1、北大附中河南分校2013届高三年级第四次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设是实数，且，则实数 （ ）A B1 C2 D【答案】B【解析】因为，所以不妨设，则，所以有，所以，选B.2已知集合正奇数和集合，若，则M中的运算“”是 （ ）A加法B除法C乘法D减法【答案】C【解析】因为,所以只有奇数乘以奇数还是奇数，所以集合中的运算为乘法运算，选C.3已知各项为正的等比数列中，与的等比中项为，则的最小值为（ ）A16B8CD4【答案】B【解析】因为，即，所以。则，当且仅当，即，时取等号，选B.4已知定义域为R
2、的函数满足，当时，单调递增，如果且，则的值 （ ） A恒小于0 B恒大于0 C可能为0 D可正可负【答案】A 【解析】因为函数满足，所以函数关于点对称，由，知异号。不妨设，则由得，而，当时，函数单调递增，根据函数的单调性可知，即，所以，选A.5定义行列式运算=将函数的图象向左平移个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心是 （ ） A B C D 【答案】B【解析】根据行列式的定义可知，向左平移个单位得到，所以，所以是函数的一个对称中心，选B.6设等差数列的前项和为且满足则中最大的项为 A B 【答案】D 【解析】由，得.由，得，所以，且.所以数列为递减的数列.所以为正，为负，且，则，又，所以，
3、所以最大的项为，选D.7如果是二次函数, 且的图象开口向上,顶点坐标为（1,）, 那么曲线上任一点的切线的倾斜角的取值范围是 （ ） A B C D【答案】B【解析】由题意可设，即函数切线的斜率为，即，所以，选B.8在数列中，已知等于的个位数，则的值是（ ） A8 B6 C4 D2 【答案】C【解析】，所以的个位数是4，所以所以的个位数是8，所以的个位数是2，所以的个位数是6，的个位数是2，的个位数是2，的个位数是4，的个位数是8，的个位数是2，所以从第三项起，的个位数成周期排列，周期数为6，所以的个位数和的个位数一样为4，选C.9由曲线，直线所围成的平面图形的面积为 （ ） A B C D【
4、答案】D【解析】由得。当，解得，由，解得，由得.所以根据积分的应用知所求面积为.选D.10的外接圆圆心为,半径为2，,且,方向上的投影为 （ ）A B C D【答案】C【解析】由得，所以四边形为平行四边形。又，所以三角形为正三角形，因为外接圆的半径为2，所以四边形为边长为2的菱形。所以，所以在的投影为，选C.11已知函数的图象与直线交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为，则的值为（ ）A1 B 1log20132012 C-log20132012 D1【答案】A【解析】函数的导数为，所以在处的切线斜率为，所以切线斜率为，令得，所以，所以，选A.12设函数则在区间内（ ）A存在唯一的
5、零点,且数列单调递增B存在唯一的零点,且数列单调递减C存在唯一的零点,且数列非单调数列D不存在零点【答案】A【解析】,因为，所以，所以函数在上单调递增。，因为，所以，所以函数在上只有一个零点，选A.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13 向量的夹角为120，= 【答案】7【解析】，所以，所以。14已知函数，则 【答案】【解析】，所以。15已知正实数满足，若对任意满足条件的，都有恒成立，则实数的取值范围为 【答案】【解析】要使恒成立，则有，即恒成立。由得，即解得或（舍去）设，则，函数，在时，单调递增，所以的最小值为，所以，即实数的取值范围是。16设，其中 若对一切恒成立，则以下
6、结论正确的是_（写出所有正确结论的编号） ； ； 既不是奇函数也不是偶函数； 的单调递增区间是； 经过点的所有直线均与函数的图象相交【答案】 【解析】为参数。因为，所以是三角函数的对称轴，且周期为，所以，所，所以.,所以正确。，因为，所以，所以，所以错误。函数既不是奇函数也不是偶函数，所以正确。因为，所以单调性需要分类讨论，所以不正确。假设使经过点（a，b）的直线与函数的图象不相交，则此直线须与横轴平行，且，即，所以矛盾，故不存在经过点（a，b）的直线于函数的图象不相交故正确。所以正确的是 。三、解答题（本大题6小题共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本小题满分10分）已知是
7、直线与函数图像的两个相邻交点，且 （1）求的值；（2）在锐角中，分别是角A，B，C的对边，若 的面积为，求的值 18（本小题满分12分）已知数列的前项和是，且（1）求数列的通项公式；（2）设，求适合方程 的正整数的值19（本小题满分12分）已知向量（1）当时，求的值；（2）设函数，已知在 ABC中，内角A、B、C的对边分别为，若,求 （）的取值范围20（本小题满分12分）设正项等比数列的首项前n项和为，且（1）求的通项；（2）求的前n项21（本小题满分12分）已知函数（1）讨论函数在定义域内的极值点的个数；（2）若函数在处取得极值，对,恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，求证：22（本小题满
8、分12分） 已知是正实数，设函数（）设，求的单调区间；（）若存在，使且成立，求的取值范围 理科数学试题参考答案一、选择题：15：BCBAB; 610：DBCDC; 1112：AA二、填空题：137 14-1 15 16 三、解答题：17解：（1）2分由函数的图象及，得到函数的周期，解得 4分（2）又是锐角三角形，6分由 8分由余弦定理得10分18（1） 当时，由，得 1分当时， ， ， 2分，即 3分是以为首项，为公比的等比数列4分故 6分（2），8分 9分11分解方程，得 12分19解： （1） 2分 6分 （2）+由正弦定理得或 因为，所以 9分,所以 12分20解：（1）由 得 分即可得
9、分因为，所以 解得， 分因而 分（2）因为是首项、公比的等比数列，故 8分则数列的前n项和 前两式相减，得 即 12分21解：（1），当时，在上恒成立，函数 在单调递减，在上没有极值点；当时，得，得，在上递减，在上递增，即在处有极小值当时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点 4分（注：分类讨论少一个扣一分）（2）函数在处取得极值， 5分， 令，可得在上递减，在上递增，即 8分（3）证明：，令，则只要证明在上单调递增，9分又，显然函数在上单调递增，即，在上单调递增，即，当时，有 12分22解：（1）由得，单调递减，单调递增4分（2） 由得 5分 （i）当，即时，由得， 7分（ii）当时，单调递增 9分（iii）当，即时，单调递减当时恒成立 11分综上所述， 12分解法二：由得 由令则，题目转化为：已知满足，求的取值范围作出（）所在平面区域（如图）求出的过原点的切线设过切点的切线为，因为过原点，故有即，的最小值在处，为此时，点在上之间当（）对应点时，由，即的最大值在处，为7 的取值范围为，即的取值范围是
