1、第2课时两角和与差的正切公式学 习 目 标核 心 素 养1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式(重点)2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值和证明(重点)3.熟练两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用(难点)1.借助两角和与差的正切公式的推导过程，培养学生逻辑推理素养.2.通过利用两角和与差的正切公式进行化简、求值，提升学生的数学运算和逻辑推理素养.两角和与差的正切公式思考：两角和与差的正切公式对任意角，均成立吗？提示不是对任意角，均成立，必须使正切有意义，两角和的正切公式使用条件为，k(kZ)，两角差的正切公式使用条件为，k(kZ)1已知tan 4，tan
2、 3，则tan()()A.BC.DBtan().2若tan3，则tan 的值为()A2 B C. D2B由tan3，即3，可得：3，解得：tan .3已知tan 2，则tan .3tan3.4. .原式tan(7515)tan 60.两角和与差的正切公式的应用【例1】(1)已知tan ，tan()，则tan(2)()ABC D.(2)如图，在ABC中，ADBC，D为垂足，AD在ABC的外部，且BDCDAD236，则tanBAC .思路点拨：(1)构造角2()(2)先求CAD，BAD的正切值，再依据tanBACtan(CADBAD)求值(1)B(2)(1)由已知可知tan()，又2()()，所以
3、tan(2)tan()().(2)ADBC且BDCDAD236，tanBAD，tanCAD，tanBACtan(CADBAD).1公式T()的结构特征和符号规律：(1)结构特征：公式T()的右侧为分式形式，其中分子为tan 与tan 的和或差，分母为1与tan tan 的差或和(2)符号规律：分子同，分母反2利用公式T()求角的步骤：(1)计算待求角的正切值(2)缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息(3)根据角的范围及三角函数值确定角1(1)(2018全国卷)已知tan，则tan .(2)已知角，均为锐角，且cos ，tan()，则tan .(1)(2)3(1)因为tan，所以tan tan.
4、(2)因为cos ，为锐角，所以sin ，tan ，所以tan tan()3.两角和与差的正切公式的逆用【例2】(1) .(2) .思路点拨：注意特殊角的正切值和公式T()的结构，适当变形后逆用公式求值(1)(2)1(1)原式tan(4515)tan 60.(2)原式tan(3075)tan 451.2求下列各式的值：(1)；(2).解(1)原式tan(4575)tan(30)tan 30.(2)原式.两角和与差的正切公式的变形运用探究问题1两角和与差的正切公式揭示了tan tan 与哪些式子的关系？提示：揭示了tan tan 与tan tan ，tan tan 与tan tan 之间的关系2
5、若tan ，tan 是关于x的方程ax2bxc0(a0，b24ac0)的两个根，则如何用a，b，c表示tan()?提示：tan().【例3】(1)tan 67tan 22tan 67tan 22 .(2)已知ABC中，tan Btan Ctan Btan C，且tan Atan Btan Atan B1，试判断ABC的形状思路点拨：(1)看到tan 67tan 22与tan 67tan 22想到将tan(6722)展开变形，寻找解题思路(2)先由关于角A，B的等式求出tan(AB)得角AB，然后求角C并代入关于角B，C的等式求角B，最后求角A，判断ABC的形状(1)1tan 67tan 22t
6、an(6722)(1tan 67tan 22)tan 45(1tan 67tan 22)1tan 67tan 22，tan 67tan 22tan 67tan 221tan 67tan 22tan 67tan 221.(2)解tan Atan Btan Atan B1，(tan Atan B)tan Atan B1，tan(AB).又0AB，AB，C.tan Btan Ctan Btan C，tan C，tan Btan B，tan B，B，A，ABC为顶角为的等腰三角形1将本例(1)中的角同时增加1，结果又如何？解tan 45tan(6823)，1tan 68tan 23tan 68tan
7、23，即tan 68tan 23tan 68tan 231.2能否为本例(1)和探究1归纳出一个一般结论？若能，试证明解一般结论：若45(，k，kZ)，则tan tan tan tan 1.证明：tan 45tan()，1tan tan tan tan ，即tan tan tan tan 1.1整体意识：若化简的式子中出现了“tan tan ”及“tan tan ”两个整体，常考虑tan()的变形公式2熟知变形：两角和的正切公式的常见四种变形：(1)tan tan tan()(1tan tan )；(2)1tan tan ；(3)tan tan tan tan tan()tan()；(4)ta
8、n tan 1.提醒：当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和或差的正切公式1应用公式T()时要注意的问题(1)公式的适用范围由正切函数的定义可知，公式的适用条件是，(或)k(kZ)(2)公式的变形应用只要用到tan tan ，tan tan 时，有灵活应用公式T()的意识，就不难想到解题思路特别提醒：tan tan ，tan tan ，容易与根与系数的关系联系，应注意此类题型2活用公式巧变换(1)“1”的代换：在T()中，如果分子中出现“1”常利用1tan来代换，以达到化简求值的目的如tan.(2)角的变换：看到两个角的正切值应想到T()公式看到，应想到凑角，如()()；()()
9、等(3)名的变换：常常用到同角关系，诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或把正切化为正、余弦求解1下列说法不正确的是()A存在，R，使tan()tan tan 成立B对任意，R，tan()都成立Ctan()等价于tan tan tan()(1tan tan )DABC中，若tan Atan B0，则三角形为钝角三角形BA对当0，时，tan()tantan 0tan，但一般情况下不成立B错两角和的正切公式的适用范围是，k(kZ)C对当k(kZ)，k(kZ)，k(kZ)时，由前一个式子两边同乘以1tan tan 可得后一个式子D对tan Atan B0，则A，B中必有一个为钝角，所以三角形必为钝角三角形2已知tan tan 2，tan()4，则tan tan 等于()A2B1C.D4Ctan()4，且tan tan 2，4，解得tan tan .3若tan3，则tan 的值为 tan tan.4已知cos ，cos ，其中，都是锐角，求tan()的值解因为，都是锐角，所以sin ，sin ，tan 2，tan ，所以tan()2.
