1、2013-2014学年广东省丰顺中学高三数学模拟试题（理科）六一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）（2013韶关三模）已知复数z=1+i，则=（）A2iB2iC1iD1+i2（5分）（2006福建）已知全集U=R，且A=x|x1|2，B=x|x26x+80，则（CUA）B等于（）A（2，3）B2，3C（2，3D（2，33（5分）（2013韶关三模）椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（）ABC2D44（5分）（2013韶关三模）ABC中，A=，BC=3，AB=，则C=（）ABCD或5（5
2、分）（2013韶关三模）已知等差数列an的前n项和为Sn，且S2=10，S5=55，则过点P（n，an）和Q（n+2，an+2）（nN*）的直线的斜率是（）A4B3C2D16（5分）（2013韶关三模）已知：函数f（x）的定义域为2，+），且f（4）=f（2）=1，f（x）为f（x）的导函数，函数y=f（x）的图象如图所示，则，所围成的平面区域的面积是（）A2B4C5D87（5分）（2013韶关三模）一台机床有的时间加工零件A，其余时间加工零件B，加工零件A时，停机的概率为，加工零件B时，停机的概率是，则这台机床停机的概率为（）ABCD8（5分）（2013韶关三模）在平面直角坐标系中，横坐标、
3、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f（x）的图象恰好通过n（nN+）个整点，则称函数f（x）为n阶整点函数有下列函数：f（x）=sin2x；g（x）=x3；（x）=lnx其中是一阶整点函数的是（）ABCD二.填空题（每小题5分，共30分）第13至15题，从3题中选答2题，多选按前2题记分9（5分）（2013韶关三模）若奇函数f（x）的定义域为p，q，则p+q=10（5分）（2013韶关三模）计算11（5分）（2013韶关三模）已知正三角形内切圆的半径是高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是 12（5分）（2013韶关三模）如图是用二分法求方程x416x+1=0在2，2的近似解的程序
4、框图，要求解的精确度为0.0001，则（*）处应填的内容是 13（5分）（2013韶关三模）设M、N分别是曲线+2sin=0和上的动点，则M、N的最小距离是 14（5分）（2013韶关三模）（几何证明选讲选做题） 如图，圆O是ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD=2，AB=BC=3则BD的长，AC的长15（2013韶关三模）已知x，yR+，且，则x2+y2=三、解答题16（12分）（2013韶关三模）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段40，50），50，60），90，100后画出如下部分频率分布直方图观察图形的信息，回答下列问题：（
5、）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；（） 估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（） 从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，求这两名学生的成绩均不低于80分的概率17（12分）（2013韶关三模）已知f（x）=，（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）当，求函数f（x）的零点18（14分）（2013韶关三模）如图，在三棱拄ABCA1B1C1中，AB侧面BB1C1C，已知（）求证：C1B平面ABC；（）试在棱CC1（不包含端点C，C1）上确定一点E的位置，使得EAEB1；（） 在（）的条件下，AB=，求二面角AEB1A1
6、的平面角的正切值19（14分）（2013韶关三模）在平面直角坐标系xoy中，设点F（1，0），直线l：x=1，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQFP，PQl（1）求动点Q的轨迹的方程；（2）记Q的轨迹的方程为E，过点F作两条互相垂直的曲线E的弦AB、CD，设AB、CD的中点分别为M，N求证：直线MN必过定点R（3，0）20（14分）（2013韶关三模）已知数列an中，且，（）求证：k=1；（）设，f（x）是数列g（x）的前n项和，求f（x）的解析式；（）求证：不等式对nN+恒成立21（14分）（2013韶关三模）已知函数f（x）=aln（1+ex）（a+1）x，（其中a0），点
