1、2015-2016学年江苏省南通市如东高中高一（下）期末数学试卷一、填空题1函数y=sin2x图象的振幅为_2已知角的终边经过点P（12，5），则tan的值为_3已知sinx+cosx=，则sin2x=_4直线l经过两点A（2，3），B（4，1），则直线l的斜率为_5直线2x+3y2=0与直线mx+（2m1）y+1=0垂直，则实数m的值为_6已知直线l经过直线xy+2=0和2x+y+1=0的交点，且直线l与直线x3y+2=0平行，则直线l的方程为_7函数y=2sin（3x+），的一条对称轴为，则=_8与点A（4，3），B（5，2），C（1，0）距离都相等的点的坐标为_9已知直线l过点P（2，2
2、），且直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为_10在三角形ABC中，A=45，b=，三角形ABC的面积为，则的值为_11已知M为三角形ABC的边BC的中点，过线段AM的中点G的直线分别交线段AB，AC于点P，Q若=x， =y，则x+y的值是_12若cos（）=，则cos（+）cos（2）=_13圆x2+y22ax=0上有且仅有一点满足：到定点O（0，0）与A（3，0）的距离之比为2，则实数a的取值范围为_14在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+2与圆O：x2+y2=1交于A，B两点，若圆O上存在点C满足=cos+sin，其中为锐角，则k的值为_二、解答题15已知向量=（1，s
3、inx），=（cosx，），其中x，（1）若，求实数x的值；（2）若，求向量的模|16在平面直角坐标系xOy中，已知A（3，0），B（0，4），C（6，t）（1）若点A，B，C在同一条直线上，求实数t的值；（2）若ABC是以BC为底边的等腰三角形，求ABC的面积17已知，均为锐角，且sin=，tan=（1）求+的值；（2）求cos（+2）的值18如图所示，某公园内从点A处出发有两条道路AB，AC连接到南北方向的道路BC从点A处观察点B和点C的方位角分别是PAB和PAC，且cosPAB=，cosPAC=，AB=2.5km（1）求AC和BC；（2）现有甲乙二人同时从点A处出发，甲以5km/h的速度
4、沿道路AC步行，乙以6km/h的速度沿ABC路线步行，问半小时后两人的距离是多少？19已知圆O：x2+y2=4交x轴于A，B两点，点P是直线x=4上一点，直线PA，PB分别交圆O于点N，M（1）若点N（0，2），求点M的坐标；（2）探究直线MN是否过定点，若过定点，求出该定点；若不存在，请说明理由20已知直线x+y+1=0与圆C：x2+y2+x2ay+a=0交于A，B两点（1）若a=3，求AB的长；（2）是否存在实数a使得以AB为直径的圆过原点，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由；（3）若对于任意的实数a，圆C与直线l始终相切，求出直线l的方程2015-2016学年江苏省南通市如东高
5、中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1函数y=sin2x图象的振幅为【考点】y=Asin（x+）中参数的物理意义【分析】由y=Asin（x+）中的振幅为A，即可求出答案【解答】解：函数y=sin2x图象的振幅为，故答案为：2已知角的终边经过点P（12，5），则tan的值为【考点】任意角的三角函数的定义【分析】根据题意任意角三角函数的定义即可求出【解答】解：由的终边经过点P（12，5），可知tan=，故答案为：3已知sinx+cosx=，则sin2x=【考点】二倍角的正弦【分析】对关系式sinx+cosx=等号两端平方，利用二倍角的正弦即可求得答案【解答】解：sinx+cosx=
6、，（sinx+cosx）2=1+sin2x=，sin2x=，故答案为：4直线l经过两点A（2，3），B（4，1），则直线l的斜率为1【考点】直线的斜率【分析】根据两点坐标求出直线l的斜率即可【解答】解：直线AB的斜率k=1，故答案为：15直线2x+3y2=0与直线mx+（2m1）y+1=0垂直，则实数m的值为【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【分析】由已知中直线2x+3y2=0与直线mx+（2m1）y+1=0垂直，根据两直线垂直，则对应系数乘积的和为0，可以构造一个关于m的方程，解方程即可得到答案【解答】解：若直线2x+3y2=0与直线mx+（2m1）y+1=0互相垂直，则2m+3（2m
7、1）=0解得m=故答案为：6已知直线l经过直线xy+2=0和2x+y+1=0的交点，且直线l与直线x3y+2=0平行，则直线l的方程为x3y+4=0【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【分析】由题意可得：两直线的交点为（1，1），再结合题意设所求直线为x3y+m=0，进而将点的坐标代入直线方程即可求出m的数值得到直线的方程【解答】解：由题意可得：联立两条直线的方程：解得：x=1，y=1，两直线的交点为（1，1），所求直线与直线x3y+2=0平行，设所求直线为x3y+m=0，13+m=0，解得：m=4，所求直线方程为：x3y+4=0故答案为：x3y+4=07函数y=2sin（3x+），的一条
