1、吉林省长春五中、田家炳实验中学联考2016-2017学年高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）一、选择题1、函数f（x）=ex的导数是（ ） A、ex B、ex C、ex D、ex2、曲线y=xlnx在点（e，e）处的切线斜率为（ ） A、e B、2e C、1 D、23、有三对师徒共6个人，站成一排照相，每对师徒相邻的站法共有（ ） A、72 B、54 C、48 D、84、从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有（ ） A、140种 B、120种 C、35种 D、34种5、的值为（ ） A、0 B、 C、2 D、46、由曲线y=x2 ，
2、y=x3围成的封闭图形面积为（ ） A、 B、 C、 D、7、已知（x ）8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是（ ） A、28 B、38 C、1或38 D、1或288、若 展开式中含 的项是第8项，则展开式含 的项是（ ） A、第8项 B、第9项 C、第10项 D、第11项9、若 ，则（a0+a1）+（a0+a2）+（a0+a2017）=（ ） A、2015 B、2016 C、2017 D、201810、已知y= x3+bx2+（b+2）x+3是R上的单调增函数，则b的取值是（ ） A、b1或b2 B、b2或b2 C、1b2 D、1b211、若函数f（x）=x
3、33xa有3个不同零点，则实数a的取值范围是（ ） A、（2，2） B、2，2 C、（，1） D、（1，+）12、已知函数y=f（x）（xR）的图象如图所示，则不等式xf（x）0的解集为（ ） A、（， ）（ ，2） B、（，0）（ ，2）C、（， （ ，+） D、（， ）（2，+）二、填空13、在（2x1）7的展开式中，x2的系数等于_（用数字作答） 14、已知函数f（x）的导函数为f（x），且f（x）=2xf（1）+lnx，则f（1）=_ 15、 dx=_ 16、有A，B，C，D，E，F共6个集装箱，准备用甲、乙、丙三辆卡车运送，每台卡车一次运两个，若卡车甲不能运A箱，卡车乙不能运B箱，此
4、外无其他任何限制：要把这6个集装箱分配给这3台卡车运送，则不同的分配方案的种数_（用数字作答） 三、解答题17、有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内： (1)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？ (2)恰有2个盒不放球，共有几种放法？ 18、已知函数 ，其中aR，且曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线垂直于直线 (1)求实数a的值 (2)求函数f（x）的单调区间 19、已知函数 (1)求函数f（x）的极值 (2)若x1，+），求函数f（x）的最值 20、已知的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列 (1)证明：展开式中没有常数项； (2)求展开式中所有有理项 21、已知函
5、数 (1)如果a0，函数在区间 上存在极值，求实数a的取值范围； (2)当x1时，不等式 恒成立，求实数k的取值范围 答案解析部分一、选择题 1、【答案】A 【考点】导数的运算 【解析】【解答】解：函数f（x）=ex=（ ）x ， 则函数的导数f（x）=（ ）xln =ex ， 故选：A【分析】根据函数的导数公式进行求导即可 2、【答案】D 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】【解答】解：y=xlnx的导数为y=1+lnx， 由导数的几何意义，可得在点（e，e）处的切线斜率为k=1+lne=2故选：D【分析】求出函数的导数，运用导数的几何意义，代入x=e，计算即可得到所求切线的斜率
6、 3、【答案】C 【考点】排列、组合的实际应用 【解析】【解答】解：用分步原理： 第一步：把每一对师徒看成一整体，共有32=6种方法；第二步：每对师徒都有两种站法共有222=8种；总的方法为68=48种故选：C【分析】根据分步原理求解即可 4、【答案】D 【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】【解答】解：7人中任选4人共C74种选法， 去掉只有男生的选法C44 ， 就可得有既有男生，又有女生的选法C74C44=34故选D【分析】从7个人中选4人共C74种选法，本题不可能只有女生这种情况，去掉不合题意的只有男生的选法C44就可得有既有男生，又有女生的选法 5、【答案】C 【考点】简单复合函数
