1、2021-2022学年山东省烟台市莱州一中高三（上）开学收心数学试卷一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）. 1复数的虚部是（）ABCD2已知圆锥的表面积等于12cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为（）A1cmB2cmC3cmD3函数f（x）2lnxx的单调递增区间是（）A（0，+）B（3，1）C（1，+）D（0，1）4已知|，|4，当（4）时，向量与的夹角为（）ABCD5已知f（x）是定义域为（，+）的奇函数，满足f（1x）f（1+x），若f（1）2，则f（1）+f（2）+f（3）+f（50）（）A50B0C2D506O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，
2、动点P满足，0，+），则P的轨迹一定通过ABC的（）A外心B垂心C内心D重心7如图，在ABC中，点O是BC的中点过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若m，n，则m+n的值为（）A1B2C2D8已知直线ya分别与直线y2x2和曲线y2ex+x相交于点A，B，则线段AB长度的最小值为（）AB3ln2C2e1D3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得2分。9定义在R上的可导函数yf（x）的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（）A3是f（x）的一个极小值点B2和1都是f（x）的极大值
3、点Cf（x）的单调递增区间是（3，+）Df（x）的单调递减区间是（，3）10下列命题中，正确的是（）A在ABC中，AB，则sinAsinBB在锐角ABC中，不等式sinAcosB恒成立C在ABC中，若acosAbcosB，则ABC必是等腰直角三角形D在ABC中，若B60，b2ac，则ABC必是等边三角形11在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点M在棱CC1上，则下列结论正确的是（）A直线BM与平面ADD1A1平行B平面BMD1截正方体所得的截面为三角形C异面直线AD1与A1C1所成的角为D|MB|+|MD1|的最小值为121487年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并
4、写下公式：eicos+isin，这个公式在复变函数中有非常重要的地位，即著名的“欧拉公式”，被誉为“数学中的天桥”，据欧拉公式，则（）AeiB|e|1C（）31Dcos三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是 14在ABC中，已知C120，sinB2sinA，且ABC的面积为，则AB的长为 15若函数f（x）（a，bR）为奇函数，则f（a+b）的值为 16如图，在平面四边形ABCD中，已知AD3，BC4，E，F为AB，CD的中点，P，Q为对角线AC，BD的中点，则的值
5、为 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。17已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x0时，f（x）x24x现已画出函数f（x）在y轴右侧的图象，如图所示（）画出函数f（x）在y轴左侧的图象，根据图象写出函数f（x）在R上的单调区间；（）求函数f（x）在R上的解析式；（）解不等式xf（x）018已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，且asinBbcosA0（1）求角A；（2）若a，b3，求ABC的面积19设函数，曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程为y1（1）求b，c的值；（2）设函数g（x）f（x）+2x若g（x）在区间（2，3
6、）上单调递增，实数a的取值范围；若g（x）在区间（2，1）内存在单调递减的区间，求实数a的取值范围20某公司研发甲、乙两种新产品，根据市场调查预测，甲产品的利润y（单位：万元）与投资x（单位：万元）满足：f（x）alnxbx+3（a，bR，a，b为常数），且曲线yf（x）与直线ykx在（1，3）点相切；乙产品的利润与投资的算术平方根成正比，且其图象经过点（4，4）（）分别求甲、乙两种产品的利润与投资资金间的函数关系式；（）已知该公司已筹集到40万元资金，并将全部投入甲、乙两种产品的研发，每种产品投资均不少于10万元问怎样分配这40万元投资，才能使该公司获得最大利润？其最大利润约为多少万元？（参