8、对称轴为，则=【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】由题意可知，函数y=2sin（3x+）的对称轴方程为：3x+=k+，可求得x，结合题意分类讨论可求得【解答】解：函数y=2sin（3x+）的对称轴方程为：3x+=k+，x=，（kZ），又函数y=2sin（3x+），的一条对称轴为，当k=0时，由=得：=，符合题意；当k=1时，由=得：=，不符合题意；当k=1时，由=得：=，不符合题意；综上所述，=故答案为：=8与点A（4，3），B（5，2），C（1，0）距离都相等的点的坐标为（3，1）【考点】两点间距离公式的应用【分析】利用两点间的距离公式，建立方程，即可得出结论【解答】
9、解：设点的坐标为（x，y），则=，x=3，y=1，与点A（4，3），B（5，2），C（1，0）距离都相等的点的坐标为（3，1）故答案为：（3，1）9已知直线l过点P（2，2），且直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为x+y4=0或xy=0【考点】直线的点斜式方程【分析】设所求的直线l方程为x+y+m=0，或y=kx把点P（2，2）代入上述方程即可得出【解答】解：直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，设所求的直线l方程为x+y+m=0，或y=kx把点P（2，2）代入上述方程可得：m=4或k=1故所求的直线l方程为：x+y4=0或xy=0；故答案为：x+y4=0或xy=010在三角形A
10、BC中，A=45，b=，三角形ABC的面积为，则的值为【考点】正弦定理【分析】由已知利用三角形面积公式可求c，利用余弦定理可求a，进而利用正弦定理即可计算得解的值【解答】解：A=45，b=，三角形ABC的面积为，=bcsinA=c，解得：c=，由余弦定理可得：a=2，利用正弦定理可得： =故答案为：11已知M为三角形ABC的边BC的中点，过线段AM的中点G的直线分别交线段AB，AC于点P，Q若=x， =y，则x+y的值是4【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】由三点共线可知=+（1），由向量加法的三角形法则，即可求得=+，分别求得x和y，即可求得x+y的值【解答】解：三点P，G，Q共线，存
11、在实数使得=+（1），=（+）=+，=x， =y，=+，=，1=，则x+y=4+44=4，故答案为：412若cos（）=，则cos（+）cos（2）=0【考点】三角函数的化简求值【分析】由已知结合三角函数的诱导公式及二倍角的余弦得答案【解答】解：，cos（）=，又=，故答案为：013圆x2+y22ax=0上有且仅有一点满足：到定点O（0，0）与A（3，0）的距离之比为2，则实数a的取值范围为1，3【考点】直线与圆的位置关系【分析】求出到定点O（0，0）与A（3，0）的距离之比为2的点的轨迹是圆D，根据圆C上有且仅有一点满足到定点O与A的距离之比为2时，两圆相切，由此求出a的值【解答】解：圆x2
12、+y22ax=0可化为（xa）2+y2=a2，则圆心为C（a，0），半径为|a|；设圆上的点P（x，y），则|PO|=，|PA|=，由=2，得=2，化简得x2+y28x+12=0，化为标准方程是（x4）2+y2=4，其圆心是D（4，0），半径是2；当圆C上有且仅有一点满足到定点O与A的距离之比为2时，两圆相切；外切时|4a|=|a|+2，解得a=1；两圆内切时，|4a|=|a|2|，解得a=3；所以a的取值集合是1，3故答案为：1，314在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+2与圆O：x2+y2=1交于A，B两点，若圆O上存在点C满足=cos+sin，其中为锐角，则k的值为【考点】直线与圆的
13、位置关系；平面向量的基本定理及其意义【分析】设出A，B，C的坐标，由=cos+sin，把C的坐标用A，B的坐标表示，代入圆的方程，可得x1x2+y1y2=0，说明=0，求得圆心O到直线y=kx+2的距离为再由点到直线的距离公式列式求得k值【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0），由=cos+sin，得（x0，y0）=cos（x1，y1）+sin（x2，y2）=（x1cos+x2sin，y1cos+y2sin），代入，得整理得：sin2（x1x2+y1y2）=0，为锐角，sin20，则x1x2+y1y2=0，=0，则圆心O到直线y=kx+2的距离为由，解得：k=故答案为
14、：二、解答题15已知向量=（1，sinx），=（cosx，），其中x，（1）若，求实数x的值；（2）若，求向量的模|【考点】三角函数的化简求值；平面向量的坐标运算【分析】（1）利用向量共线的充要条件，列出方程求解即可（2）利用向量的垂直化简方程，然后求解向量的模【解答】解：（1）因为，所以，所以sin2x=1，因为，所以（2）因为，所以，所以tanx=2，所以16在平面直角坐标系xOy中，已知A（3，0），B（0，4），C（6，t）（1）若点A，B，C在同一条直线上，求实数t的值；（2）若ABC是以BC为底边的等腰三角形，求ABC的面积【考点】正弦定理【分析】（1）由题意知，由点A，B，C在同