7、A（x1，f（x1），B（x2，f（x2），C（x3，f（x3）从左到右依次是函数y=f（x）图象上三点，且2x2=x1+x3（）证明：函数f（x）在（，+）上是减函数；（）求证：ABC是钝角三角形；（）试问ABC能否是等腰三角形？若能，求ABC面积的最大值；若不能，请说明理由参考答案1.考点：复数代数形式的乘除运算分析：把复数z 代入，化简即可解答：解：=故选C点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题2.考点：元素与集合关系的判断专题：计算题分析：先解绝对值不等式求出集合A，再求出其补集，解一元二次不等式解出集合B，然后利用集合交集的定义求出即可解答：解：A=x|x3或x1，CUA=x
8、|1x3B=x|2x4，（CUA）B=（2，3，故答案为C点评：本题主要考查了集合的运算，属于以不等式为依托，求集合的交集、补集的基础题，也是高考常会考的题型3.考点：椭圆的简单性质专题：计算题；待定系数法分析：根据题意，求出长半轴和短半轴的长度，利用长轴长是短轴长的两倍，解方程求出m的值解答：解：椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，故选 A点评：本题考查椭圆的简单性质，用待定系数法求参数m的值4.考点：正弦定理的应用专题：计算题分析：利用正弦定理和题设中，BC，AB和A的值，进而求得sinC的值，则C可求解答：解：由正弦定理，即，sinC=（C=时，三角形内角和大于，不
9、合题意舍去）故选B点评：本题主要考查了正弦定理的应用正弦定理可用于两种情况的解三角形问题：一是已知两角，和任意一角，求得其它两边和一角；二是已知两边和其中一边对角，求其他的边和角5.考点：等差数列的通项公式；直线的斜率专题：计算题分析：先根据等差数列的求和公式和S2=10，S5=55，求得d进求的an，进而根据直线的斜率进而得出答案解答：解：由题意知解得a1=3，d=4直线的斜率为=4故答案选A点评：本题主要考查等差数列的性质属基础题6.考点：二元一次不等式（组）与平面区域；函数的单调性与导数的关系专题：数形结合分析：利用导函数的图象判断出函数的单调性；利用函数的单调性化简不等式f（2a+b）
10、1；画出不等式组表示的平面区域；利用三角形的面积公式求出区域的面积解答：解：由导函数的图象得到f（x）在2，0递减；在0，+）递增f（4）=f（2）=1f（2a+b）122a+b4表示的平面区域如下所以平面区域的面积为故选B点评：本题考查函数的单调性与导函数符号的关系、考查利用函数的单调性求抽象不等式、考查如何画不等式组表示的平面区域7.考点：相互独立事件的概率乘法公式专题：计算题；概率与统计分析：加工零件A停机的概率是，加工零件B停机的概率是（1），由此能求出这台机床停机的概率解答：解：加工零件A停机的概率是=，加工零件B停机的概率是（1）=，所以这台机床停机的概率是=故选A点评：本题考查相
11、互独立事件的概率乘法公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化8.考点：函数的图象与图象变化专题：压轴题；新定义分析：根据新定义的“一阶整点函数”的要求，对于四个函数一一加以分析，它们的图象是否通过一个整点，从而选出答案即可解答：解：对于函数f（x）=sin2x，它只通过一个整点（0，0），故它是一阶整点函数；对于函数g（x）=x3，当xZ时，一定有g（x）=x3Z，即函数g（x）=x3通过无数个整点，它不是一阶整点函数；对于函数h（x）=，当x=0，1，2，时，h（x）都是整数，故函数h（x）通过无数个整点，它不是一阶整点函数；对于函数（x）=lnx，它只通过一个整点（1
12、，0），故它是一阶整点函数故选：C点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题，解决本题的关键是对于新定义的概念的理解，即什么叫做：“一阶整点函数”9.考点：函数奇偶性的性质；函数的定义域及其求法专题：函数的性质及应用分析：由奇函数f（x）的定义域p，q关于原点对称，可得答案解答：解：因为奇函数f（x）的定义域p，q关于原点对称，故有p=q，即p+q=0故答案为：0点评：本题考查函数的奇偶性和定义域，属基础题10.考点：定积分专题：计算题分析：由定积分的定义，令F（x）=2x1，则F（x）=x2x，由公式求出积分值解答：解：由导数的运算法则知当F（x）=x2x时，F（x）=2x1 由定