7、考数据：ln102.303，ln152.708，ln202.996，ln253.219，ln303.401）21已知二次函数f（x）ax2+bx+c，且满足f（0）2，f（x+1）f（x）2x+1（）求函数f（x）的解析式；（）若关于x的方程f（x）m0在x1，2上有解，求实数m的取值范围；（）当xt，t+2（tR）时，求函数f（x）的最小值（用t表示）22已知函数f（x）x1alnx（其中a为参数）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若对任意x（0，+），都有f（x）0成立，求实数a的取值集合；（3）证明：（1+）ne（1+）n+1（其中nN*，e为自然对数的底数）参考答案一、单项选择题（
8、共8小题，每小题5分，共40分）. 1复数的虚部是（）ABCD解：，复数的虚部是故选：D2已知圆锥的表面积等于12cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为（）A1cmB2cmC3cmD解：设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，侧面展开图是一个半圆，l2rl2r，圆锥的表面积为12，r2+rl3r212，r2，故圆锥的底面半径为2（cm）故选：B3函数f（x）2lnxx的单调递增区间是（）A（0，+）B（3，1）C（1，+）D（0，1）解：；解得，0x1；f（x）的单调递增区间是（0，1）故选：D4已知|，|4，当（4）时，向量与的夹角为（）ABCD解：根据题意，设向量与的夹角为，若（4
9、），则（4）4216cos160，变形可得：cos，又由0，则，故选：B5已知f（x）是定义域为（，+）的奇函数，满足f（1x）f（1+x），若f（1）2，则f（1）+f（2）+f（3）+f（50）（）A50B0C2D50解：f（x）是奇函数，且f（1x）f（1+x），f（1x）f（1+x）f（x1），f（0）0，则f（x+2）f（x），则f（x+4）f（x+2）f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，f（1）2，f（2）f（0）0，f（3）f（12）f（1）f（1）2，f（4）f（0）0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）2+02+00，则f（1）+f（2）+f（3）+f（50）
10、12f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（49）+f（50）f（1）+f（2）2+02，故选：C6O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，0，+），则P的轨迹一定通过ABC的（）A外心B垂心C内心D重心解：令D为BC的中点，则+（+）+2，于是有2，点A、D、P共线，即点P的轨迹通过三角形ABC的重心故选：D7如图，在ABC中，点O是BC的中点过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若m，n，则m+n的值为（）A1B2C2D解：由已知得，结合m，n，所以又因为O，M，N三点共线，所以，所以m+n2故选：B8已知直线ya分别与直线y2x2和曲线y2ex+
11、x相交于点A，B，则线段AB长度的最小值为（）AB3ln2C2e1D3解：已知直线ya与直线y2x2，曲线y2ex+x分别交点A，B，设A（x1，a），B（x2，a），则有2x122ex2+x2，变形可得x1（2+2ex2+x2）1+ex2+x2，又由|AB|x1x2|1+ex2+x2x2|1+ex2x2|，设g（x）1+exx，g（x）ex，则当xln时，g（x）0，函数g（x）在（，ln）为减函数，当xln时，g（x）0，函数g（x）在（ln，+）为增函数，则g（x）1+exx有最小值g（ln），且g（ln）1+ln0，则|AB|，即线段AB长度的最小值是故选：A二、多项选择题：本题共4小
12、题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得2分。9定义在R上的可导函数yf（x）的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（）A3是f（x）的一个极小值点B2和1都是f（x）的极大值点Cf（x）的单调递增区间是（3，+）Df（x）的单调递减区间是（，3）解：当x（，3）时，f（x）0，f（x）单调递减；当x（3，1）时，f（x）0，f（x）单调递增，3是f（x）的极小值点，故选项A正确；由图可知，当x（3，+）时，f（x）0，f（x）的递增区间为（3，+），故选项C正确；由图可知，当x（，3）时，f（x）0，f（x）的递减区间
