1，A=x|2x3a+1要使BA必须 ，故 1a3综上可知，使的实数a的取值范围为1，31（13分）【点评】本题考查集合的基本
18、运算，集合关系中的参数取值问题，考查计算能力，分类讨论思想的应用16（13分）（）设函数f（x）=，计算f（f（4）的值；（）计算：log525+lg；（）计算：【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值 【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】（）利用函数f（x）=，直接计算f（f（4）的值；（）直接利用对数运算法则化简求解log525+lg；（）利用有理指数幂的运算法则化简求解【解答】解：（）因为40，所以f（4）=4+6=20所以，（）=（每一项结论1分）（）=； （每一项结论1分）（13分）【点评】本题考查分段函数以及有理指数幂，对数运算法则的应用，考查计算能力1
19、7（13分）已知cos=，（）求sin2的值；（）求的值；（）求 的值【考点】两角和与差的正切函数；两角和与差的余弦函数 【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值【分析】（）利用同角三角函数关系式可求sin的值，根据二倍角的正弦函数公式即可求值（）利用（）的结论及两角和的余弦函数公式即可求值得解（）利用同角三角函数关系式可求tan的值，根据两角和的正切函数公式即可求值【解答】（本小题满分13分）解：（），（公式，结论1分）（公式，结论1分）（）=coscossin=（公式，函数值，结论1分）（），（公式1分）（公式，结论1分）（13分）【点评】本题主要考查了同角三角函数关系式，二倍角的
20、正弦函数公式、余弦函数公式、正切函数公式的应用，考查了计算能力，属于基础题18（13分）已知函数f（x）=sin2x+cos2x（0）的最小正周期为4，（）求的值及函数f（x）的单调递减区间；（）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标向右平行移动个单位长度，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在上的最大值和最小值【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用 【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质【分析】（）利用两角和的正弦函数公式化简可得解析式：f（x）=sin（2x+），由周期公式可求，解得函数解析式，由，kZ*，即可解得f（x）
21、的单调递减区间（）由函数y=Asin（x+）的图象变换规律可得解析式，由正弦函数的图象和性质，即可求得函数g（x）在上的最大值和最小值【解答】（本小题满分13分）解：（）因为，（公式2分）又因为，所以；（公式，结论1分）解得：当，kZ*，函数f（x）单调递减，所以，函数f（x）的单调递减区间为kZ*（）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标向右平行移动个单位长度，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，g（x）在上单调递增，在上单调递减，所以g（x）在上最大值为，最小值为（单调性，结论各1分）（13分）【点评】本题主要考查了两角和的正弦函数公式，周期公式，函数y=Asin（x+）的图象变换规律
22、，正弦函数的图象和性质的应用，属于中档题19（14分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（a0），满足f（0）=2，f（x+1）f（x）=2x1（）求函数f（x）的解析式；（）当x1，2时，求函数的最大值和最小值（）若函数g（x）=f（x）mx的两个零点分别在区间（1，2）和（2，4）内，求m的取值范围【考点】函数的最值及其几何意义；函数零点的判定定理 【专题】计算题；函数思想；转化思想；解题方法；函数的性质及应用【分析】（）利用f（0）=2，f（x+1）f（x）=2x1，直接求出a、b、c，然后求出函数的解析式（）利用二次函数的对称轴与区间的关系，直接求解函数的最值（）利用g（x）的两个零点
23、分别在区间（1，2）和（2，4）内，列出不等式组，即可求出M的范围【解答】（本小题满分14分）解：（）由f（0）=2，得c=2，又f（x+1）f（x）=2x1得2ax+a+b=2x1，故解得：a=1，b=2，所以f（x）=x22x+2（a，b，c各，解析式1分）（）f（x）=x22x+2=（x1）2+1，对称轴为x=11，2，故fmin（x）=f（1）=1，又f（1）=5，f（2）=2，所以fmax（x）=f（1）=5（）g（x）=x2（2+m）x+2，若g（x）的两个零点分别在区间（1，2）和（2，4）内，则满足解得：（14分）【点评】本题考查二次函数的解析式的求法，二次函数的性质与最值的求
24、法，零点判定定理的应用，考查计算能力20（14分）已知：，aR且a1（）若函数f（x）为奇函数，求实数a的值；（）求函数f（x）的定义域；（）若函数f（x）在10，+）上是单调增函数，求a的取值范围【考点】奇偶性与单调性的综合；函数的定义域及其求法 【专题】综合题；方程思想；定义法；函数的性质及应用【分析】（）若函数f（x）为奇函数，根据函数奇偶性的定义建立方程，即可求实数a的值；（）根据对数函数成立的条件即可求函数f（x）的定义域；（）根据函数单调性的定义进行求解即可【解答】解：（）若函数f（x）为奇函数，则f（x）=f（x），即，有，得1a2x2=1x2，解得：a=1；（）当a0时，由得，即因为，所以函数的定义域为当a0且a1时，得，即a1时，所以函数的定义域为；1a0，所以函数的定义域为当a=0时，函数的定义域为（，1）（）f（x）在10，+）上是增函数，又，故对任意的x1，x2，当10x1x2时，恒有f（x1）f（x2）即，又，1+a0a1综上可知（14分）【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和应用，根据对数函数的性质，利用函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键.