13、积分的定义 得03（2x1）dx=F（3）F（0）=93=6 故答案为 6点评：本题考点是定积分，此类题高中要求较低，能根据公式求值即可11.考点：类比推理专题：探究型分析：连接球心与正四面体的四个顶点把正四面体分成四个高为r的三棱锥，正四面体的体积，就是四个三棱锥的体积的和，求解即可解答：解：球心到正四面体一个面的距离即球的半径r，连接球心与正四面体的四个顶点把正四面体分成四个高为r的三棱锥，所以4 Sr=Sh，r=h（其中S为正四面体一个面的面积，h为正四面体的高）故答案为：正四面体内切球半径是高的点评：本题考查类比推理，解题的关键是明确类比的方法，明确正三角形面积、正四面体体积的计算方法
14、12.考点：选择结构专题：规律型分析：由已知得该程序的作用是用二分法求方程x416x+1=0在2，2的近似解，通过（*）框的作用是判断零在在二分区间后的哪个区间上，根据零存在定理，及判断框的“是”、“否”指向，不难得到该框是判断a，m的函数值是否异号，从而决定是否继续循环的语句解答：解：由已知得该程序的作用是用二分法求方程x416x+1=0在2，2的近似解，（*）框的作用是判断零在在二分区间后的哪个区间上，根据零存在定理，及判断框的“是”、“否”指向，不难得到该框是判断a，m的函数值是否异号故（*）框填：f（a）f（m）0或f（b）f（m）0；故答案为：f（a）f（m）0或f（b）f（m）0点
15、评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：分支的条件循环的条件变量的赋值变量的输出其中前两点考试的概率更大此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误13.考点：简单曲线的极坐标方程专题：计算题分析：先将原极坐标方程+2sin=0和化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行求解即可解答：解：将原极坐标方程+2sin=0，化为：2+2sin=0，化成直角坐标方程为：x2+y2+2y=0，即x2+（y+1）2=1将原极坐标方程，化为：sin+cos=1，化成直角坐标方程为：x+y1=0，则M、N的最小距离=圆心
16、到直线的距离半径=故填：点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用cos=x，sin=y，2=x2+y2，进行代换即得14.考点：与圆有关的比例线段专题：计算题；压轴题分析：由已知CD是过点C圆的切线，根据切割线定理及已知中CD=2，AB=3，易求出BD的长，进而求出AD的长，由弦切角定理可得：DCB=A，又由D是DCB与DAC的公共角，我们易得DCBDAC根据三角形相似对应边成比例，我们即可求出AC的长解答：解：CD是过点C圆的切线DBA为圆的割线由切割线定理得：CD2=DBDA由CD=2，AB=3解得BD=4由弦切角定理可得：DCB=A，又由D=DDCB
17、DACBCDA=ACDC由BC=3，DA=7，CD=2，得AC=故答案为：4，点评：本题考查的知识点是切割线定理，弦切角定理，三角形相似的判定与性质，要求线段的长，我们一般要要先分析已知线段与未知线段的位置关系，再选择恰当的定理或性质进行解答15.考点：两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系专题：三角函数的求值分析：令x=sinA，y=sinB，然后根据同角三角函数的基本关系得出cosA=和cosB=，从而由两角和与差公式得出sin（A+B）=1，再求得A=B，最后代入即可得出结果解答：解：令x=sinA，y=sinB，其中A，B0，cosA= cosB=，sinAcosB+sinBc
18、osA=1即sin（A+B）=1A+B=，A=BsinA=sin（B）=cosBx2+y2=sin2A+sin2B=sin2（B）+sin2B=cos2B+sin2B=1故答案为：1点评：此题考查了两角和与差公式以及同角三角函数的基本关系，熟练掌握公式是解题的关键，属于中档题16.考点：用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图；等可能事件的概率专题：图表型分析：（I）利用频率分布直方图中的各组的频率和等于1，求出第四小组的频率，求出纵坐标，补全这个频率分布直方图即可（II）求出60及以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率和；利用组中值估算抽样学生的平均值为各组的中点乘以各组的频率和为平均