7、的导数，微积分的产生划时代的成就 【解析】【解答】解：令F（x）=cosx+sinx， F（x）=sinx+cosx，所以 故选C【分析】本题考查的知识点是简单复合函数的定积分，要求 ，关键是要确定满足条件F（x）=sinx+cosx的函数F（x），根据三角函数的导数的公式，我们易得F（x）=cosx+sinx，代入即可求出 的值 6、【答案】A 【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】【解答】解：由题意得，两曲线的交点坐标是（1，1），（0，0）故积分区间是0，1 所求封闭图形的面积为01（x2x3）dx ，故选A【分析】要求曲线y=x2 ， y=x3围成的封闭图形面积，根据定积分的几何意义
8、，只要求01（x2x3）dx即可 7、【答案】C 【考点】二项式定理的应用 【解析】【解答】解：Tr+1=C8rx8r（ax1）r=（a）rC8rx82r 令82r=0，r=4（a）4C84=1120，a=2当a=2时，令x=1，则（12）8=1当a=2时，令x=1，则（1+2）8=38 故选项为C【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项列出方程求出a，给二项式中的x 赋值求出展开式中各项系数的和 8、【答案】B 【考点】二项式系数的性质 【解析】【解答】解：展开式的通项为 当r=7时， n=29展开式的通项为 令 得r=8展开式含 的项是第9项故选B【分析】利用
9、二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令r=7时x的指数为 列出关于n的方程，解方程求出n的值，将n的值代入通项，令通项中的x的指数为1求出r的值，得到展开式含 的项数 9、【答案】A 【考点】二项式系数的性质 【解析】【解答】解：令x=0，则a0=1， 令x=1，则a0+a1+a2+a2017=（12）2017=1，则（a0+a1）+（a0+a2）+（a0+a2017）=20161=2015，故选：A【分析】在所给的等式中，令x=0，可得a0=1再令x=1，可得a0+a1+a2+a2016 =1，求得a1+a2+a2016 =0，从而求得要求式子的值 10、【答案】D 【考点】函数的单调性及
10、单调区间，函数单调性的性质 【解析】【解答】解：已知y= x3+bx2+（b+2）x+3 y=x2+2bx+b+2，y= x3+bx2+（b+2）x+3是R上的单调增函数，x2+2bx+b+20恒成立，0，即b2b20，则b的取值是1b2故选D【分析】三次函数y= x3+bx2+（b+2）x+3的单调性，通过其导数进行研究，故先求出导数，利用其导数恒大于0即可解决问题 11、【答案】A 【考点】利用导数研究函数的极值 【解析】【解答】解：设g（x）=x3 ， h（x）=3xa f（x）=x33x+a有三个不同零点，即g（x）与h（x）有三个交点g（x）=3x2 ， h（x）=3当g（x）与h（
11、x）相切时g（x）=h（x），3x2=3，得x=1，或x=1当x=1时，g（x）=1，h（x）=3a=1，得a=2当x=1时，g（x）=1，h（x）=3a=1，得a=2要使得g（x）与h（x）有三个交点，则2a2故选：A【分析】先构造两个简单函数转化为二者交点的问题，从而可得答案 12、【答案】B 【考点】函数的单调性与导数的关系 【解析】【解答】解：由f（x）图象单调性可得f（x）在（， ）（2，+）大于0， 在（ ，2）上小于0，xf（x）0的解集为（，0）（ ，2）故选B【分析】函数y=f（x）（xR）的图象得函数的单调性，根据单调性与导数的关系得导数的符号，得不等式xf（x）0的解集
12、二、填空 13、【答案】-84 【考点】二项式系数的性质 【解析】【解答】解：（2x1）7的展开式中，通项公式为 Tr+1= （2x）7r（1）r ， 令7r=2，解得r=5；所以展开式中x2的系数为22（1）5=84故答案为：84【分析】利用二项式展开式的通项公式，求出展开式中x2的系数 14、【答案】-1 【考点】导数的运算 【解析】【解答】解：f（x）=2xf（1）+lnx，求导得：f（x）=2f（1）+ ， 令x=1，得到f（1）=2f（1）+1，解得：f（1）=1，故答案为：1【分析】对函数f（x）的解析式求导，得到其导函数，把x=1代入导函数中，列出关于f（1）的方程，进而得到f（
13、1）的值 15、【答案】【考点】定积分 【解析】【解答】解：设y= ，则函数y= 表示半径为3的圆， 当0x3时，表示 圆，根据积分的几何意义可知， dx等于圆面积的 ，即 dx= ，故答案为： 【分析】根据积分的几何意义求对应曲线的面积即可得到结论 16、【答案】42 【考点】排列、组合的实际应用 【解析】【解答】解：根据题意，分两种情况讨论： 甲运B箱，先从C、D、E、F四箱中取出1箱，由甲运输，有C41种方案，再将剩余的四箱中取出2箱由有乙运输，有C42种情况，剩余的2箱由丙运输，有C22种方案；此时有C41C42C22种分配方案；甲不运B箱，先从C、D、E、F四箱中取出2箱，由甲运输，