13、为（，3），故选项D正确；又f（x）在x2和x1两侧同号，2，1不是f（x）的极值点，故选项B错误；故选：ACD10下列命题中，正确的是（）A在ABC中，AB，则sinAsinBB在锐角ABC中，不等式sinAcosB恒成立C在ABC中，若acosAbcosB，则ABC必是等腰直角三角形D在ABC中，若B60，b2ac，则ABC必是等边三角形解：对于A，由AB，可得：ab，利用正弦定理可得：sinAsinB，正确；对于B，在锐角ABC中，A，B（0，），A+B，AB0，sinAsin（B）cosB，因此不等式sinAcosB恒成立，正确对于C，在ABC中，由acosAbcosB，利用正弦定理可
14、得：sinAcosAsinBcosB，sin2Asin2B，A，B（0，），2A2B或2A22B，AB或，ABC是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，C错误对于D，由于B600，b2ac，由余弦定理可得：b2aca2+c2ac，可得（ac）20，解得ac，可得ACB60，故正确故选：ABD11在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点M在棱CC1上，则下列结论正确的是（）A直线BM与平面ADD1A1平行B平面BMD1截正方体所得的截面为三角形C异面直线AD1与A1C1所成的角为D|MB|+|MD1|的最小值为解：对于选项A，如图1所示，因为平面BCC1B1平面ADD1A1，BM平面BC
15、C1B1，则直线BM与平面ADD1A1平行，故选项A正确；对于选项B，如图1所示，平面BMD1截正方体所得的截面为四边形，故选项B错误；对于选项C，如图2所示，异面直线AD1与A1C1所成的角为D1AC，故异面直线AD1与A1C1所成的角为，故选项C正确；对于选项D，如图3所示，|MB|+|MD1|MD|+|MD1|，如图4所示，原问题等价于：CC1DD1，CC1和DD1的距离为1，在CC1上找一点M使得M到D和D1两点间的距离之和最小，只需找到D1关于CC1的对称点E，|MD|+|MD1|的最小值即为线段ED的长度，故，故选项D错误故选：AC121487年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三
16、角函数的关系，并写下公式：eicos+isin，这个公式在复变函数中有非常重要的地位，即著名的“欧拉公式”，被誉为“数学中的天桥”，据欧拉公式，则（）AeiB|e|1C（）31Dcos解：A.cos+isini，正确；Bcos+isin，|1，正确；C+i，+i1，不正确；D右边，正确故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是 解：根据题意：如图所示：设圆柱的底面半径为R，则圆柱的高为2R，所以圆柱的体积，球的体积为：，所以：故答案为：14在ABC中，已知C
17、120，sinB2sinA，且ABC的面积为，则AB的长为2解：sinB2sinA，由正弦定理可得，b2a，sABC2，a2，b4，由余弦定理可得，c2a2+b22abcosC28，c2，故答案为：215若函数f（x）（a，bR）为奇函数，则f（a+b）的值为1解：函数f（x）为奇函数，故f（x）f（x）恒成立，故即，f（x），f（a+b）f（1）121，故答案为：116如图，在平面四边形ABCD中，已知AD3，BC4，E，F为AB，CD的中点，P，Q为对角线AC，BD的中点，则的值为解：如图，连接FP，FQ，EP，EQ，E，F为AB，CD的中点，P，Q为对角线AC，BD的中点，四边形EPFQ
18、为平行四边形，且AD3，BC4，故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。17已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x0时，f（x）x24x现已画出函数f（x）在y轴右侧的图象，如图所示（）画出函数f（x）在y轴左侧的图象，根据图象写出函数f（x）在R上的单调区间；（）求函数f（x）在R上的解析式；（）解不等式xf（x）0解：（I）根据偶函数的图象关于y轴对称可得图象如图所示；结合图象可得函数f（x）的单调增区间2，0，（2，+），减区间（，2），（0，2）；（II）因为x0时，f（x）x24x，根据偶函数的对称性可知，当x0时f（x）x2+
19、4x，故f（x）；（III）由xf（x）0可得或，结合图象可得，0x4或x4，故不等式的解集为x|0x4或x418已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，且asinBbcosA0（1）求角A；（2）若a，b3，求ABC的面积【解答】（本题满分为12分）解：（1）asinBbcosA0由正弦定理可得：sinAsinBsinBcosA，sinB0，sinAcosA，即tanA，0A，A6分（2）a，b3，A，由余弦定理a2b2+c22bccosA，可得：139+c22，可得：c23c40，解得：c4，（负值舍去），SABCbcsinA312分19设函数，曲线yf（x）在点（0，f（0）处的