19、值（）先算出分数在“70，80），80，90），90，100”的人数是18，15，3，利用组合知识得到从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人有C362，再利用分类计数原理求出这两名学生的成绩均不低于80分的种数，最后利用概率公式计算即可解答：解：（）因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：f4=1（0.025+0.0152+0.01+0.005）10=0.3（2分），频率分布直方图第四小组的纵坐标是：=0.03，直方图如右所示 （4分）（）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为 （0.015+0.03+0.025+0.005）10=0.75所以，抽样学生成绩的合格率
20、是75% （6分）利用组中值估算抽样学生的平均分45f1+55f2+65f3+75f4+85f5+95f6（8分）=450.1+550.15+650.15+750.3+850.25+950.05=71估计这次考试的平均分是71（分） （9分）（）在“70，80），80，90），90，100”上的人数分别是18，15，3所以从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，这两名学生的成绩均不低于80（分）的概率（12分）点评：本题考查频率分布直方图、等可能事件的概率等在频率分布直方图中，数据的平均值等于各组的中点乘以各组的频率之和；频率等于纵坐标乘以组距；属于基础题17.考点：三角函数的周期性及
21、其求法；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦专题：计算题分析：（1）利用两角和公式对函数解析式化简整理后利用三角函数的周期公式求得函数的最小正周期（2）f（x）=0，求得cos（2x+）的值，进而利用x的范围，求得x的值解答：解：（1）f（x）=cos2xsin2x=故T=（2）令f（x）=0，=0，又解得函数f（x）的零点是点评：本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，两角和公式的和二倍角公式的化简求值考查了基础知识的综合运用18.考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法专题：计算题；证明题分析：（I）由已知中AB侧面BB1C1C，易得ABBC1，又
22、由，解BC1C得C1BBC，进而根据线面垂直的判定定理，即可得到C1B平面ABC；（）由EAEB1，ABEB1，我们易得B1E平面ABE，BEB1E，设CE=x，则C1E=2x，由余弦定理，我们易判断E为CC1的中点时，EAEB1（III）取EB1的中点D，A1E的中点F，BB1的中点N，AB1的中点M，连DF，DN，MN，MF，则MNDF为矩形，MDAE，由A1B1EB1，BEEB1故MDF为所求二面角的平面角，解RtDFM中，即可得到二面角AEB1A1的平面角的正切值解答：证明：（）因为AB侧面BB1C1C，故ABBC1在BC1C中，由余弦定理有故有BC2+BC12=CC12C1BBC而B
23、CAB=B且AB，BC平面ABCC1B平面ABC（）由EAEB1，ABEB1，ABAE=A，AB，AE平面ABE从而B1E平面ABE且BE平面ABE故BEB1E不妨设CE=x，则C1E=2x，则BE2=1+x2x又则B1E2=1+x2+x在RtBEB1中有x2+x+1+x2x+1=4从而x=1（舍负）故E为CC1的中点时，EAEB1（）取EB1的中点D，A1E的中点F，BB1的中点N，AB1的中点M连DF则DFA1B1，连DN则DNBE，连MN则MNA1B1连MF则MFBE，且MNDF为矩形，MDAE又A1B1EB1，BEEB1故MDF为所求二面角的平面角在RtDFM中，点评：本题考查的知识点
24、是直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，二面角的平面角及求法，其中熟练掌握空间直线与平面的平行、垂直的判定、性质、定义及几何特征是解答此类问题的关键 19.考点：轨迹方程；恒过定点的直线；直线与圆锥曲线的综合问题专题：计算题；证明题分析：（1）由已知条件知，点R是线段FP的中点，RQ是线段FP的垂直平分线，点Q的轨迹E是以F为焦点，l为准线的抛物线，写出抛物线标准方程（2）设出直线AB的方程，把A、B坐标代入抛物线方程，再利用中点公式求出点M的坐标，同理可得N的坐标，求出直线MN的斜率，得到直线MN的方程并化简，可看出直线MN过定点解答：解：（）依题意知，直线l的方程为：x=1，设直线l
