1、-1-本章整合-2-本章整合 知识网络 专题归纳-3-本章整合 专题归纳 知识网络 专题一 专题二 专题三 专题一 利用柯西不等式、排序不等式求最值应用柯西不等式和排序不等式来解决最值问题,是一种常见的题型,也是不等式的重要应用.在解题过程中要注意:(1)充分利用已知中的定值;(2)验证等号是否成立;(3)综合应用不等式的性质.【例题 1】已知 x+2y+3z=1,求 x2+y2+z2的最小值.提示:利用柯西不等式进行变形.解:(x2+y2+z2)(12+22+32)(x+2y+3z)2=1,x2+y2+z2 114.当且仅当1=2=3,即 x=114,y=17,z=314时,x2+y2+z2
2、取最小值 114.-4-本章整合 专题归纳 知识网络 专题一 专题二 专题三【例题 2】在ABC 中,角 A,B,C 的对应边分别为 a,b,c.求式子+的范围.提示:可构造ABC 的边和角的序列,利用排序不等式求解.解:不妨设 abc,于是 ABC,由排序不等式,得aA+bB+cC=aA+bB+cC,aA+bB+cCbA+cB+aC,aA+bB+cCcA+aB+bC.上述三式相加,得 3(aA+bB+cC)(a+b+c)(A+B+C)=(a+b+c),所以+3.又由 0b+c-a,0a+b-c,0a+c-b,有0A(b+c-a)+C(a+b-c)+B(a+c-b)=a(B+C-A)+b(A+
3、C-B)+c(A+B-C)=a(-2A)+b(-2B)+c(-2C)=(a+b+c)-2(aA+bB+cC),得+v2vn为 v1,v2,vn从大到小的排列,则显然 11 120,求证:+重根号 +1.证明:(1)当 n=1 时,因为 +1,所以原不等式成立.(2)假设 n=k(kN+,且 k1)时,原不等式成立,即有 +重根号 +1.作数列xn,使 xn=+重根号,则 xk+1=+,xk+1,-10-本章整合 专题归纳 知识网络 专题一 专题二 专题三 从而 xk+1 +1 +2 +1=+1,即 xk+1 56(n2,nN+).提示:在证明中,要充分利用归纳假设,做好从 n=k 到 n=k+
4、1 的转化.证明:(1)当 n=2 时,左边=12+1+12+2+12+3+12+4=13+14+15+16=1920 56成立.(2)假设当 n=k(kN+,且 k2)时,不等式成立,即 1+1+1+2+13 56.当 n=k+1 时,1+2+1+3+13+13+1+13+2+13+3=1+1+1+2+13+13+1+13+2+13+3 1+1 56+13+1+13+2 23+3=56+9+5(3+1)(3+2)(3+3)56,当 n=k+1 时,不等式成立.综合(1)(2)得,原不等式成立.-12-本章整合 专题归纳 知识网络 专题一 专题二 专题三【例题 7】设实数 c0,整数 p1,n
5、N+.(1)证明:当 x-1 且 x0 时,(1+x)p1+px;(2)数列an满足 a11,an+1=-1 an+1-,证明:anan+11.(1)证明:用数学归纳法证明.当 p=2 时,(1+x)2=1+2x+x21+2x,原不等式成立.假设 p=k(k2,kN+)时,不等式(1+x)k1+kx 成立.当 p=k+1时,(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx21+(k+1)x.所以 p=k+1 时,原不等式也成立.-13-本章整合 专题归纳 知识网络 专题一 专题二 专题三 综合可得,当 x-1,x0 时,对一切整数 p1,不等式(1+x)p1+px 均成立.(2)先用数学归纳法证明 an1.当 n=1 时,由题设 a11知 an1成立.假设 n=k(k1,kN+)时,不等式 ak1成立.由 an+1=-1 an+1-易知 an0,nN+.当 n=k+1 时,+1=-1+-=1+1 -1.由 ak10 得-1-1 1 -1 1+p1 -1=.因此+1c,即 ak+11.所以 n=k+1 时,不等式 an1也成立.综合可得,对一切正整数 n,不等式 an1均成立.再由+1=1+1 -1 可得+1 1,即 an+1an+11,nN+.