20、切线方程为y1（1）求b，c的值；（2）设函数g（x）f（x）+2x若g（x）在区间（2，3）上单调递增，实数a的取值范围；若g（x）在区间（2，1）内存在单调递减的区间，求实数a的取值范围解：（1）f（0）c，函数f（x）的导数f（x）x2ax+b，则函数在点（0，f（0）处的切线斜率kf（0）b，即切线方程为ycbx，即ybx+c，曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程为y1，b0，c1（2）b0，c1，f（x）x3x2+1，f（x）x2ax，若g（x）在区间（2，3）上单调递增，则g（x）f（x）+2x2ax+20在（2，3）上恒成立，即ax+在（2，3）上恒成立，x+在（2，3）
21、上单调递增，x+3，可得a3即实数a的取值范围是a3g（x）x2ax+2，依题意，存在x（2，1），使不等式g（x）x2ax+20成立当x（2，1）时，ax+2，满足要求的a的取值范围是a220某公司研发甲、乙两种新产品，根据市场调查预测，甲产品的利润y（单位：万元）与投资x（单位：万元）满足：f（x）alnxbx+3（a，bR，a，b为常数），且曲线yf（x）与直线ykx在（1，3）点相切；乙产品的利润与投资的算术平方根成正比，且其图象经过点（4，4）（）分别求甲、乙两种产品的利润与投资资金间的函数关系式；（）已知该公司已筹集到40万元资金，并将全部投入甲、乙两种产品的研发，每种产品投资均不
22、少于10万元问怎样分配这40万元投资，才能使该公司获得最大利润？其最大利润约为多少万元？（参考数据：ln102.303，ln152.708，ln202.996，ln253.219，ln303.401）解：（I）函数的定义域为（0，+），函数的导数为f（x），（1，3）在直线ykx上，k3，曲线yf（x）与直线ykx在（1，3）点相切，解得，即甲产品的利润y与投资x的关系式：f（x）3lnx+3，乙产品的利润与投资资金间的函数关系式g（x）m；将（4，4）代入函数g（x）得，解得m2故g（x），（x0）（）设甲产品投资x万元，则乙产品投资（40x）万元，且x10，30，则该公司所得利润为：y3l
23、nx+3+2，则函数的导数f（x），由f（x）0得10x15，由f（x）0得15x30，即当x15时，函数取得极大值，同时也是最大值，即最大值为y3ln15+3+32.708+1321.124万元故当甲产品投资15万元，则乙产品投资25万元时，公司取得最大利润，最大利润为21.124万元21已知二次函数f（x）ax2+bx+c，且满足f（0）2，f（x+1）f（x）2x+1（）求函数f（x）的解析式；（）若关于x的方程f（x）m0在x1，2上有解，求实数m的取值范围；（）当xt，t+2（tR）时，求函数f（x）的最小值（用t表示）解：（）f（x+1）f（x）2x+1，a（x+1）2+b（x+1
24、）+cax2bxc2ax+a+b2x+1，解得a1，b0，又f（0）2，c2，f（x）x2+2；（）由f（x）m0得，方程x2+2m在x1，2上有解，如图，则2m6，m的取值范围为2，6；（）xt，t+2，t0时，f（x）的最小值为f（t）t2+2；t0且t+20，即2t0时，f（x）的最小值为f（0）2；t+20，即t2时，f（x）的最小值为f（t+2）（t+2）2+2t2+4t+6，综上得，t0时，f（x）的最小值为t2+2；2t0时，f（x）的最小值为2；t2时，f（x）的最小值为t2+4t+622已知函数f（x）x1alnx（其中a为参数）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若对任意
25、x（0，+），都有f（x）0成立，求实数a的取值集合；（3）证明：（1+）ne（1+）n+1（其中nN*，e为自然对数的底数）解：（1）f（x），x（0，+），当a0时，f（x）0，f（x）在（0，+），当a0时，令f（x）0，得xa，x（0，a）时，f（x）单调递减，x（a，+）时，f（x）单调递增；综上：a0时，f（x）在（0，+）上递增，无减区间，当a0时，f（x）的单调递减区间为（0，a），单调递增区间为（a，+）；（2）由（1）得：f（x）极小值f（a）a1alna对任意x（0，+），都有f（x）0恒成立，f（x）极小值f（a）a1alna0a，解得a1，实数a的取值集合为1（）证明：设数列an（1+）n，数列bn（1+）n+1，由 （1+）xe，得：ane，bne，因此只需证数列an单调递增且数列bn单调递减，证明数列an单调递增：an（1+）n（ ）n+1an+1，数列an单调递增证明数列bn单调递减：bn（1+）n+1（ 令 t（n+1），换元 ）（1+）tat，由得at关于t单调递增，而t（n+1）关于n单调递减，由复合函数的单调性知，bn单调递减，（1+）ne（1+）n+1
