1、函数性质的综合问题建议用时：45分钟一、选择题1设f(x)是定义在R上周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)x2x，则f()ABC. D.C因为f(x)是定义在R上周期为2的奇函数，所以fff.又当0x1时，f(x)x2x，所以f，则f.2下列函数中，既是奇函数又在(0，)上单调递增的是()AyexexByln(|x|1)Cy DyxD选项A、B显然是偶函数，排除；选项C是奇函数，但在(0，)上不是单调递增函数，不符合题意； 选项D中，yx是奇函数，且yx和y在(0，)上均为增函数，故yx在(0，)上为增函数，所以选项D正确3已知定义在R上的奇函数f(x)有ff(x)0，当x0时，f(x)2x
2、a，则f(16)的值为()A. BC. DA由ff(x)0，得f(x)ff(x5)，f(x)是以5为周期的周期函数，f(16)f(135)f(1)f(x)是R上的奇函数，f(0)1a0，a1.当x0时，f(x)2x1，f(1)211，f(1)，f(16).4设f(x)是定义在2b,3b上的偶函数，且在2b,0上为增函数，则f(x1)f(3)的解集为()A3,3 B2,4C1,5 D0,6B因为f(x)是定义在2b,3b上的偶函数，所以有2b3b0，解得b3，由函数f(x)在6,0上为增函数，得f(x)在(0,6上为减函数，故f(x1)f(3)f(|x1|)f(3)|x1|3，故2x4.5(20
3、19合肥调研)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，且在0,1上是减函数，则有()AfffBfffCfffDfffC因为f(x2)f(x)，所以f(x4)f(x2)f(x)，所以函数的周期为4，作出f(x)的草图，如图，由图可知fff.二、填空题6已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x4)f(x2)若当x3,0时，f(x)6x，则f(919)_.6f(x4)f(x2)，f(x6)f(x)，f(x)的周期为6，91915361，f(919)f(1)又f(x)为偶函数，f(919)f(1)f(1)6.7定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)f(x2)0，且f(4x)f(x)现有
4、以下三个命题：8是函数f(x)的一个周期；f(x)的图象关于直线x2对称；f(x)是偶函数其中正确命题的序号是_f(x)f(x2)0，f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)，f(x)的周期为4，故正确；又f(4x)f(x)，所以f(2x)f(2x)，即f(x)的图象关于直线x2对称，故正确；由f(x)f(4x)得f(x)f(4x)f(x)，故正确8已知定义在R上的奇函数yf(x)在(0，)内单调递增，且f0，则f(x)0的解集为_由奇函数yf(x)在(0，)内单调递增，且f0，可知函数yf(x)在(，0)内单调递增，且f0.由f(x)0，可得x或x0.三、解答题9设f(x)是定义域为
5、R的周期函数，最小正周期为2，且f(1x)f(1x)，当1x0时，f(x)x.(1)判断f(x)的奇偶性；(2)试求出函数f(x)在区间1,2上的表达式解(1)f(1x)f(1x)，f(x)f(2x)又f(x2)f(x)，f(x)f(x)又f(x)的定义域为R，f(x)是偶函数(2)当x0,1时，x1,0，则f(x)f(x)x；从而当1x2时，1x20，f(x)f(x2)(x2)x2.故f(x)10设函数f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x.(1)求f()的值；(2)当4x4时，求函数f(x)的图象与x轴所围成图形的面积解(1)由f(x2)f(x)得，f(x4
6、)f(x2)2f(x2)f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，所以f()f(14)f(4)f(4)(4)4.(2)由f(x)是奇函数且f(x2)f(x)，得f(x1)2f(x1)f(x1)，即f(1x)f(1x)故函数yf(x)的图象关于直线x1对称又当0x1时，f(x)x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示当4x4时，设f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S4SOAB44.1(2019江西临川第一中学期末)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的实数x，f(x2)f(x2)，当x(0,2)时，f(x)x2，则f()ABC.D.D因为f(x2)f(
