1、普通高中课程标准实验教科书数学选修1-1（北师大版）第四章导数应用1.2 函数的极值学习目标 1.能利用导数求函数的极值 2.掌握求函数的极值的方法和步骤 重点：会利用导数求函数的极值 难点：函数极值点的判断和求解本节课必须掌握的知识点 1.极大值、极小值、极值的定义 2.判断f()是极大值、极小值的方法 3.求可导函数f(X)的极值的步骤（分三步）（1）_(2)_(3)_0 xaoht 0h a ht问题：如图表示高台跳水运动员的高度 随时间 变化的函数 的图像。观察图形并回答以下问题。2()4.96.510h ttt 单调递增单调递减0)(th0)(th（1）当t=a时，高台跳水运动员距水
2、面的高度最大，那么函数在t=a处的导数是多少呢？（2）在点t=a附近的图象有什么特点？（3）点t=a附近的导数符号有什么变化规律？归纳:函数在点处,在的附近,当时,函数h(t)单调递增，;当时,函数h(t)单调递减,()h tata0)(ahat at 0)(th0)(th （3）在点 附近,的导数的符号有什么规律?,a b yf x（1）函数在点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?yf x,a b（2）函数 在点 的导数值是多少?yf x,a b(图一)问题导航：yxaob yf x0)(xf0)(xf0)(xf0)(af0)(bfyxaob yf x(图一)0)(xf0)(xf0)(x
3、f0)(af0)(bf极大值f(b)点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.极小值点、极大值点统称极值点，极大值和极小值统称为极值.极小值f(a)思考：极大值一定大于极小值吗？xy yfxohgfedc(图二)（1）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小。（2）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值
4、未必大于极小值。（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不可能成为极值点。yfx6x5x4x3x2x1xabxy （1）如图是函数 的图象,试找出函数 的 极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？o yf x yf x答:yfx（1）.x1,x3,x5,x6是函数y=f(x)的极值点，其中x1,x5是函数y=f(x)的极大值点，x3,x6函数y=f(x)的极小值点。导数值为0的点一定是函数的极值点吗?是为可导函数的极值点的必要不充分条件。0)(af()yf xxaxyOy=x3ycxyO 下面分两种情况讨论:（1）当 ，即x2,或x-2时;（2）当，即-2 x2时。例1：求函数
5、的极值.31443fxxx 31443fxxx 2422fxxxx 0fx 0,fx 解:0fx 当x变化时，的变化情况如下表：,fxf xx fx f x,2 2,22,28343当x=-2时,f(x)的极大值为 28(2)3f 423f 令解得x=2,或x=-2.0022单调递增单调递增单调递减当x=2时,f(x)的极小值为22例题导读归纳总结：求函数y=f(x)的极值的步骤:2.求函数的单调区间1.确定函数的定义域3.利用数轴标根法确定极大值、极小值点，并求出函数的极值达标检测：1.若函数 f(x)的导函数 f(x)的图像，如右图所示，则()Ax1 是最小值点Bx0 是极小值点Cx2 是
6、极小值点D函数 f(x)在(1，2)上单调递增1.答案 C解析 由导数图像可知，x0，x2 为两极值点，x0 为极大值点，x2 为极小值点，选 C.2设函数 f(x)xex，则()Ax1 为 f(x)的极大值点Bx1 为 f(x)的极小值点Cx1 为 f(x)的极大值点Dx1 为 f(x)的极小值点 2.答案 D 解析 f(x)(x1)，当x1时，f(x)1时，f(x)0，所以x1为f(x)的极小值点，故选D.xe3.求函数的极值 33f xxx解:令，得，或下面分两种情况讨论：（1）当，即时；（2）当，即，或时。当变化时，的变化情况如下表：33f xxxx fx f x,1 1,11,200
7、11单调递增单调递减单调递减当 时,有极小值，并且极小值为 2.0fx 当时,有极大值，并且极大值为 23 3fxx 23 30fxx1x 1.x 0fx 11x 1x 1x 2)(xf)(xf2.1x1x x ,fxf x思考：已知函数在处取得极值，求函数的解析式 322f xaxbxx2,1xx f x f x解：在取得极值，即解得 2322fxaxbx2,1xx 124203220abab11,32ab 3211232fxxxx0)1(,0)2(ff（1）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小。（2）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值。（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不可能成为极值点。（5）是为可导函数的极值点的必要不充分条件。0)(af()yf xxa求函数y=f(x)的极值的步骤:2.确定函数的单调区间1.确定函数定义域3.利用数轴标根法确定极大值点、极小值点，并求出极值课堂小结：课后作业：1.求函数的单调区间与 极值 lnf xxx思考：每天都要有一点收获，今天，我的收获是什么呢？我学会了利用导数求函数的极值。
