1、 三角恒等变换高考试题考点一 两角和与差的三角函数公式1.(2013年浙江卷,文6)函数f(x)=sin xcos x+cos 2x的最小正周期和振幅分别是()(A),1(B),2(C)2,1(D)2,2解析:f(x)=sin 2x+cos 2x=sin(2x+),所以最小正周期T=,振幅A=1,故选A.答案:A2.(2012年重庆卷,文5) 等于()(A)-(B)-(C)(D)解析: =.故选C.答案:C3.(2012年四川卷,文5)如图,正方形ABCD的边长为1,延长BA至E,使AE=1,连接EC、ED,则sin CED等于()(A)(B)(C) (D)解析:由图可知sinAED=cosA
2、ED=,sinBEC=,cosBEC=,sinCED=sin(AED-BEC)=sinAEDcosBEC-cosAEDsinBEC=(-)=.故选B.答案:B4.(2010年重庆卷,文15)图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C,各段弧所在的圆经过同一点P(点P不在C上),且半径相等,设第i段弧所对的圆心角为i(i=1,2,3),则coscos-sinsin=.解析:如图所示,1=2DPF,2=2DPE,3=2EPF,而DPF+DPE+EPF=2,1+2+3=4,=,而coscos-sinsin=cos=cos=-.答案:-5.(2012年江苏卷,11)设为锐角,若cos(+)=,则s
3、in(2+)的值为.解析:cos(+)=0,且为锐角,+,sin(+)=,sin(2+)=2cos(+)sin(+)=2=,cos(2+)=2cos2(+)-1=,sin(2+)=sin(2+)-=sin(2+)cos-cos(2+)sin=.答案:6.(2013年广东卷,文16)已知函数f(x)=cos,xR.(1) 求f的值;(2) 若cos =,求f.解:(1)f=cos=cos=1.(2)cos =,sin 0,xR)的最小正周期为10.(1)求的值;(2)设,0,f(5+)=-,f(5-)=,求cos(+)的值.解:(1)T=10=,=.(2)由(1)得f(x)=2cos(x+),-
4、=f(5+)=2cos(5+)+=2cos(+)=-2sin ,sin =,cos =.=f(5-)=2cos(5-)+=2cos ,cos =,sin =.cos(+)=cos cos -sin sin =-=-.9.(2010年四川卷,文19)(1)证明两角和的余弦公式C(+):cos(+)=cos cos -sin sin ;由C(+)推导两角和的正弦公式S(+):sin(+)=sin cos +cos sin .(2)已知cos =-,(,),tan =-,(,求cos(+).解:(1)如图所示,在直角坐标系xOy内作单位圆O,并作出角,与-,使角的始边为Ox,交O于点P1,终边交O于
5、点P2;角的始边为OP2,终边交O于点P3,角-的始边为OP1,终边交O于点P4.则P1(1,0),P2(cos ,sin ),P3(cos(+),sin(+),P4(cos(-),sin(-).由P1P3=P2P4及两点间的距离公式,得cos(+)-12+sin2(+)=cos(-)-cos 2+sin(-)-sin 2,展开并整理,得2-2cos(+)=2-2(cos cos -sin sin ),cos(+)=cos cos -sin sin .由易得,cos(-)=sin ,Sin(-)=cos .sin(+)=cos-(+)=cos(-)+(-)=cos(-)cos(-)-sin(-
6、)sin(-)=sin cos +cos sin .sin(+)=sin cos +cos sin .(2)(,cos =-,sin =-.(,),tan =-,cos =-,sin =.cos(+)=cos cos -sin sin =-=.考点二 倍角公式与半角公式1.(2013年新课标全国卷,文6)已知sin 2=,则cos2(+)=()(A)(B)(C)(D)解析:cos2(+)=.故选A.答案:A2.(2012年大纲全国卷,文4)已知为第二象限角,sin =,则sin 2等于()(A)-(B)-(C)(D)解析:为第二象限角,且sin =,cos =-=-=-,sin 2=2sin
7、cos =2=-,故选A.答案:A3.(2012年江西卷,文9)已知f(x)=sin2(x+).若a=f(lg 5),b=f(lg),则()(A)a+b=0(B)a-b=0(C)a+b=1(D)a-b=1解析:因为f(x)=sin2(x+)=,令lg 5=t,则lg =-t,所以a=f(lg 5)=f(t)=,b=f(lg )=f(-t)=,所以a+b=1.故选C.答案:C4.(2010年福建卷,文2)计算1-2sin222.5的结果等于()(A)(B)(C)(D)解析:1-2sin222.5=cos 45=.故选B.答案:B5.(2013年四川卷,文14)设sin 2=-sin ,(,),则