15、一条直线上，可得，利用向量共线定理的坐标运算性质即可得出（2）ABC是以BC为底边的等腰三角形，可得AC=BC解得t，通过分类讨论可得：当t=4时，C（6，4），故直线AB的方程为：4x+3y12=0点C到直线AB的距离d利用ABC的面积S=d|AB|即可得出【解答】解：（1）由题意知，点A，B，C在同一条直线上，3t12=0，t=4（2）ABC是以BC为底边的等腰三角形，AC=BC，5=，解得t=4当t=4时，点A，B，C在同一条直线上，故舍去当t=4时，C（6，4），故直线AB的方程为：4x+3y12=0点C到直线AB的距离d=ABC的面积为17已知，均为锐角，且sin=，tan=（1）求
16、+的值；（2）求cos（+2）的值【考点】两角和与差的余弦函数；两角和与差的正切函数【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos，tan的值，利用两角和的正切函数公式可求tan（+）的值，结合范围+（0，），即可得解+的值；（2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin，cos的值，由（1）可知+2=，利用两角和的余弦函数公式即可计算得解【解答】解：（1）因为为锐角，且，所以，因为，又因为+（0，），所以（2）因为为锐角，且，所以，所以18如图所示，某公园内从点A处出发有两条道路AB，AC连接到南北方向的道路BC从点A处观察点B和点C的方位角分别是PAB和PAC，且cosPAB=
17、，cosPAC=，AB=2.5km（1）求AC和BC；（2）现有甲乙二人同时从点A处出发，甲以5km/h的速度沿道路AC步行，乙以6km/h的速度沿ABC路线步行，问半小时后两人的距离是多少？【考点】正弦定理【分析】（1）由诱导公式和正弦定理即可求出；（2）先判断所在的位置，再根据余弦定理即可求出【解答】（1）因为，AB=2.5km，所以在ABC中，所以，在ABC中，由正弦定理得：，（2）半小时后，假设甲位于点D，则AB=2.5km，假设乙位于点E，因为乙的路程为3km，大于2.5km，故点应位于道路BC上，且CE=0.6km，在CDE中，由余弦定理得：DE2=DC2+CE22DCCEcosC
18、=0.52+0.6220.50.60.6=0.52，所以DE=0.5km19已知圆O：x2+y2=4交x轴于A，B两点，点P是直线x=4上一点，直线PA，PB分别交圆O于点N，M（1）若点N（0，2），求点M的坐标；（2）探究直线MN是否过定点，若过定点，求出该定点；若不存在，请说明理由【考点】直线与圆的位置关系【分析】（1）写出直线AN的方程，求出点P的坐标，写出直线BP的方程，由直线BP与圆的方程组成方程组求出点M的坐标；（2）设出点P，写出直线AN的方程，与圆的方程联立求出点N的坐标，写出直线BM的方程，与圆的方程联立求出点M的坐标，从而求出直线MN过定点【解答】解：（1）因为点N（0，
19、2），A（2，0），所以直线AN的方程为y=x+2，令x=4，则P（4，6），又因为B（2，0），所以直线BP的方程为y=3（x2），由y=3（x2）及x2+y2=4，解得；（2）设P（4，t），因为点A（2，0），所以直线AN的方程为，由及x2+y2=4，解得，因为点B（2，0），所以直线BM的方程为，由及x2+y2=4，解得，过定点C（1，0），因为，所以kNC=kMC，所以M，N，C三点共线，所以直线MN恒过定点C（1，0）20已知直线x+y+1=0与圆C：x2+y2+x2ay+a=0交于A，B两点（1）若a=3，求AB的长；（2）是否存在实数a使得以AB为直径的圆过原点，若存在，求出实
20、数a的值；若不存在，请说明理由；（3）若对于任意的实数a，圆C与直线l始终相切，求出直线l的方程【考点】直线与圆的位置关系【分析】（1）把a=3代入圆的方程，化为标准方程，求出圆心坐标和半径，由点到直线距离公式求得圆心到直线的距离，再由垂径定理得答案；（2）联立直线方程和圆的方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得A，B的横坐标的和与积，结合以线段AB为直径的圆过原点得答案；（3）化圆的一般方程为标准方程，求出圆心坐标和半径，分直线l的斜率不存在、存在两种情况讨论求得直线l的方程【解答】解：（1）当a=3时，圆C：x2+y2+x6y+3=0的圆心，半径圆心C到直线x+y+1=0的距离，；（2）联立，得2x2+（2a+3）x+3a+1=0，以线段AB为直径的圆过原点，x1x2+y1y2=0，即2x1x2+x1+x2+1=0，得经检验符合题意；（3）圆C：x2+y2+x2ay+a=0的圆心，半径，当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为x=t，则当直线l与圆C相切时， =，解得t=a1或a，所求直线方程为x=a1或x=a；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为kxy+b=0，则圆心到直线的距离为=，整理得，即，由题，a为任意实数且，故1=1+k2且，解得k=0，所求直线方程为综上，圆的切线方程为x=a1或x=a或2016年9月27日
