1、第二章 平面向量 章末综合提升 巩 固 层 知 识 整 合 提 升 层 题 型 探 究 平面向量的线性运算【例1】(1)已知向量a(2，1)，b(3，4)，则2ab的结果是()A(7，2)B(1，2)C(1，3)D(7，2)(2)设D为ABC所在平面内一点，则BD 3CD，则()AAD 13AB43ACBAD 43AB13ACCAD 32AB12ACDAD 12AB32AC(1)A(2)D(1)a(2，1)，b(3，4)，2ab2(2，1)(3，4)(4，2)(3，4)(43，24)(7，2)，故选A.(2)BD 3CD，AD AB3(AD AC)，2AD 3ACAB，AD 32AC12AB.
2、向量线性运算的基本原则和求解策略(1)基本原则：向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面(2)求解策略：向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧字符表示线性运算的常用技巧：首尾相接用加法的三角形法则，如ABBC AC；共起点两个向量作差用减法的几何意义，如OB OA AB.平行向量(共线向量)、相等向量与相反向量、单位向量等，理解向量的有关概念并进行恰当地应用注意常见结论的应用如ABC中，点D是BC的中点，则 ABAC2A
3、D.1(1)设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_(2)在ABC中，点M，N满足AM 2MC，BN NC.若MN xAByAC，则x_；y_(1)12(2)12 16(1)因为ab与a2b平行，所以abt(a2b)，即abta2tb，所以t，12t，解得12，t12(2)因为AM 2MC，所以AM 23AC.因为BNNC，所以AN12(ABAC)，所以MN ANAM 12(ABAC)23AC12AB16AC.又MN xAByAC，所以x12，y16.平面向量的数量积【例2】(1)设单位向量m(x，y)，b(2，1).若mb，则|x2y|_(2)已知两个单位向量a，b的夹角为60，c
4、ta(1t)b，若bc0，则t_(1)5(2)2(1)因为单位向量m(x，y)，则x2y21.若mb，则mb0，即2xy0.由解得x215，所以|x|55，|x2y|5|x|5.(2)法一：因为bc0，所以bta(1t)b0，即tab(1t)b20.又因为|a|b|1，60，所以12t1t0，所以t2.法二：由t(1t)1知向量a，b，c的终点A、B、C共线，在平面直角坐标系中设a(1，0)，b12，32，则c32，32.把a、b、c的坐标代入cta(1t)b，得t2.向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab|a|b|cos a，b(2)当已知向量的坐标时
5、，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.运用两向量的数量积解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解2已知两个单位向量e1，e2的夹角为 3，若向量b1e12e2，b23e14e2，则b1b2_6 b1b2(e12e2)(3e14e2)3e21 2e1e28e22 32111286.向量的夹角及垂直问题探究问题1怎样求两个不共线向量的夹角？提示 对两个不共线向量a，b，通过平移使它们的起点相同，这两个有公共起点的向量的夹角就是a与b的夹角2两向量所成的角与两直线所成角的区别是什么？提示 两向量所成的角，不一定是两向量所在的直线所成的角，
6、因为前者的取值范围为0，180，而后者的取值范围为0，90.这一点经常容易混淆，一定要注意3用数量积判断两向量夹角时应注意什么？提示 当0时，有ab0，此时a与b共线且同向，即ab0，不能说向量的夹角一定为锐角，同理当180时，有ab0，但ab0，不能说向量的夹角一定为钝角【例3】已知三个点A(2，1)，B(3，2)，D(1，4).(1)求证：ABAD；(2)若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值思路探究(1)利用ABAD 0即可；(2)利用夹角公式cos ACBD|AC|BD|求解解(1)证明：A(2，1)，B(3，2)，D(1，4)，AB(1，1)，A
7、D(3，3).ABAD 1(3)130，ABAD，即ABAD.(2)ABAD，四边形ABCD为矩形，ABDC.设C点坐标为(x，y)，则DC(x1，y4)，x11，y41，解得x0，y5.点C坐标为(0，5).从而AC(2，4)，BD(4，2)，且|AC|2 5，|BD|2 5，ACBD 8816，设AC与BD 的夹角为，则|cos|ACBD|AC|BD|162045.矩形ABCD的两条对角线所夹锐角的余弦值为45.将例3中的条件变为 OA(3，4)，OB(6，3)，OC(5m，(3m)，试求：(1)若A、B、C能构成三角形，求m应满足的条件；(2)若ABC为直角三角形，且A为直角，求实数m的
8、值解(1)若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，OA(3，4)，OB(6，3)，OC(5m，(3m)，AB(3，1)，BC(m1，m)，而AB与BC不平行，即3mm1，得m12，实数m12时满足条件(2)若ABC为直角三角形，且A为直角，则AB AC，而AB(3，1)，AC(2m，1m)，3(2m)(1m)0，解得m74.1求夹角问题：求向量a，b夹角的步骤：(1)求|a|，|b|，ab；(2)求cos ab|a|b|(夹角公式)；(3)结合的范围0，确定的大小因此求向量的夹角先转化为求向量夹角的余弦值，再结合夹角的范围确定夹角的大小若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则cos ab|
9、a|b|x1x2y1y2x21y21 x22y22.2垂直问题：这类问题主要考查向量垂直的条件：若向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abab0 x1x2y1y20.3向量的模：(1)|a|2a2，|a|a2.(2)若a(x，y)，则a2x2y2，|a|x2y2.【例4】设|a|b|1，|3a2b|3，求|3ab|的值向量的长度与距离问题解 法一：|3a2b|3，9a212ab4b29.又|a|b|1，ab13.|3ab|2(3ab)29a26abb29613112.|3ab|2 3.法二：设a(x1，y1)，b(x2，y2).|a|b|1，x21y21x22y221.3a2b(3x12
10、x2，3y12y2)，|3a2b|（3x12x2）2（3y12y2）23.x1x2y1y213.|3ab|（3x1x2）2（3y1y2）2916132 3.向量的模不仅是研究向量的一个重要量，而且是利用向量的方法解决几何问题的一个交汇点一般地，求向量的模主要利用公式|a|2a2，将它转化为向量的数量积问题，再利用数量积的运算律和运算性质进行展开、合并，使问题得以解决，或利用公式|a|x2y2，将它转化为实数问题，使问题得以解决3在ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(4，7)，则BC边的中线AD的长是()A2 5B52 5C3 5D72 5B BC中点为D32，6，AD 52，5，|AD|52 5.点击右图进入 专 题 强 化 训 练 Thank you for watching!
