1、导数的概念 什么是平均变化率?什么是瞬时变化率?计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：（1）运动员在这段时间里是静止的吗？（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？49650 t人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度 h（单位：m）与起跳后的时间 t（单位：s）存在函数关系2()4.96.510h ttt 任意取一个时刻2 ，是时间改变量，可以是正值，也可以为负值，但是不为0 tt02+2tt 时，在，这段时间内(2)(2+)4.913.12(2+)hhtvtt=0.0113.051tv当 时，0.00113.0951tv当 时，0.000113.099
2、51tv当 时，0.0000113.099951tv当 时，0.00000113.0999951tv当 时，02,2+tt 时，在这段时间内(2+)(2)4.913.12+2hthvtt 0.0113.149tv当 时，0.00113.1049tv当 时，0.000113.10049tv当 时，0.0000113.100049tv当 时，0.00000113.1000049tv当 时，当t趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?从物理学的角度看，时间间隔 无限变小时，平均速度 就无限趋近于t=2时的瞬时速度，因此，运动员在t=2时的瞬时速度是 13.1m/s.tv.,.lim,1130211322
3、0定值趋近于确平均速度时趋势近于当表示我们用为了表述方便vttththt导数的概念 定义：设函数y=f(x)在点x0处及其附近有定义,当自变量x在点x0处有改变量x时函数有相应的改变量y=f(x0+x)-f(x0).如果当x0 时,y/x趋于一个固定的值，那么这个值就是函数f(x)在点x0 的瞬时变化率.在数学中,称瞬时变化率为函数y=f(x)在x0点的导数,通常用符号记作即:,|)(00 xxyxf或00000()()()limlim.xxf xxf xyfxxx .,:01平均变化率的极限时趋于当这个值称为xx说明：)(xf0 x0 xxyxy0 x1.函数在点处可导，是指时，有极限如果不
4、存在极限，就说函数在处不可导，或说无导数点x 是自变量x在0 x 处的改变量，0 x，而y 是函数值的改变量，可以是零2.3.瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称.例题讲解 例1.一条水管中流过的水量y（单位：）是时间x（单位：s）的函数.求函数 在x=2处的导数，并解释它的实际意义.3mxxfy3)(./3)2(,3,0,2)./(3323)2(3)2()2(:),2(323,22:33smfxxsmxxxxxfxfxyxxx所以平均变化率趋于趋于即时趋于当的平均变化率为关于函数值到变函数值从时变到从当解.3,1,2.,2)2(3mssxsxf水管中流过的水量为每经过时速度流动的话时的瞬以也
5、就是如果水管中的水的瞬时速度即水流时水量的瞬时变化率表示当导数例2.一名食品加工厂的工人上班后开始连续工作，生产的食品量y（单位：kg）是其工作时间x（单位：h）的函数,假设函数在x=1和x=3处的导数分别为和.试解释它们的实际意义.)(xfy)(xfy 4)1(f5.3)3(f例3.求在处 的导数.22yf xx1x 解:2222 12 14242xxxyxxxx 0lim4xyx 14f 求函数 y=f(x)的导数的一般步骤:1.求函数的改变量2.求平均变化率3.求极限);()(00 xfxxfy.lim)(00 xyxfx;)()(00 xxfxxfxy简记为:一差、二比、三极限归纳 巩
6、固练习 1.求函数 在 附近的平均变化率，并求出在该点处的导数 解：xxxf21x xxxxxy32)1()1(2200(1)(1)2(1)limlim(3)3xxyxxfxxx xxxyxy1111解：21111lim0 xx111x2.求在处的导数.yfxx1x 211 f,根据导数的定义 xfxfxy22.6f和 262,fhh就是原油温度的瞬时变化率时和第在第解xxx1527215272223.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第时，原油的温度（单位：）为计算第时和第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义xhC 2715 08f xxxx2h
7、6h,3742xxxxx,33limlim2,00 xxyfxx所以.56 f同理可得.运算过程请同学们自己完成具体./,;/,.,的速率上升原油温度大约以附近在率下降的速原油温度大约以附近它说明在第与分别为原油温度的瞬时变化率时与第在第hChhChhh0056325362.,情况附近的变化反映了原油温度在时刻一般地00 xxf1.导数的概念 小结 2.由导数的定义可知,求函数y=f(x)的导数的一般步骤:(1).求函数的改变量(2).求平均变化率(3).求值);()(00 xfxxfy;)()(00 xxfxxfxy.lim)(00 xyxfx简记为:一差、二比、三极限 3.导数的实际意义 思考题 设函数在处可导,则 xfy 0 xx xxfxxfx000lim0.xfA0.xfB 0.xfC0.xfD