14、此时乙可选的由3箱，有C32种方案，剩余的2箱由丙运输，有C22种方案，此时有C42C32C22种方案；不同的分配方案共有C41C42C22+C42C32C22=42（种），故答案为：42【分析】根据题意，分两种情况讨论：甲运B箱，先从C、D、E、F四箱中取出1箱，由甲运输，再将剩余的四箱中取出2箱由有乙运输，最后剩余的2箱由丙运输，甲不运B箱，先从C、D、E、F四箱中取出2箱，由甲运输，再计算乙、丙的运输方法，由分步计数原理可得两种情况的分配方案的数目，进而由分类计数原理，将两种情况的数目相加，可得可得答案 三、解答题 17、【答案】（1）解：根据题意，分三步进行分析： 第一步，从4个小球中
15、取两个小球，有C42种方法；第二步，将取出的两个小球放入一个盒内，有C41种方法；第三步，在剩下的三个盒子中选两个放剩下的两个小球，有A32种方法；由分步计数原理，共有C42C41A32=144种放法（2）解：根据题意，分2种情况讨论： 第一类，一个盒子放3个小球，一个盒子放1个小球，两个盒子不放小球有C41C43C31=48种方法；第二类，有两个盒子各放2个小球，另两个盒子不放小球有C42C42=36种方法；由分类计数原理，共有48+36=84种放法 【考点】排列、组合的实际应用 【解析】【分析】（1）先选两个元素作为一组再排列，恰有一个盒子中有2个小球，从4个小球中选两个作为一个元素，同另
16、外两个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理得到结果（2）先分类，把四个小球先分成两组，每组两个小球，或者是把四个小球分成两组，每组一个和三个，分完小组后再进行排列，从4个盒中选两个位置排列，得到结果 18、【答案】（1）解：f（x）= ， f（1）=2，a= ；（2）解：f（x）= ， 当x（0，5）时，f（x）0，f（x）递减；当x（5，+）时，f（x）0，f（x）递增；函数的递增区间为（5，+），递减区间为（0，5） 【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】【分析】（1）求出导函数，根据f（1）=2，求出a的值；（2）代入a，根据导函数得出函数的单调区间
17、即可 19、【答案】（1）解：f（x）= ， 令f（x）0，解得：x2，令f（x）0，解得：x2，故f（x）在（，2）递减，在（2，+）递增，故f（x）的极小值是f（2）= ；无极大值（2）解：由（1）f（x）在1，2）递减，在（2，+）递增， 而f（1）= =2ef（2）= ，故f（x）有最小值 ，无最大值 【考点】利用导数研究函数的极值，利用导数求闭区间上函数的最值 【解析】【分析】（1）求出函数的对数，解关于导函数的不等式，求出函数的极值即可；（2）根据函数的单调性，求出函数的最值即可 20、【答案】（1）解：依题意，前三项系数的绝对值是1，C1n（ ），C2n（ ）2 ， 且2C1n
18、=1+C2n（ ）2 ， 即n29n+8=0，n=8（n=1舍去），展开式的第k+1项为Ck8（ ）8k（ ）k=（ ）kCk8=（1）kCk8证明：若第k+1项为常数项，当且仅当 =0，即3k=16，kZ，这不可能，展开式中没有常数项（2）解：若第k+1项为有理项，当且仅当 为整数， 0k8，kZ，k=0，4，8，即展开式中的有理项共有三项，它们是：T1=x4 ， T5= x，T9= x2 【考点】等差数列的性质，二项式定理 【解析】【分析】（1）利用二项展开式的通项公式求出前三项的系数，列出方程求出n，再利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为0得到常数项，方程无解，得证（2）令展开
19、式中的x的指数为有理数，求出k值，再求出相应的有理项 21、【答案】（1）解：因为 ，x0，则 ，（1分） 当0x1时，f（x）0；当x1时，f（x）0所以f（x）在（0，1）上单调递增；在（1，+）上单调递减，所以函数f（x）在x=1处取得极大值因为函数f（x）在区间（a，a+ ）（其中a0）上存在极值，所以 解得 （2）解：不等式 ，即为 ，记 ， 所以 = 令h（x）=xlnx，则 ，x1，h（x）0，h（x）在1，+）上单调递增，h（x）min=h（1）=10，从而g（x）0，故g（x）在1，+）上也单调递增，所以g（x）min=g（1）=2，所以k2 【考点】函数在某点取得极值的条件，实际问题中导数的意义 【解析】【分析】（1）因为 ，x0，x0，则 ，利用函数的单调性和函数f（x）在区间（a，a+ ）（其中a0）上存在极值，能求出实数a的取值范围（2）不等式 ，即为 ，构造函数 ，利用导数知识能求出实数k的取值范围
