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2020数学新教材同步导学提分教程人教A第二册讲义:第六章 平面向量及其应用 6-4 6-4-1 WORD版含答案.doc

上传人:高**** 文档编号:230499 上传时间:2024-05-26 格式:DOC 页数:8 大小:286.50KB
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资源描述

1、6.4.1平面几何中的向量方法知识点一向量在几何中的应用(1)平面几何图形的许多性质,如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来(2)用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;把运算结果“翻译”成几何关系知识点二向量在平面几何中常见的应用(1)证明线段平行或点共线问题,以及相似问题,常用平行向量基本定理:abab(R,b0)x1y2x2y10(a(x1,y1),b(x2,y2)(2)证明线段垂直问题,如证明四边形是矩形、正方形,判断

2、两直线(或线段)是否垂直等,常用向量垂直的条件:abab0x1x2y1y20(a(x1,y1),b(x2,y2)(3)求角问题,利用公式:cosa,b(a(x1,y1),b(x2,y2)(4)求线段的长度或说明线段相等,常用公式:|a|(a(x,y)或AB|(A(x1,y1),B(x2,y2)向量在几何中的应用(1)利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题利用向量解决平面几何问题时,有两种思路:一种思路是选择一个基底(而选择的基底的长度和夹角应该是已知的,这样方便计算),利用基向量表示涉及的向量;一种思路是建立坐标系,求出题目中涉及到的向量的坐标这两种思路都是通过向量的计算

3、获得几何命题的证明(2)向量解决几何问题就是把点、线、面等几何要素直接归纳为向量,对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论,然后把这些计算的结果翻译成关于点、线、面的相应结果,可以简单表述为“形到向量向量的运算向量和数到形”1判一判(正确的打“”,错误的打“”)(1)若ABC是直角三角形,则有0.()(2)若,则直线AB与CD平行()(3)向量,的夹角就是直线AB,CD的夹角()答案(1)(2)(3)2做一做(1)在四边形ABCD中,0,则四边形ABCD是()A直角梯形 B菱形C矩形 D正方形(2)设O是ABC内部一点,且2,则AOB与AOC的面积之比为_答案(1)C(2)12题型一 向量在平面

4、几何证明问题中的应用例1在直角梯形ABCD中,ABCD,CDADAB90,CDDAAB,求证:ACBC证明证法一:CDADAB90,ABCD,CDDAAB,故可设e1,e2,|e1|e2|,则2e2.e1e2,(e1e2)2e2e1e2.而(e1e2)(e1e2)ee|e1|2|e2|20,即ACBC证法二:如图,建立直角坐标系,设CD1,则A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,1)(1,1),(1,1)(1,1)(1,1)110.ACBC用向量证明平面几何问题的两种基本思路(1)向量的线性运算法的四个步骤选取基底;用基底表示相关向量;利用向量的线性运算或数量积找相应关系;把几何问

5、题向量化(2)向量的坐标运算法的四个步骤建立适当的平面直角坐标系;把相关向量坐标化;用向量的坐标运算找相应关系;把几何问题向量化已知在平行四边形ABCD中,E,F是对角线AC上的两点,且AEFCAC,试用向量方法证明四边形DEBF也是平行四边形证明设a,b,则a(ab)aba,bba,所以,且D,E,F,B四点不共线,所以四边形DEBF是平行四边形 题型二 向量在平面几何计算问题中的应用例2已知在RtABC中,C90,设ACm,BCn.(1)若D为斜边AB的中点,求证:CDAB;(2)若E为CD的中点,连接AE并延长交BC于点F,求AF的长度(用m,n表示) 解(1)证明:以C为坐标原点,以边

6、CB,CA所在的直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,如图所示,A(0,m),B(n,0)D为AB的中点,D.| ,|,|,即CDAB(2)E为CD的中点,E,设F(x,0),则,(x,m)A,E,F三点共线,即(x,m).则故,x,F,| ,即AF .用向量法求平面几何中的长度问题,即向量的模的求解,一是利用图形特点选择基底,向向量的数量积转化,利用公式|a|2a2求解;二是建立平面直角坐标系,确定相应向量的坐标,代入公式求解,即若a(x,y),则|a|.如图,平行四边形ABCD中,已知AD1,AB2,对角线BD2,求对角线AC的长解设a,b,则ab,ab,而|ab|2,52ab4,ab.

7、又|2|ab|2a22abb2142ab6,|,即AC.1已知|a|2,|b|2,向量a,b的夹角为30,则以向量a,b为邻边的平行四边形的一条对角线的长度为()A10 B C2 D22答案C解析以向量a,b为邻边的平行四边形的对角线为ab与ab.|ab| 2,|ab| 2.2已知A,B,C,D四点的坐标分别是(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),则此四边形为()A梯形 B菱形C矩形 D正方形答案A解析由题意得(3,3),(2,2),|.故选A3平面上有三个点A(2,y),B,C(x,y)(x0),若,则满足条件的x,y的关系式是_答案y28x(x0)解析,2x0,y28x(x0)4

8、在矩形ABCD中,边AB,AD的长分别为2,1.若M,N分别是边BC,CD上的点,且满足,则的取值范围是_答案1,4解析解法一:设(01),则,(1)(1),则()()()(1)(1)22(1).0,43.01,14,即的取值范围是1,4解法二:如图所示,以点A为坐标原点,以边AB所在直线为x轴,边AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系因为AB2,AD1,所以A(0,0),B(2,0),D(0,1),C(2,1)设t0,1,则|t,|2t.则M(2,t),N(22t,1),故44tt43t,又t0,1,所以()max4304,()min4311.故的取值范围是1,45如图,在OACB中,BDBC,OD与BA相交于点E.求证:BEBA证明O,E,D三点共线,向量与向量共线则存在实数1,使得1.而,则1.又A,E,B三点共线,与共线,则存在实数2,使22()22.而,221.即(12)21.与不共线,2.,即BEBA

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