8、tan 2的值是.解析:法一由sin 2=-sin 得2sin cos =-sin ,又 (,).所以sin 0,所以cos =-,所以sin =,tan =-.则tan 2=.法二由sin 2=-sin ,得2sin cos =-sin ,又(,),sin 0,所以cos =-,=,则tan 2=tan =tan =.答案:6.(2011年江苏卷,7)已知tan(x+)=2,则的值为.解析:由tan(x+)=2,得=2,即=2,tan x=,=.答案:7.(2010年浙江卷,文12)函数f(x)=sin2(2x-)的最小正周期是.解析:f(x)=sin2(2x-)=-cos(-4x)=-si
9、n 4x,T=.答案:8.(2012年四川卷,文18)已知函数f(x)=cos2-sin cos -.(1)求函数f(x)的最小正周期和值域;(2)若f()=,求sin 2的值.解:(1)由已知,f(x)=cos2-sin cos -=(1+cos x)-sin x-=cos(x+).所以f(x)的最小正周期为2,值域为.(2)由(1)知,f()=cos(+)=,所以cos(+)=,所以sin 2=-cos(+2)=-cos 2(+)=1-2cos2(+)=1-=.模拟试题考点一 两角和与差的三角函数公式应用1.(2012潍坊质检)已知(0, ),+的终边上的一点的坐标为(-4,3),则sin
10、 等于()(A) (B)(C) (D)解析:由(0, )及三角函数的定义可知Sin(+)=,cos(+)=-,所以可得sin =sin(+)-=sin(+)cos -cos(+)sin =.故选A.答案:A2.(2012广东深圳一模)已知直线l:xtan -y-3tan =0的斜率为2,在y轴上的截距为1,则tan(+)等于()(A)-(B)(C)(D)1解析:由题意,得tan =2,tan =-,可得tan(+)=1.故选D.答案:D3.(2013广东深圳高三第一次调研)已知函数f(x)=2sin(+) (0x5),点A、B分别是函数y=f(x)图象上的最高点和最低点.(1)求点A、B的坐标
11、以及的值;(2)设点A、B分别在角、的终边上,求tan(-2)的值.解:(1)0x5,+,-sin(+)1.当+=,即x=1时,sin(+)=1,f(x)取得最大值2;当+=,即x=5时,sin(+)=-,f(x)取得最小值-1.因此,点A、B的坐标分别是A(1,2)、B(5,-1).=15+2(-1)=3.(2)点A(1,2)、B(5,-1)分别在角、的终边上,tan =2,tan =-,tan 2=-,tan(-2)= =.考点二 倍角公式与半角公式1.(2011四川成都五校联考)已知锐角满足cos 2=cos(-),则sin 2等于()(A)(B)-(C)(D)-解析:cos 2=cos
12、(-),cos2-sin2=(cos +sin ),cos -sin =.两边平方,得1-sin 2=,sin 2=.故选A.答案:A2.(2012江南五校联考)设函数f(x)=sin x+cos x,f(x)是f(x)的导数,若f(x)=2f(x),则=.解析:f(x)=cos x-sin x,由f(x)=2f(x)得sin x+cos x=2cos x-2sin x,cos x=3sin x,于是=-.答案:-3.(2013广东湛江一中等“十校”高三联考)设f(x)=6cos2x-sin 2x,(1)求f(x)的最小正周期、最大值及f(x)取最大值时x的集合;(2)若锐角满足f()=3-2
13、,求tan的值.解:(1)f(x)=6-sin 2x=3cos 2x-sin 2x+3=2（cos 2x-sin 2x）+3=2cos（2x+）+3.故f(x)的最大值为2+3,此时2x+=2k,x=k-,kZ,即x的集合为,最小正周期T=.(2)由f()=3-2得2cos(2+)+3=3-2,故cos(2+)=-1,又由0得2+,故2+=,解得=.从而tan=tan=.综合检测1.(2012东北三校联考)设、都是锐角,且cos =,sin(+)=,则cos 等于()(A) (B)(C)或(D)或解析:cos =cos(+)-=cos(+)cos +sin(+)sin .又、都是锐角,当cos
14、 =时,sin =.又sin(+)= ,因此cos(+)=,又cos =60,+60,cos(+)0,0)的最大值为2,最小正周期为8.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若函数f(x)图象上的两点P、Q的横坐标依次为2、4,O为坐标原点,求cosPOQ的值.解:(1)f(x)的最大值为2,且A0,A=2.f(x)的最小正周期为8,T=8,得=.f(x)=2sin（x+）.(2)f(2)=2sin（+）=2cos=,f(4)=2sin（+）=-2sin=-,P(2, ),Q(4,- ).作PP1x轴,QQ1x轴,垂足分别为P1,Q1,|OP|=,|OP1|=2,|PP1|=,|OQ|=3,|OQ1|=4,|QQ1|=.设POP1=,QOQ1=,则sin =,cos =,sin =,cos =,cosPOQ=cos(+)=cos cos -sin sin =.
