1、第五节椭圆最新考纲1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.理解数形结合思想.4.了解椭圆的简单应用1椭圆的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距(2)集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为常数且a0，c0.当2a|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；当2a|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；当2ab0)1(ab0)图形性质范围axabybbxbaya
2、对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(a，0)，A2(a，0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b，0)，B2(b，0)离心率e，且e(0，1) a，b，c的关系c2a2b21点P(x0，y0)和椭圆的位置关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内1(2)点P(x0，y0)在椭圆上1(3)点P(x0，y0)在椭圆外12焦点三角形如图，椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的PF1F2叫做焦点三角形设r1|PF1|，r2|PF2|，F1PF2，PF1F2的面积为S，则在椭圆1(ab0)中：(1)当r1r2时，即点P的位置为短轴端点时，最大；(2)Sb2tan
3、 c|y0|，当|y0|b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.(3)ac|PF1|ac(4)|PF1|aex0，|PF2|aex03椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2b2c24已知过焦点F1的弦AB，则ABF2的周长为4a5椭圆中点弦的斜率公式若M(x0，y0)是椭圆1(ab0)的弦AB(AB不平行y轴)的中点，则有kABkOM，即kAB6弦长公式：直线与圆锥曲线相交所得的弦长|AB|x1x2|y1y2|(k为直线的斜率)一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2
4、)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成PF1F2的周长为2a2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)()(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆()(4)关于x，y的方程mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1若F1(3，0)，F2(3，0)，点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是()A.1B.1C.1 D.1或1A设点P的坐标为(x，y)，因为|PF1|PF2|10|F1F2|6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a5，c3，b4，故点P的轨迹方程为1.故选A.2设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过点F2作椭圆
5、长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是()A. B.C2 D.1D法一：设椭圆方程为1(ab0)，依题意，显然有|PF2|F1F2|，则2c，即2c，即e22e10，又0eb0)因为椭圆的一个焦点为F(1，0)，离心率e，所以解得故椭圆的标准方程为1.第1课时椭圆及其性质考点1椭圆的定义及应用椭圆定义的应用主要有两个方面一是判定平面内动点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等(1)如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的
6、轨迹是()A椭圆B双曲线C抛物线 D圆(2)F1，F2是椭圆1的两个焦点，A为椭圆上一点，且AF1F245，则AF1F2的面积为()A7 B.C. D.(1)A(2)C(1)由题意可知，CD是线段MF的垂直平分线，|MP|PF|，|PF|PO|PM|PO|MO|(定值)又|MO|FO|，点P的轨迹是以F，O为焦点的椭圆，故选A.(2)由题意得a3，b，c，|F1F2|2，|AF1|AF2|6.|AF2|2|AF1|2|F1F2|22|AF1|F1F2|cos 45|AF1|24|AF1|8，(6|AF1|)2|AF1|24|AF1|8.|AF1|，SAF1F22.本例(1)应用线段中垂线的性质
7、实现了“|PF|PO|”向定值的转化；本例(2)把余弦定理与椭圆的定义交汇在一起，借助方程的思想解出|AF1|，从而求得AF1F2的面积教师备选例题设F1，F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6，4)，则|PM|PF1|的最小值为_5由椭圆的方程可知F2(3，0)，由椭圆的定义可得|PF1|2a|PF2|.|PM|PF1|PM|(2a|PF2|)|PM|PF2|2a|MF2|2a，当且仅当M，P，F2三点共线时取得等号，又|MF2|5，2a10，|PM|PF1|5105，即|PM|PF1|的最小值为5.已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一
8、点，且PF1PF2，若PF1F2的面积为9，则b_3设|PF1|r1，|PF2|r2，则所以2r1r2(r1r2)2(rr)4a24c24b2，所以SPF1F2r1r2b29，所以b3.考点2椭圆的标准方程定义法先根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义，并确定a2，b2的值，再结合焦点位置可写出椭圆方程特别地，利用定义法求椭圆方程要注意条件2a|F1F2|.1.在ABC中，A(4，0)，B(4，0)，ABC的周长是18，则顶点C的轨迹方程是()A.1(y0) B.1(y0)C.1(y0) D.1(y0)A由|AC|BC|188108知，顶点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(A，B，C不共线
9、)设其方程为1(ab0)，则a5，c4，从而b3.由A，B，C不共线知y0.故顶点C的轨迹方程是1(y0)2已知两圆C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.1B.1C.1 D.1D设圆M的半径为r，则|MC1|MC2|(13r)(3r)16，又|C1C2|816，动圆圆心M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a16，2c8，则a8，c4，b248，故所求的轨迹方程为1.利用定义法求轨迹方程时，注意检验所求轨迹是否是完整的曲线，倘若不是完整的曲线，应对曲线中的变量x或y进行限制待定系数法利用待定系数法
10、要先定形(焦点位置)，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a，b的方程组如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx2ny21(m0，n0，mn)的形式1.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆方程为_1设椭圆方程为mx2ny21(m，n0，mn)由解得m，n.椭圆方程为1.2过点(，)，且与椭圆1有相同焦点的椭圆的标准方程为_1法一：椭圆1的焦点为(0，4)，(0，4)，即c4.由椭圆的定义知，2a，解得a2.由c2a2b2可得b24，所求椭圆的标准方程为1.法二：所求椭圆与椭圆1的焦点相同，其焦点在y轴上，且c225916.设它的标准方程为1(ab0)
11、c216，且c2a2b2，故a2b216.又点(，)在所求椭圆上，1，则1.由得b24，a220，所求椭圆的标准方程为1.3设F1，F2分别是椭圆E：x21(0b1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点若|AF1|3|F1B|，AF2x轴，则椭圆E的方程为_x2y21不妨设点A在第一象限，如图所示AF2x轴，A(c，b2)(其中c21b2，0b1，c0)又|AF1|3|F1B|，由3得B，代入x21得1.又c21b2，b2.故椭圆E的方程为x2y21.(1)已知椭圆上两点，常设方程为mx2ny21(m0，n0，mn)；(2)椭圆的通径(过焦点且与长轴垂直的弦)长为.考点3椭圆的几何
12、性质椭圆的长轴、短轴、焦距求解与椭圆几何性质有关的问题，如：顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系，同时要结合图形进行分析(1)已知椭圆1的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于()A8 B7C6 D5(2)已知椭圆C：1(ab0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为_(1)A(2)1(1)因为椭圆1的长轴在x轴上，所以 解得6mb0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P使得PF1PF2，则该椭圆的离心率的取值范围是()A. B.C. D.BF1，F2是椭圆1(ab0)的左、右两个焦点，0e1，F1(c，0)，F2(c，0)，c2a2b2.设点P(x
13、，y)，由PF1PF2，得(xc，y)(xc，y)0，化简得x2y2c2.联立方程组整理得，x2(2c2a2)0，解得e.又0e1，ebc0，a2b2c2)的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，bc为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于(ac)，则椭圆的离心率e的取值范围是_因为|PT|(bc)，而|PF2|的最小值为ac，所以|PT|的最小值为.依题意，有(ac)，所以(ac)24(bc)2，所以ac2(bc)，所以ac2b，所以(ac)24(a2c2)，所以5c22ac3a20，所以5e22e30.又bc，所以b2c2，所以a2c2c2，所以2e21.联立，得e.以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为()A1 BC2 D2D设a，b，c分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，当三角形的高为b时面积最大，所以2cb1，bc1，而2a222(当且仅当bc1时取等号)即长轴长2a的最小值为2.