25、与x轴交于点K（1，0），由OK平行于直线l可得，OR是FPK的中位线，故点R是线段FP的中点又RQFP，RQ是线段FP的垂直平分线|PQ|是点Q到直线l的距离点Q在线段FP的垂直平分线，|PQ|=|QF|故动点Q的轨迹E是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为：y2=4x（x0）（）设A（xA，yA），B（xB，yB），M（xM，yM），N（xN，yN），直线AB的方程为y=k（x1）则（1）（2）得，即，代入方程y=k（x1），解得 所以点M的坐标为同理可得：N的坐标为（2k2+1，2k） 直线MN的斜率为，方程为；，整理得y（1k2）=k（x3），显然，不论k为何值，（3，0）均满足方程
26、，所以直线MN恒过定点R（3，0）点评：本题考查轨迹方程的求法、抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，直线过定点问题，属于难题20.考点：数列递推式；函数解析式的求解及常用方法；数列的求和；不等式的证明专题：等差数列与等比数列分析：（I）利用中n=2，及a1=1，得到a3a1=a2a1，即；再利用，得到，即可证明（II）利用“累成求积”即可得到g（x），再利用“错位相减法”及等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出f（x）；（III）利用（2）中f（x）的表达式，取x=2，则=（n1）2n+1，又，利用数学归纳法证明：不等式对nN+恒成立解答：（I）证明：，又则a3a1=a2a1，即，又
27、，a2=2kk+1=2k，解得k=1（2），=n（n1）21=n!=nxn1当x=1时，当x1时，f（x）=1+2x+3x2+nxn1得xf（x）=x+2x2+3x3+（n1）xn1+nxn两式相减得（1x）f（x）=1+x+x2+xn1nxn=f（x）=综上所述：（3）利用（2）中f（x）的表达式，取x=2，则=（n1）2n+1，又，下面利用数学归纳法证明：不等式对nN+恒成立易验证当n=1，2，3时不等式恒成立； 假设n=k（k3），不等式成立，即3k（k1）2k+1两边乘以3得：3k+13（k1）2k+3=k2k+1+1+3（k1）2kk2k+1+2又因为3（k1）2kk2k+1+2=2
28、k（3k32k）+2=（k3）2k+20所以3k+1k2k+1+1+3（k1）2kk2k+1+2k2k+1+1即n=k+1时不等式成立故不等式恒成立点评：本题综合考查了等差数列与等比数列的前n项和公式、“累成求积”、“错位相减法”，及其数学归纳法，需要较强的推理能力和计算能力21.考点：利用导数研究函数的单调性；数量积表示两个向量的夹角；两点间距离公式的应用专题：计算题；综合题；转化思想分析：（）f（x）=aln（1+ex）（a+1）x，欲证函数f（x）在（，+）上是单调减函数，只须证明其导数f（x）0即可；（）先设A（x1，f（x1），B（x2，f（x2），C（x3，f（x3）且x1x2x3
29、，欲证：ABC是钝角三角形，只须证明其中一个内角为钝角即可，结合向量的坐标运算，只须证明：即得；（）假设ABC为等腰三角形，则只能是，再利用平面内两点的距离公式将点的坐标代入计算，如出现矛盾，则ABC不可能为等腰三角形，如不矛盾，则ABC能是等腰三角形解答：解：（）f（x）=aln（1+ex）（a+1）x，恒成立，所以函数f（x）在（，+）上是单调减函数（3分）（）证明：据题意A（x1，f（x1），B（x2，f（x2），C（x3，f（x3）且x1x2x3，由（）知f（x1）f（x2）f（x3），x2=（4分）可得A（x1，f（x1），B（x2，f（x2），C（x3，f（x3）三点不共线（反证法
30、：否则，得x1=x3）（6分）x1x20，x3x20，f（x1）f（x2）0，f（x3）f（x2）0，即ABC是钝角三角形（8分）（）假设ABC为等腰三角形，则只能是即：（x1x2）2+f（x1）f（x2）2=（x3x2）2+f（x3）f（x2）2x2x1=x3x2f（x1）f（x2）2=f（x3）f（x2）2即2f（x2）=f（x1）+f（x3）（11分）而事实上，由于，故（2）式等号不成立这与（1）式矛盾所以ABC不可能为等腰三角形（13分）点评：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、数量积表示两个向量的夹角、两点间距离公式的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想