7、x2)，所以f(x)f(x4)，所以f(x)是周期为4的函数，所以fff，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以ff，所以f.故选D.2(2019惠州调研)已知定义域为R的偶函数f(x)在(，0上是减函数，且f(1)2，则不等式f(log2x)2的解集为()A(2，) B.(2，)C.(，) D(，)Bf(x)是R上的偶函数，且在(，0上是减函数，所以f(x)在0，)上是增函数，因为f(1)2，所以f(1)2，所以f(log2x)2f(|log2x|)f(1)|log2x|1log2x1或log2x1x2或0x.故选B.3定义在R上的函数f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，f(x2)f(
8、x)且f(x)在1,0上是增函数，给出下列几个命题：f(x)是周期函数；f(x)的图象关于x1对称；f(x)在1,2上是减函数；f(2)f(0)，其中正确命题的序号是_(请把正确命题的序号全部写出来)因为f(xy)f(x)f(y)对任意x，yR恒成立令xy0，所以f(0)0.令xy0，所以yx，所以f(0)f(x)f(x)所以f(x)f(x)，所以f(x)为奇函数因为f(x)在x1,0上为增函数，又f(x)为奇函数，所以f(x)在0,1上为增函数由f(x2)f(x)f(x4)f(x2)f(x4)f(x)，所以周期T4，即f(x)为周期函数f(x2)f(x)f(x2)f(x)又因为f(x)为奇函
9、数所以f(2x)f(x)，所以函数关于x1对称由f(x)在0,1上为增函数，又关于x1对称，所以f(x)在1,2上为减函数由f(x2)f(x)，令x0得f(2)f(0)f(0)4已知函数yf(x)在定义域1,1上既是奇函数又是减函数(1)求证：对任意x1，x21,1，有f(x1)f(x2)(x1x2)0；(2)若f(1a)f(1a2)0，求实数a的取值范围解(1)证明：若x1x20，显然不等式成立若x1x20，则1x1x21，因为f(x)在1,1上是减函数且为奇函数，所以f(x1)f(x2)f(x2)，所以f(x1)f(x2)0.所以f(x1)f(x2)(x1x2)0成立若x1x20，则1x1
10、x21，同理可证f(x1)f(x2)0.所以f(x1)f(x2)(x1x2)0成立综上得证，对任意x1，x21,1，有f(x1)f(x2)(x1x2)0恒成立(2)因为f(1a)f(1a2)0f(1a2)f(1a)f(a1)，所以由f(x)在定义域1,1上是减函数，得即解得0a1.故所求实数a的取值范围是0,1)1定义在R上的函数f(x)满足：对任意xR有f(x4)f(x)；f(x)在0,2上是增函数；f(x2)的图象关于y轴对称则下列结论正确的是()Af(7)f(6.5)f(4.5)Bf(7)f(4.5)f(6.5)Cf(4.5)f(6.5)f(7)Df(4.5)f(7)f(6.5)D由知函
11、数f(x)的周期为4，由知f(x2)是偶函数，则有f(x2)f(x2)，即函数f(x)图象的一条对称轴是x2，由知函数f(x)在0,2上单调递增，则在2,4上单调递减，且在0,4上越靠近x2，对应的函数值越大，又f(7)f(3)，f(6.5)f(2.5)，f(4.5)f(0.5)，由以上分析可得f(0.5)f(3)f(2.5)，即f(4.5)f(7)f(6.5)故选D.2设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x1对称，对任意x1，x2，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)设f(1)2，求f，f；(2)证明：f(x)是周期函数解(1)由f(x1x2)f(x1)f(x2)，x1，x2，知f(x)f f0，x0,1f(1)fff，f(1)2，f2.ffff2，f2，f2.(2)证明：依题设，yf(x)关于直线x1对称，f(x)f(2x)又f(x)f(x)，f(x)f(2x)，f(x)f(2x)，f(x)是定义在R上的周期函数，且2是它的一个周期
